第4章 4.4 第2课时 二项式系数的性质（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦二项式系数的性质这一核心知识点，以杨辉三角为引入支架，衔接二项式定理，系统梳理对称性、增减性与最大值、系数和等性质，构建从具体到抽象的知识脉络。 该资料融入杨辉三角历史背景，培养数学眼光中的抽象能力与创新意识，通过问题探究和赋值法应用发展数学思维的推理能力，课中例题与跟踪训练助力教师教学，课后对点练帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　二项式系数的性质 学习目标　1.理解二项式系数的性质并灵活运用.2.掌握“赋值法”并会灵活应用. 导语 被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a+b)n的展开式在n=1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡早发现了500年左右. 一、杨辉三角 问题1　根据二项式定理写出(a+b)n(n=1，2，3，4，5，6)的展开式的二项式系数.可以写成如下形式，则第7行的数字分别是多少？ 提示　1，7，21，35，35，21，7，1. 知识梳理 1.在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的二项式系数相等. 2.在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的和，即=+. 例1　(1)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 答案　B 解析　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4+a=10，即a=6. (2)已知(a+b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x-1)n展开式中x3的系数为(　　) A.80 B.40 C.-40 D.-80 答案　A 解析　由题意=，所以3+7=2n，解得n=5， 则(2x-1)5的展开式的通项为 Tr+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-rx5-r， 由5-r=3，得r=2，所以x3的系数为(-1)2··23=80. 反思感悟　解决与杨辉三角有关的问题的一般思路 (1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察. (2)找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律. (3)将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解. 跟踪训练1　(1)已知的展开式中第2项和第6项的二项式系数相等，则n等于(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案　A 解析　由已知可得=，所以n=1+5=6. (2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a=7时，b等于(　　) A.20 B.21 C.22 D.23 答案　C 解析　由a=7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11+5，即16，所以b=6+16=22. 二、二项式系数的增减性与最大值 1.对称性：二项式系数f(r)关于直线r=对称，即f(r)=f(n-r).在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即=. 2.单调性与最大值：二项式系数f(r)先逐渐增大，再逐渐减小，且当n是偶数时，展开式的项数n+1是奇数，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，展开式的项数n+1是偶数，中间两项的二项式系数，相等，且同时取得最大值. 例2　(1)在(2+x)6的展开式中，二项式系数最大的项是(　　) A.第3项和第4项 B.第4项和第5项 C.第3项 D.第4项 答案　D 解析　二项式(2+x)6的展开式的通项为Tr+1=26-rxr， 当r=3时，二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大. (2)已知f(x)=(+3x2)5，求展开式中二项式系数最大的项. 解　∵5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为T3=)3(3x2)2=90x6，T4=)2(3x2)3=270. 反思感悟　求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； (2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. 跟踪训练2　(1)在(1-x)2n-1的展开式中，二项式系数最大的项是(　　) A.第n-1项 B.第n项 C.第n-1项与第n+1项 D.第n项与第n+1项 答案　D 解析　由二项式系数的性质得，二项式系数最大为=，=， 分别为第n项与第n+1项的二次项系数. (2)若的展开式中第6项的二项式系数最大，则其常数项为(　　) A.120 B.252 C.210 D.45 答案　C 解析　由题意，得2n=10，易知n=5， 的展开式的通项为 Tr+1=)10-r=， 令30-5r=0，得r=6，故其常数项为=210. 三、二项展开式的系数和问题 问题2　在二项展开式(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+…+an-rbr+…+bn中，令a=b=1，可得到什么结论？令a=1，b=-1，可得到什么结论？ 提示　+++…+=2n；+++…=+++…=2n-1. 例3　若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求：(1)a1+a2+…+a7； (2)a1+a3+a5+a7； (3)|a0|+|a1|+…+|a7|. 解　(1)令x=0，得a0=-1. 令x=1，得a0+a1+…+a7=27=128， ① ∴a1+a2+…+a7=129. (2)令x=-1，得a0-a1+…+a6-a7=(-4)7， ② 由①-②得，2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7， ∴a1+a3+a5+a7=8 256. (3)∵(3x-1)7的展开式的通项为 Tr+1=(3x)7-r(-1)r， ∴|a0|+|a1|+…+|a7|=-a0+a1-a2+a3-…-a6+a7=47=16 384. 