第4章 习题课 二项式定理的综合应用（Word教参）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦二项式定理的综合应用，从基础定理出发，延伸至两个二项式乘积、三项展开式、整除余数及系数最值问题，构建从基础到综合应用的学习支架，帮助学生系统掌握定理的灵活运用。 以“8^2023天后星期几”等现实问题导入培养数学眼光，通过例题解析与反思感悟强化逻辑推理（数学思维），结合跟踪训练提升数学语言表达能力。课中助力教师分层教学，课后学生可借练习题巩固，查漏补缺，提升综合应用能力。

习题课　二项式定理的综合应用 [学习目标]　1.熟练掌握二项式定理.2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题． 导语 假如今天是星期一，7天后是星期几？16天后是星期几？ 82 023天后是星期几？怎样准确快速地得到答案？ 一、两个二项式积的问题 例1　(1)(1＋x2)(1＋x)5的展开式中x4的系数为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案　C 解析　因为二项式(1＋x)5的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x2)(1＋x)5的展开式中含x4的项为1×Cx4＋x2×Cx2＝15x4，所以x4的系数为15. (2)已知(2x－a)6的展开式中x2的系数为－240，则该二项展开式中的常数项为________． 答案　－640 解析　6的展开式的通项为 Tr＋1＝Cx6－rr＝C2rx6－2r(r＝0,1,2,3,4,5,6), 令6－2r＝1，得r＝(舍去)； 令6－2r＝2，得r＝2. 故(2x－a)6的展开式中x2的系数为 －aC22＝－240，解得a＝4. 令6－2r＝－1，得r＝(舍去)； 令6－2r＝0，得r＝3. 故(2x－4)6的展开式中的常数项为－4C·23＝－640. 反思感悟　两个二项式乘积的展开式中的特定项问题 (1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得． 跟踪训练1　若5的展开式中各项系数的和为2，则a＝________，该展开式中的常数项为________． 答案　1　40 解析　令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，则a＝1， 故5的展开式中的常数项即为5的展开式中与x的系数之和． 5的展开式的通项为 Tr＋1＝(－1)r25－rCx5－2r， 令5－2r＝1，得r＝2， ∴展开式中x的系数为C×25－2×(－1)2＝80. 令5－2r＝－1，得r＝3， ∴展开式中的系数为C×25－3×(－1)3＝－40， ∴5的展开式中的常数项为80－40＝40. 二、三项展开式问题 例2 　5的展开式中的常数项是________． 答案　 解析　方法一　原式＝5， ∴展开式的通项为Tr1＋1＝(r1＝0,1,2，…，5)． 当r1＝5时，T6＝()5＝4， 当0≤r1<5时，的展开式的通项为 ＝(r2＝0,1,2，…，5－r1)． 令5－r1－2r2＝0，得r1＋2r2＝5. ∵0≤r1<5且r1∈Z， ∴或 ∴常数项为4＋CC×2×＋CC××()3＝4＋＋20＝. 方法二　原式＝5 ＝·[(x＋)2]5＝·(x＋)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x＋)10的展开式中x5的系数，即C()5. ∴所求的常数项为＝. 反思感悟　三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2　在(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________． 答案　30 解析　方法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5， 含y2的项为T3＝C(x2＋x)3y2， 其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4x＝Cx5， 所以x5y2的系数为CC＝30. 方法二　(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可得含x5y2的项，所以x5y2的系数为CCC＝30. 三、整除和余数问题 例3　(1)定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，比如：26≡16(mod 10)．已知n＝C＋C×8＋C×82＋…＋C×810，满足n≡p(mod 7)，则p可以是(　　) A．23 B．31 C．32 D．