第4章 4.3 第2课时 排列、组合的综合应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学排列、组合的综合应用核心知识点，系统梳理有限制条件的“至少”“至多”“含与不含”问题，以及分组分配中的不同元素（均匀、非均匀、局部均匀）和相同元素分配问题，通过具体例题搭建从基础概念到综合应用的学习支架。 该资料以贴近生活的实例（如志愿者分组、午餐搭配）设计问题，注重分类讨论、隔板法等思维方法归纳，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维逻辑推理解决问题、用数学语言规范表达的核心素养，课中辅助教师系统授课，课后助力学生通过练习与小结巩固知识、查漏补缺。

第2课时　排列、组合的综合应用 学习目标　1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法.2.理解排列、组合中的分组分配等问题. 一、有限制条件的排列、组合问题 例1　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选. 解　(1)-=825(种). (2)至多有2名女生当选含有三类： 有2名女生当选；只有1名女生当选；没有女生当选，所以共有++=966(种)选法. (3)分两类： 第一类：女队长当选，有=495(种)选法； 第二类：女队长没当选，有+++=295(种)选法， 所以共有495+295=790(种)选法. 反思感悟　有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数. (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 跟踪训练1　(1)某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法之一搭配午餐：①任选两种荤菜、两种素菜和白米饭；②任选一种荤菜、两种素菜和蛋炒饭.则每天午餐不同的搭配方法共有(　　) A.210种 B.420种 C.56种 D.22种 答案　A 解析　由分类加法计数原理知，两类午餐的搭配方法之和即为所求，所以每天午餐的不同搭配方法共有+=210(种). (2)甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法有(　　) A.27种 B.18种 C.36种 D.48种 答案　A 解析　当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有=9(种)；当甲不选生物，乙随便选时，甲、乙的选法有=18(种)，则甲、乙总的选法有9+18=27(种). 二、分组、分配问题 问题　将甲、乙两名同学分成两组，有多少种分法？将甲、乙两名同学分成两组，分别去参加上午、下午的活动，有多少种分法？ 提示　1种，2种. 角度1　不同元素分组、分配问题 例2　(课本例4)　 6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人2本； (2)分为三份，每份2本. 解　(1)将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人2本，可以分为三步完成： 第一步，先从6本书中选2本给甲，有种选法； 第二步，从其余的4本书中选2本给乙，有种选法； 第三步，最后剩余的2本书给丙，有种选法. 根据分步乘法计数原理，共有=15×6×1=90种不同的分法. (2)分给甲、乙、丙三人，每人2本，这件事情可以分两步完成： 第一步，将6本书分为三份，每份2本，设有x种方法； 第二步，将这三份分给甲、乙、丙三人，有种方法. 根据(1)的结论和分步乘法计数原理得到=x，所以x==15. 因此分为三份，每份2本，一共有15种方法. 延伸探究　(课本P194练习T5)本例条件不变，(1)若甲分1本、乙分2本、丙分3本，共有多少种不同的分法？ (2)若一人分4本，另两人各分1本，共有多少种不同的分法？ 解　(1)依题意分书可分为以下三步： 第一步，先从6本里面选1本给甲，有种分法； 第二步，再从剩下的5本里面选2本给乙，有种分法； 第三步，将剩下的3本给丙，有种分法. 由分步乘法计数原理可知符合题意的分法有 ··=6×10×1=60(种). (2)依题意分书可分为以下两步： 第一步，先从6本里面选4本，再从3人里面选1人将刚刚选取的4本分给他，由分步乘法计数原理可知有 ·=15×3=45(种)分法； 第二步，先从剩下的2本中选1本给剩下两人中的其中一人，最终将最后1本给剩下一人， 由分步乘法计数原理可知有·=2×1=2(种)分法. 因此由分步乘法计数原理可知符合题意的分法有45×2=90(种). 例2　6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)每组2本(平均分组)； (2)一组1本，一组2本，一组3本(不平均分组)； (3)一组4本，另外两组各1本(局部平均分组). 解　(1)每组2本，均分为3组的分组种数为==15. (2)一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为=20×3=60. (3)一组4本，另外两组各1本的分组种数为==15. 反思感悟　“分组”与“分配”问题的解法 (1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. (2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 角度2　相同元素分配问题 例3　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，在下列条件下各有多少种不同的放法. (1)每个盒子都不空； (2)恰有一个空盒子. 