反思感悟　求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax+b)n，(ax2+bx+c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可. (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=，偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. 跟踪训练3　设(1-2x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025(x∈R). (1)求a0的值； (2)求a1+a2+a3+…+a2 025的值； (3)求a1+a3+a5+…+a2 025的值. 解　(1)在等式(1-2x)2 025=a0+a1x+a2x2+…+a2 025x2 025中，令x=0，得1=a0，∴a0=1. (2)令x=1，得-1=a0+a1+a2+a3+…+a2 025， ∴a1+a2+a3+…+a2 025=-2. (3)分别令x=-1，x=1，得 ②-①，得-1-32 025=2(a1+a3+a5+…+a2 025)， ∴a1+a3+a5+…+a2 025=. 1.知识清单： (1)杨辉三角. (2)二项式系数的性质. (3)二项展开式的系数和问题. 2.方法归纳：赋值法. 3.常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数. 1.在(a-b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相等的项是(　　) A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 答案　B 解析　第6项的二项式系数为，又=，所以第16项符合条件. 2.的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A.第3项 B.第6项 C.第6，7项 D.第5，7项 答案　C 解析　的展开式中第+1项和+1项，即第6，7项的二项式系数相等，且最大. 3.杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载.如图所示的杨辉三角中，第15行第15个数是(　　) A.14 B.15 C.16 D.17 答案　B 解析　由杨辉三角知： 第1行：，， 第2行：，，， 第3行：，，，， 第4行：，，，，， 由此可得第n行，第r(1≤r≤n+1)个数为， 所以第15行第15个数是==15. 4.若(2-x)7=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a7(1+x)7，则a0+a1+a2+…+a6的值为　　　　　　.  答案　129 解析　令x=0，得a0+a1+a2+…+a7=27=128， 又(2-x)7=[3-(x+1)]7， 则a7(1+x)7=·30·[-(x+1)]7， 解得a7=-1. 故a0+a1+a2+…+a6=128-a7=128+1=129. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.在(1+x)n(n∈N+)的展开式中，若只有x5的系数最大，则n的值为(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案　C 解析　由题意，得展开式共有11项，所以n=10. 2.若(x+3y)n展开式的各项系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　) A.5 B.8 C.10 D.15 答案　A 解析　(7a+b)10的展开式的二项式系数之和为210，令x=1，y=1，得(x+3y)n展开式的各项系数之和为4n，则由题意知，4n=210，解得n=5. 3.已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　) A.1 B.±1 C.2 D.±2 答案　C 解析　由条件知2n=32，即n=5，在二项展开式通项Tr+1=)5-r=ar中， 令15-5r=0，得r=3. 所以a3=80，解得a=2. 4.已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为，则展开式中二项式系数最大的项为(　　) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 答案　B 解析　的展开式的通项为Tr+1=)n-r·=·2r·， 第3项为T3=·22·，其系数为·22， 倒数第3项为Tn-1=·2n-2·，其系数为·2n-2， 由题意，=24-n==2-2，所以n=6， 所以展开式中二项式系数最大的项为第4项. 5.(多选)若的二项展开式共有8项，则该二项展开式(　　) A.各项二项式系数和为128 B.项数为奇数的各项系数和为-64 C.有理项共有4项 D.第4项与第5项系数相等 答案　AC 解析　的二项展开式共有8项， 故n=7， 则二项式系数和为2n=27=128，故A正确； 的展开式的通项为 Tr+1=(-1)r， 故项数为奇数的各项系数和为+++=64，故B错误； 由Tr+1=(-1)r知，当r取0，2，4，6时，Tr+1=(-1)r为有理项，共有4项，故C正确； T4=-，T5=x，第4项与第5项的系数互为相反数，故D错误. 6.(多选)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7，则下列结论正确的是(　　) A.a2+a5=588 B.a1+a2+…+a7=1 C.a1+a3+a5+a7= D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1 答案　ACD 解析　因为(2x-1)7展开式的通项为 Tr+1=(2x)7-r(-1)r=(-1)r27-rx7-r， 又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7， 所以a2=(-1)527-5=-84， a5=(-1)227-2=672，则a2+a5=588，故A正确； 令x=1，得(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1， ① 令x=0，得(0-1)7=a0=-1， 令x=-1，得(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37， ② 故a1+a2+…+a7=1-a0=2，故B错误； ①-②得，2(a1+a3+a5+a7)=1+37，故a1+a3+a5+a7=，故C正确； |a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1，故D正确. 7.