19 答案　A 解析　因为n＝C＋C×8＋C×82＋…＋C×810＝(1＋8)10＝(7＋2)10， 也即n＝C×710＋C×79×2＋…＋C×7×29＋C×210， 故n除以7的余数为C×210＝1 024除以7的余数2， 又23除以7的余数也为2，满足题意，其他选项都不满足题意，所以p可以是23. (2)设a∈Z，且0≤a<13，若512 023＋a能被13整除，则a＝________. 答案　1 解析　因为512 023＋a＝(52－1)2 023＋a＝C522 023－C522 022＋C522 021－…＋C×521－1＋a能被13整除，故－1＋a能被13整除，又0≤a<13，故a＝1. 反思感悟　(1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项即可． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式． 跟踪训练3　(1)求415除以15的余数； (2)证明：32n＋3＋72n－27(n∈N＋)能被96整除． (1)解　∵415＝4×414＝4×(42)7＝4×167＝4×(15＋1)7 ＝4×(C×157＋C×156＋…＋C×151＋C×150) ＝4×15(C×156＋C×155＋…＋C)＋4， ∴415除以15的余数为4. (2)证明　∵32n＋3＋72n－27＝3×(8＋1)n＋1＋72n－27 ＝3×(C×8n＋1＋…＋C×8＋C)＋72n－27 ＝3×(C×8n＋1＋…＋C×82)＋24(n＋1)＋3＋72n－27 ＝3×82×(C×8n－1＋…＋C)＋96n ＝2×96×(C×8n－1＋…＋C)＋96n， ∴原式能被96整除． 四、二项展开式中的系数最值问题 例4　在(3x－2y)20的展开式中，求： (1)二项式系数最大的项； (2)系数绝对值最大的项； (3)系数最大的项． 解　(1)由题意得二项式系数最大的项为第11项，即T11＝C(3x)10(－2y)10＝C·310·210x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第r＋1项(r∈N＋)，于是 化简得解得≤r≤， 因为r∈N＋，所以r＝8，即T9＝C·312·28x12y8是系数绝对值最大的项． (3)方法一　由于系数为正的项为奇数项，故可设第2r－1项的系数最大(r∈N＋)， 所以 化简得又r∈N＋， 解得r＝5，即第9项系数最大，T9＝C·312·28x12y8. 方法二　由于系数为正的项为奇数项，由(2)知系数绝对值最大的项为第9项， 所以第9项系数最大，T9＝C·312·28x12y8. 反思感悟　求解二项展开式中系数最值的策略 (1)求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解． (2)求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第r项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果． 跟踪训练4　已知n的展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项． 解　由已知得C＋C＋C＝79， 即n2＋n－156＝0. 解得n＝－13(舍去)或n＝12. 则12＝12(1＋4x)12， 设第r＋1项的系数最大， 由 解得9.4≤r≤10.4. 又∵0≤r≤12，r∈N，∴r＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T11＝12×C×410×x10＝16 896x10. 1．知识清单： (1)两个二项式积的问题． (2)三项展开式问题． (3)整除和余数问题． (4)二项展开式中的系数最值问题． 2．方法归纳：分类讨论、方程思想等． 3．常见误区：分类不当、重复或遗漏． 1．在x(1＋x)6的展开式中，x3的系数为(　　) A．30 B．20 C．15 D．10 答案　C 解析　因为(1＋x)6的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，所以x(1＋x)6的展开式中含x3的项为Cx3＝15x3，所以x3的系数为15. 2．9192被100除所得的余数为(　　) A．1 B．81 C．－81 D．992 答案　B 解析　9192＝(90＋1)92＝C×9092＋C×9091＋…＋C×902＋C×90＋C. 前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得的余数为81. 故9192被100除所得的余数为81. 3．(x＋y＋3)5展开式中不含y的各项系数之和为(　　) A．25 B．35 C．45 D．(x＋3)5 答案　C 解析　由(x＋y＋3)5＝[(x＋3)＋y]5，则展开式的通项为Tr＋1＝C(x＋3)5－ryr， 当r＝0时，不含y的项， T1＝C(x＋3)5＝(x＋3)5， 令x＝1，可得不含y的各项系数之和为45. 