解　(1)先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间的5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板， 故共有=10(种)放法. (2)恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间的5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板， 由分步乘法计数原理得，共有·=40(种)放法. 反思感悟　相同元素分配问题的处理策略 (1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. (2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有种方法.可描述为(n-1)个空中插入(m-1)块隔板. 跟踪训练2　(1)某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传肾脏日的主题：“尽快行动，尽快预防”，则不同的分配方案有　　　　　　种.(用数字作答)  答案　90 解析　·=90(种). (2)将12枝相同颜色的鲜花放入编号为1，2，3，4的花瓶中，要求每个花瓶中的鲜花的数量不小于其编号数，则不同的放法种数为　　　　　　.  答案　10 解析　先给每个花瓶放入数量与其编号数相同的鲜花，则还剩2枝鲜花.这2枝鲜花可以放在1个或2个花瓶中，所以不同的放法共有+=10(种). 1.知识清单： (1)有限制条件的排列、组合问题. (2)分组、分配问题. 2.方法归纳：分类讨论法、插空法、隔板法、均分法. 3.常见误区：分类不当；平均分组理解不到位. 1.登山运动员10人，平均分为两组，其中熟悉道路的有4人，每组都需要2人，那么不同的分配方法种数是(　　) A.30 B.60 C.120 D.240 答案　B 解析　先将4个熟悉道路的人平均分成两组，有种，再将余下的6人平均分成两组，有种，然后这四个组自由搭配还有种，故最终分配方法有=60(种). 2.空间中有10个点，其中有5个点在同一个平面内，其余点无三点共线，无四点共面，则以这些点为顶点，共可构成四面体的个数为(　　) A.205 B.110 C.204 D.200 答案　A 解析　方法一　可以按从共面的5个点中取0个、1个、2个、3个进行分类，则可构成四面体的个数为+++=205. 方法二　从10个点中任取4个点的方法数中去掉4个点全部取自共面的5个点的情况，得到可构成四面体的个数为-=205. 3.某大厦一层有A，B，C，D四部电梯，现有3人在一层乘坐电梯上楼，其中恰有2人乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有　　　　种.(用数字作答)  答案　36 解析　由题意得，不同的乘坐方式有=36(种). 4.某校从8名教师中选派4名去某个偏远地区支教，其中甲和乙不能都去，则不同的选派方案共有　　　　种.(用数字作答)  答案　55 解析　由于“甲和乙不能都去”，故要分三类完成： 第一类，甲去乙不去，有种选派方案； 第二类，乙去甲不去，有种选派方案； 第三类，甲、乙都不去，有种选派方案. 故共有++=55(种)不同的选派方案. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.甲、乙两人计划从A，B，C三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有(　　) A.3种 B.6种 C.9种 D.12种 答案　B 解析　本题用排除法，甲、乙两人从A，B，C三个景点中各选两个游玩，共有·=9(种)，但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故共有6种选法. 2.假如某大学给我市某三所重点中学7个自主招生的推荐名额，则每所中学至少分到一个名额的方法种数为(　　) A.30 B.21 C.10 D.15 答案　D 解析　用“隔板法”.在7个名额中间的6个空位上选2个位置加2个隔板，有=15(种)分配方法. 3.某中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组(每组4个人)，则3个种子选手恰好被分在同一组的方法种数为(　　) A.210 B.105 C.315 D.630 答案　C 解析　由题意，12人任意分成3个组，3个种子选手分在同一组的方法有=315(种). 4.中国灯笼又统称为灯彩，是一种古老的传统工艺品.经过历代灯彩艺人的继承和发展，形成了丰富多彩的品种和高超的工艺水平，从种类上主要有宫灯、纱灯、吊灯等类型.现将4盏相同的宫灯、3盏不同的纱灯、2盏不同的吊灯挂成一排，要求吊灯挂两端，同一类型的灯笼至多2盏相邻挂，则不同挂法种数为(　　) A.216 B.228 C.384 D.486 答案　A 解析　先挂2盏吊灯有=2(种)挂法，再在2盏吊灯之间挂3盏纱灯有=6(种)挂法， 最后将宫灯插空挂. 当4盏宫灯分成2，2两份插空时有-1=5(种)挂法； 当4盏宫灯分成1，1，2三份插空时有=12(种)挂法； 当4盏宫灯分成1，1，1，1四份插空时有1种挂法， 所以共有N=2×6×(5+12+1)=216(种)不同的挂法. 5.