(5分)若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是　　　　　　.  答案　10 解析　令x=1，得2n=32，故n=5. 展开式的通项为Tr+1=(x2)5-r=x10-2r-3r=x10-5r， 令10-5r=0，得r=2. 故展开式中的常数项为T3==10. 8.(5分)已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10，若数列a1，a2，a3，…，ak(1≤k≤11，k∈N+)是一个递增数列，则k的最大值是　　　　　　.  答案　6 解析　由二项式定理，知ak=(k=1，2，3，…，11)，因为(1+x)10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k的最大值为6. 9.(10分)在二项式的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比为-1∶14，求： (1)二项展开式中的各项的二项式系数之和；(5分) (2)二项展开式中的各项的系数之和.(5分) 解　二项式的展开式的通项为 Tr+1=)n-r=(-2)r， ∵(-2)3∶(-2)6=-1∶14， ∴n=10. (1)++…+=210=1 024. (2)令x=1，得各项系数之和为(-1)10=1. 10.(11分)在(2x-3y)10的展开式中，求： (1)各项的二项式系数的和；(2分) (2)奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；(3分) (3)各项系数之和；(3分) (4)奇数项系数的和与偶数项系数的和.(3分) 解　在(2x-3y)10的展开式中： (1)各项的二项式系数的和为 ++…+=210=1 024. (2)奇数项的二项式系数的和为 ++…+=29=512， 偶数项的二项式系数的和为 ++…+=29=512. (3)设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10，(*) 各项系数之和即为a0+a1+a2+…+a10. 令(*)中x=y=1，得各项系数之和为 (2-3)10=(-1)10=1. (4)由(3)知奇数项系数的和为a0+a2+a4+a6+a8+a10， 偶数项系数的和为a1+a3+a5+a7+a9. a0+a1+a2+…+a10=1. ① 令(*)中x=1，y=-1， 得a0-a1+a2-a3+…+a10=510. ② ①+②，得2(a0+a2+…+a10)=1+510， 故奇数项系数的和为； ①-②，得2(a1+a3+…+a9)=1-510， 故偶数项系数的和为. 11.若(1-2x)2 025=a0+a1x+…+a2 025x2 025(x∈R)，则++…+的值为(　　) A.2 B.0 C.-2 D.-1 答案　D 解析　(1-2x)2 025=a0+a1x+…+a2 025x2 025， 令x=0，得a0=1， 令x=，得a0+++…+=0， 所以++…+=-1. 12.杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列{an}.若数列{an}的前n项和为Sn，则S47等于(　　) A.235 B.512 C.521 D.1 033 答案　C 解析　根据题意，杨辉三角前9行共有1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(项).故前47项的和为杨辉三角前9行的和再加第10行的前两个数1和9，所以前47项的和S47=20+21+22+…+28+1+9=29-1+10=521. 13.(5分)已知(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N，且n≥3).若a1+a2+a3+…+an=134，则a3=　　　　.  答案　36 解析　对于(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N，且n≥3)， 令x=0，得a0=2； 令x=1，得(1+1)3+(1+1)n=a0+a1+a2+a3+…+an=2+134， 即2n=128，n=7，故a3=×10+×14=36. 14.(5分)已知(2x-1)n的二项展开式中，奇次项的系数和比偶次项的系数和小38，则+++…+=　　　　　　.  答案　255 解析　设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A=a1+a3+a5+…，B=a0+a2+a4+a6+…. 由已知，B-A=38. 令x=-1， 得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n， 即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…) =(-3)n， 即B-A=(-3)n. ∴(-3)n=38=(-3)8， ∴n=8. 由二项式系数的性质，可得 +++…+=2n-=28-1=255. 15.在的展开式中含x3项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第(　　) A.4项 B.5项 C.6项 D.3项 答案　A 解析　由可得x>0， 当0<x<1时，x<，则=， 其展开式的通项为Tr+1=(-x)r=(-1)r·， 令=3，得(-1)r=15，解得n=6，r=4； 当x≥1时，x≥，则=， 其展开式的通项为Tk+1=xn-k=(-1)k， 令n-k=3，得(-1)k=15，解得n=6，k=2. 综上所述，n=6， 所以展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项是第4项. 16.(12分)杨辉是中国南宋时期的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内容，图2为杨辉三角的改写形式. (1)求图2中第10行的各数之和；(3分) (2)从图2中第2行开始，取每一行的第3个数，一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和；(3分) (3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为3∶8∶14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由.(6分) 解　(1)第10行的各数之和为+++…+=210=1 024. (2)杨辉三角中第2行到第15行各行的第3个数之和为++++…+=++++…+===560. (3)存在，这三个数依次是45，120，210.理由如下： 设在第n行存在连续三项，，，其中n∈N+且n≥2，r∈N+且r≥2， 有=且==，化简得=且=， 即解得 所以=45，=120，=210， 故这三个数依次是45，120，210. 学科网（北京）股份有限公司 $