4．在5的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式各项的系数中最大值为________． 答案　10 解析　5的展开式的通项为 Tr＋1＝Cx5－rr＝(－a)rCx5－2r， 令5－2r＝3，得r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1， 展开式中第2,4,6项的系数为负数，第1,3,5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C＝10.　　　　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1．二项式(1－x)4n＋1(n∈N＋)的展开式中，系数最大的项是(　　) A．第2n＋1项 B．第2n＋1项和第2n＋2项 C．第2n项 D．第2n＋2项 答案　A 解析　由二项展开式的通项Tr＋1＝C(－x)r＝(－1)rCxr，可知系数为(－1)rC，二项式系数最大的项为第2n＋1项和第2n＋2项，又由第2n＋1项系数为(－1)2nC＝C，第2n＋2项系数为(－1)2n＋1C＝－C<0，故系数最大项为第2n＋1项． 2．(x2＋2)5的展开式的常数项是(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 答案　D 解析　5的展开式的通项为 Tr＋1＝C5－r(－1)r＝(－1)rCx2r－10. 令2r－10＝－2或2r－10＝0， 解得r＝4或r＝5. 故(x2＋2)5的展开式的常数项是 (－1)4×C＋2×(－1)5×C＝3. 3．设n∈N＋，则C×1n×80＋C×1n－1×81＋C×1n－2×82＋C×1n－3×83＋…＋C×11×8n－1＋C×10×8n除以9的余数为(　　) A．0 B．8 C．7 D．2 答案　A 解析　因为C×1n×80＋C×1n－1×81＋C×1n－2×82＋C×1n－3×83＋…＋C×11×8n－1＋C×10×8n＝(1＋8)n＝9n，所以该式除以9的余数为0. 4．(x3－2x2＋x)3的展开式中x6的系数为(　　) A．－1 B．1 C．－20 D．20 答案　C 解析　(x3－2x2＋x)3＝x3(x－1)6，因此所求x6的系数即为(x－1)6的展开式中x3的系数， 由二项式定理知系数为C(－1)3＝－20. 5．1.026的近似值(精确到0.01)为(　　) A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.20 答案　B 解析　1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13. 6．(多选)4的展开式中(　　) A．x3的系数为40 B．x3的系数为32 C．常数项为16 D．常数项为8 答案　AC 解析　(1＋x2)(2＋x)4＝(2＋x)4＋x2(2＋x)4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是(2＋x)4中含x3项的系数C×2＝8，另一部分是(2＋x)4中含x项的系数C×23＝32，所以x3的系数是8＋32＝40，故A正确，B错误；展开式中的常数项只有(2＋x)4展开式的常数项24＝16，故C正确，D错误． 7．(5分)在3的展开式中，常数项是______． 答案　－20 解析　3＝3＝，上述式子展开式中的常数项只有一项，为＝－20，所以3的展开式的常数项为－20. 8．(5分)已知(2x＋my)(x－y)5的展开式中x2y4的系数为－20，则m的值为________． 答案　3 解析　(2x＋my)(x－y)5＝2x(x－y)5＋my(x－y)5， 因为(x－y)5的展开式中xy4的系数为C，x2y3的系数为－C， 所以(2x＋my)(x－y)5的展开式中x2y4的系数为2C－mC＝－20， 解得m＝3. 9．(9分)用二项式定理证明1110－1能被100整除． 证明　1110－1＝(10＋1)10－1 ＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10＋C－1 ＝C1010＋C109＋C108＋…＋C10 ＝100×(108＋C107＋C106＋…＋1)， 显然上式括号内的数是正整数， 所以1110－1能被100整除． 10．(12分)求(＋3x2)5的展开式中系数最大的项． 解　设展开式中第r＋1项的系数最大， 又Tr＋1＝C()5－r(3x2)r＝C3r ，则 即 解得≤r≤. 又因为0≤r≤5，r∈N，所以r＝4， 所以展开式中第5项的系数最大， 为T5＝C34＝405x. 11．当n为正奇数时，7n＋C×7n－1＋C×7n－2＋…＋C×7被9除所得的余数是(　　) A．0 B．2 C．