某校举办“祖国，你好”诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加，且当这3名学生都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生不同的朗诵顺序的种数为(　　) A.720 B.768 C.810 D.816 答案　B 解析　根据题意，知在7名学生中选派4名学生参加诗歌朗诵比赛，朗诵顺序有=840(种)， 其中甲、乙、丙都没有参加，即选派其他4人参加，朗诵顺序有=24(种)， 则甲、乙、丙这3名学生中至少有1人参加时，朗诵顺序有840-24=816(种)； 其中当甲、乙、丙都参加且甲和乙相邻时，朗诵顺序有=48(种)， 则满足题意的朗诵顺序有816-48=768(种). 6.(多选)现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则(　　) A.没有空盒子的方法共有36种 B.可以有空盒子的方法共有256种 C.恰有1个盒子不放球的方法共有144种 D.没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种 答案　BCD 解析　对于A，没有空盒子就意味着放置方式对应全体4个小球的全排列，故该方法的种数为=24，故A错误； 对于B，若允许有空盒子，则每个小球可以任意放进4个盒子之一，故该方法的种数为44=256，故B正确； 对于C，若恰有1个盒子不放球，则空盒子的选取方式有4种，空盒子确定之后，剩余三个盒子的小球数目必定是1，1，2，故该方法的种数为4=144，故C正确； 对于D，直接列举可知，编号为1，2，3，4的盒子分别放置的小球可能是 (1，3，4，2)，(1，4，2，3)，(3，2，4，1)，(4，2，1，3)，(2，4，3，1)，(4，1，3，2)，(2，3，1，4)，(3，1，2，4). 共8种，故D正确. 7.(5分)某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方法共有 　　　　　　种.(用数字作答)  答案　96 解析　甲传第一棒，乙传最后一棒，共有种传递方法.乙传第一棒，甲传最后一棒，共有种传递方法.丙传第一棒，共有·种方法.由分类加法计数原理得，共有++·=96(种)不同的传递方法. 8.(5分)某地区安排A，B，C，D，E五名同志到三个地区开展消防安全宣传活动，每个地区至少安排一人，且A，B两人安排在同一个地区，C，D两人不安排在同一个地区，则不同的分配方法共有　　　　　　种.(用数字作答)  答案　30 解析　①将5人分为3组，要求A，B两人在同一组而C，D不在同一组，有+(-1)=5(种)分组方法； ②将分好的3组全排列，安排到三个地区， 有=6(种)安排方法； 由分步乘法计数原理，得共有5×6=30(种)不同的分配方法. 9.(10分)现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解　可以分三类： 第一类，两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有种选法； 第二类，两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有种选法. 根据分类加法计数原理，共有++=42(种)不同的选法. 10.(11分)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学，求： (1)5名同学站成一排，有多少种不同的方法？(2分) (2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，有多少种不同的方法？(4分) (3)将5名同学分配到三个班，每班至少1人，共有多少种不同的分配方法？(5分) 解　(1)有=120(种)不同的方法. (2)5名同学站成一排，要求甲、乙必须相邻，丙、丁不能相邻，则先将甲、乙捆绑，看成一个整体，有种方法； 再将甲、乙看成整体(不考虑甲、乙内部排列)，与戊排列，有种方法； 最后利用插空法，将丙、丁插入3个空隙中，有种方法. 故有=24(种)不同的方法. (3)按人数分配方式分类： ①当分配人数为3，1，1时，有 =60(种)方法； ②当分配人数为2，2，1时，有 =90(种)方法. 故共有60+90=150(种)分配方法. 11.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有(　　) A.8种 B.14种 C.20种 D.116种 答案　B 解析　按照甲是否在天和核心舱划分， ①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有·=6(种)安排方案； ②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有·=8(种)安排方案； 根据分类加法计数原理，共有6+8=14(种)安排方案. 12.(多选)甲、乙、丙、丁、戊5名大学生参加2024年南京半程马拉松志愿者服务活动，有赛道补给、路线引导、物品发放、兴奋剂检测四项工作可以安排，则以下说法正确的是(　　) A.若每人都安排一项工作，则不同方法的种数为45 B.若每项工作至少有1人参加，则不同方法的种数为240 C.如果兴奋剂检测工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法的种数为300 D.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会兴奋剂检测，但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是126 答案　ABD 解析　对于选项A，给其中的一人安排一项工作，则有4种不同的安排方法，每人都安排一项工作， 则不同方法的种数为45，即选项A正确； 对于选项B，每项工作至少有1人参加，先从5人中选2人作为1组，再与另外3人组成4组， 每组选一项工作，则不同方法的种数为=240，即选项B正确； 对于选项C，先将5名同学分为3组，然后再分别安排赛道补给、路线引导、物品发放三项工作， 则这5名同学全部被安排的不同方法的种数为+=150，即选项C错误； 对于选项D，若从丙、丁、戊3人中选2人安排兴奋剂检测工作，则不同安排方案的种数是， 若从丙、丁、戊3人中选1人安排兴奋剂检测工作，则不同安排方案的种数是， 即不同安排方案的种数是+=126，即选项D正确. 13.(多选)将9个相同的小球分给甲、乙等4个人，则下列说法正确的是(　　) A.不同的分配方法共有220种 B.若每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有56种 C.若每人至少分到2个小球，则不同的分配方法共有10种 D.若甲至少分到2个小球，其余三人每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有35种 答案　ABD 解析　A选项，分四种情况： 若一人有球，有=4(种)不同的分配方法， 若二人有球，有·=48(种)不同的分配方法， 若三人有球，有·=112(种)不同的分配方法， 若四人有球，即每人至少有一个球，有=56(种)不同的分配方法，则不同的分配方法共有4+48+112+56=220(种)，故A选项正确； B选项，若每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有=56(种)，故B选项正确； C选项，若每人至少分到2个小球，则四人中只有一人分到3个球，其他三人各分到2个小球，故不同的分配方法共有=4(种)，故C选项不正确； D选项，若甲至少分到2个小球，其余三人每人至少分到1个小球，则不同的分配方法共有=35(种)，故D选项正确. 14.(5分)一个质点从原点出发，每秒末必须向上、下、左、右四个方向中的一个方向跳一个单位长度，则此质点在第10秒末到达点P(2，6)的跳法共有　　　　　　种.(用数字作答)  答案　1 200 解析　要使质点从原点出发10秒末到达点P(2，6)，则可能是向上跳6次，向右跳3次，向左跳1次，或者向上跳7次，向下跳1次，向右跳2次.第一类，向上跳6次，向右跳3次，向左跳1次，有=840(种)跳法；第二类，向上跳7次，向下跳1次，向右跳2次，有=360(种)跳法.根据分类加法计数原理得，共有840+360=1 200(种)跳法. 15.(5分)一个项数为6的正整数数列{an}满足a1=3，且ak+1≥ak(1≤k≤5，k∈N)，若a6为不大于 10的偶数，则符合条件的数列{an}共有　　　　个.  答案　496 解析　由题意，a1=3，且ak+1≥ak(1≤k≤5，k∈N)， 当a6=4时，a1=3，则a2，a3，a4，a5可以取3或4，且逐项不减小， 此时满足条件的数列{an}有5个； 当a6=6时，a1=3，则a2，a3，a4，a5可以取3或4或5或6，且逐项不减小， 此时满足条件的数列{an}有+×3+×3+=35(个)； 当a6=8时，a1=3，则a2，a3，a4，a5可以取3或4或5或6或7或8，且逐项不减小， 此时满足条件的数列{an}有+×3+×3+=126(个)； 当a6=10时，a1=3，则a2，a3，a4，a5可以取3或4或5或6或7或8或9或10，且逐项不减小， 此时满足条件的数列{an}有+×3+×3+=330(个). 综上，满足条件的数列{an}共有5+35+126+330=496(个). 16.(11分)设有99本不同的书(用排列数、组合数作答). (1)分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？(1分) (2)分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？(1分) (3)平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？(1分) (4)分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？(1分) (5)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？(1分) (6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？(2分) (7)平均分成3份，共有多少种不同的分法？(2分) (8)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？(2分) 解　(1)甲得96本，有种分法；乙得2本，有种分法；丙得1本，有种分法.不同的分法共有种. (2)与(1)类似，不同的分法共有种. (3)不同的分法共有种. (4)先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能.不同的分法共有(种. (5)99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能.不同的分法共有种. (6)99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同.不同的分法共有种. (7)99本不同的书，平均分成3份，每份33本.本问题是典型的平均分组问题，要排除重复.不同的分法共有种. (8)99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有种. 学科网（北京）股份有限公司 $