7 D．8 答案　C 解析　原式＝(7＋1)n－C＝8n－1＝(9－1)n－1＝9n－C×9n－1＋C×9n－2－…＋C×9×(－1)n－1＋(－1)n－1，除最后两项外，其余各项都是9的倍数．因为n为正奇数，所以(－1)n－1＝－2＝－9＋7，所以余数为7. 12．若(x2－a)10的展开式中含x6的项的系数为30，则a等于(　　) A. B. C．1 D．2 答案　D 解析　10的展开式的通项是 Tr＋1＝Cx10－rr＝Cx10－2r， 10的展开式中含x4(当r＝3时)，x6(当r＝2时)的项的系数分别为C，C. 因为(x2－a)10的展开式中含x6的项由x2与10的展开式中含x4的项的乘积以及－a与10的展开式中含x6的项的乘积两部分构成， 因此由题意得C－aC＝120－45a＝30， 解得a＝2. 13．若(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为(　　) A．(2,3) B. C．[2,3] D. 答案　C 解析　由于二项式(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512， 所以2n＝512，解得n＝9，即(2＋ax)n＝(2＋ax)9(a≠0)， 其展开式的通项为 Tr＋1＝C·29－r·(ax)r＝ar·29－r·C·xr， 依题意可知 解得2≤a≤3. 14．(5分)干支纪年是中国古代的一种纪年法．分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲　乙　丙　丁　戊　己　庚　辛　壬　癸 地支：子　丑　寅　卯　辰　巳　午　未　申　酉 戌　亥 把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用．已知2023年是癸卯年，则138＋2年以后是__________年． 答案　丙午 解析　因为138＋2＝(12＋1)8＋2＝128＋C×127＋…＋C×12＋3， 所以138＋2年以后地支为“午”． 因为138＋2＝(10＋3)8＋2＝108＋C×107×3＋…＋C×10×37＋38＋2， 又因为38＋2＝6 563,38＋2除以10余数为3，所以138＋2年以后天干为“丙”， 故138＋2年以后是丙午年． 15．(多选)对于二项式nn(n∈N＋)，以下判断正确的有(　　) A．存在n∈N＋，展开式中有常数项 B．对任意n∈N＋，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N＋，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N＋，展开式中有x的一次项 答案　AD 解析　二项式n的展开式的通项为Tr＋1＝C·3r· ，r＝0,1,2，…，n， 而n的展开式的通项为Tk＋1＝C·x4k－n，k＝0,1,2，…，n. 对于二项式nn(n∈N＋)，展开式的通项为C·3r··C·x4k－n， x的次数为＋4k－n＝－－＋4k， 当－－＋4k＝0，即3r＋n＝8k时，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，由于C·3r··C·x4k－n的各项的系数都是正数，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误； 当－－＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k时，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，由于C·3r··C·x4k－n的各项的系数都是正数，故展开式中有一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误． 16．(12分)已知二项式n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n≥3且n∈N＋)．若|an－2|，|an－1|，|an|成等差数列． (1)求n展开式的中间项；(6分) (2)求|ai|(i＝0,1,2，…，n)的最大值．(6分) 解　(1)二项式n的展开式的通项为Tr＋1＝Cn－r(－x)r ＝Cn－r(－1)rxr，r＝0,1,2，…，n， 则an＝C(－1)n＝(－1)n， an－1＝C(－1)n－1＝(－1)n－1， an－2＝C2(－1)n－2＝(－1)n－2， 由题意知2|an－1|＝|an－2|＋|an|， 即2×＝1＋，即n2－9n＋8＝0， 解得n＝1(舍去)或n＝8. 则8展开式的中间项是 T5＝C4(－1)4x4＝x4. (2)设|ar|最大，则有 即解得5≤r≤6， 又r∈N，则r＝5或6. 所以|ai|(i＝0,1,2，…，n)的最大值为|a5|＝|a6|＝＝7. 学科网（北京）股份有限公司 $