第4章 4.3 第1课时 组合（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“组合”核心知识点，系统梳理组合的定义（从n个不同元素中取m个元素不论次序构成一组）、组合数公式（C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)）及性质（C(n,m)=C(n,n-m)，C(n+1,m)=C(n,m)+C(n,m-1)），并通过简单组合问题应用巩固。以排列与组合的区别为引入，经问题链推导公式，形成“概念-公式-应用”的完整学习支架。 该资料以情境化导语（旅游选景点）引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题链（如结合分步乘法原理推导组合数公式）发展数学思维，结合志愿者选代表、教师参会选法等实例培养数学语言表达能力。课中延伸探究（三点共线问题）深化理解，课后课时对点练分层设计助力学生查漏补缺，提升教学效果与自主学习能力。

第1课时　组　合 学习目标　1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题. 导语 小明五一到某地旅游，要从A，B，C，D4处景点中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从A，B，C，D4处景点中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？ 一、组合的概念 问题1　从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题是排列问题吗？ 提示　从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，不同的选法有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种；由于只需将选出的2名同学作为一组，不需要考虑顺序，不是排列问题. 知识梳理 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，不论次序地构成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 注意点： (1)组合中取出的元素没有顺序； (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. 例1　(1)(多选)下列四个问题中，属于组合问题的是(　　) A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.将3本相同的书分给10人中的3人，每人1本 答案　CD 解析　A，B与顺序有关，是排列问题，而C，D与顺序无关，是组合问题. (2)已知平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线.试写出以其中任意三点为顶点的三角形. 解　以其中任意三点为顶点的三角形是一个组合问题，满足条件的三角形有△ABC，△ABD，△BCD，△ACD. 延伸探究　将本例(2)改为“平面内有A，B，C，D四个不同的点，若有且仅有A，B，C三个点共线”， 试写出以其中任意三点为顶点的三角形. 解　满足条件的三角形有△ABD，△BCD，△ACD. 反思感悟　(1)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题. (2)解决组合问题时，若元素个数比较少，可采用列举的方法，应注意按照一定规律来列举，避免重复或遗漏. 二、组合数公式及其性质的应用 问题2　类比排列数，请写出组合数的概念. 提示　从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 问题3　我们前面学习了排列和组合的关系，请利用这种关系，用排列数表示组合数. 提示　“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到： 第1步(选元素)，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一个组合，设共有x种不同的取法； 第2步(排位置)，将每一个组合中的m个元素进行全排列，共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理，得到=x·，即x=. 知识梳理 1.组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. 2.组合数公式： == 或=(其中n，m∈N+，并且m≤n). 3.规定：=1. 4.组合数的性质：(1)=. (2)=+. 例2　(1)+等于(　　) A.25 B.30 C.35 D.40 答案　B 解析　+=+=10+20=30. (2)若=，则+++…+的值为(　　) A.45 B.55 C.120 D.165 答案　D 解析　因为=，则m+m+2=22，解得m=10，故+++…+=+++…+=++…+=++…+=…=+==165. 反思感悟　(1)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件n≥m.求出方程或不等式的解后，要进行检验. (2)合理选用组合数的两个性质=，=-能起到简化运算的作用，需熟练掌握. 跟踪训练1　(1)(多选)下列等式正确的是(　　) A.若=，则n=8 B.=+ C.++=7 D.7-4=0 答案　BCD 解析　对于A，由=，得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18，解得n=2或n=8(舍去)，A不正确； 对于B，由组合数的性质知B正确； 对于C，++=1+3+3=7，C正确； 对于D，7-4=7×-4×=140-140=0，D正确. (2)不等式<的解集为　　　　.  答案　{3，4，5，6，7} 解析　依题意所以3≤n≤12且n∈N+，由<得<，即<，n-2<13-n，则3≤n<7.5，所以不等式的解集为{3，4，5，6，7}. 三、简单的组合问题 例3　(课本例2)　为助力建设宜居宜业和美乡村，星辰中学从“十佳志愿者”的10人中任选5人代表学校参加“为美丽乡村增光添彩”的志愿服务活动.问： (1)共有多少种不同的选法？ (2)如果还要从选出的5人中再选定一人为组长，那么共有多少种不同的选法？ 解　(1)由于从10人中任选5人，与顺序无关，所以共有==252种选法. (2)方法一　从这10人中任选5人，并确定其中一人为组长，可以分为如下两步完成： 第一步，先从10人中任选5人，共有种方法； 第二步，从选出的5人中再确定1人为组长，共有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有×=252×5=1 260种不同的选法. 方法二　从这10人中任选5人，并确定其中一人为组长，可以分为如下两步完成： 第一步，先从10人中选定1人为组长，共有种方法； 第二步，从余下的9人中再选出4人，共有种方法. 根据分步乘法计数原理，共有×=10×=1 260种不同的选法. 例3　现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. (1)现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ 解　(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即有==45(种)不同的选法. (2)从6名男教师中选2名的选法有种，从4名女教师中选2名的选法有种，根据分步乘法计数原理，因此共有·=×=90(种)不同的选法. 反思感悟　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.其次要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏. 跟踪训练2　一个口袋内装有7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解　(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是===56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是===21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是===35. 1.知识清单： (1)组合的概念. (2)组合数公式及其性质的应用. (3)简单的组合问题. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：分不清是“排列”还是“组合”. 1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　) A.种 B.种 C.种 D.30种 答案　B 解析　三张票没区别，从10人中选3人即可，即. 2.某乒乓球队有9名队员，其中有两名种子选手，现要选5名队员参加运动会，种子选手都必须在内，则不同的选法有(　　) A.种 B.种 C.种 D.种 答案　C 解析　只需再从其他7名队员中选3人，即种选法. 3.(多选)使不等式≥(n∈N+)成立的n的取值可以是(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　ABC 解析　在中，n∈N+，且n≥2，在中，n∈N+，n≥3，即有n∈N+，n≥3， 因为≥，则有≥， 即n-2≤3，解得n≤5， 因此有3≤n≤5，n∈N+， 所以n的取值可以是3或4或5. 4.在A，B，C，D四人中，选举三人组成班委，所有可能的选举结果为　　　　　　　　　　　　.  答案　ABC，ABD，ACD，BCD 解析　四人中选举三人组成班委，无顺序，为组合问题，列举为ABC，ABD，ACD，BCD. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.若=36，则n的值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　C 解析　∵=36，∴=36， 即n2-n-72=0， ∴(n-9)(n+8)=0. ∵n∈N+， ∴n=9. 2.某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，则共需建公路的条数为(　　) A.4 B.8 C.28 D.64 答案　C 解析　由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建===28(条)公路. 3.从2，3，…，8中任意取三个不同的数字，组成无重复数字的三位数，要求个位数最大，百位数最小，则这样的三位数的个数为(　　) A.35 B.42 C.105 D.210 答案　A 解析　由于取出三个数字后大小次序已确定，只需把最小的数字放在百位，最大的数字放在个位，剩下的数字放在十位，因此满足条件的三位数的个数为==35. 4.现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是(　　) A.90 B.115 C.210 D.385 答案　B 解析　依题意，取法可分为三类：两个黑球，有=90(种)；三个黑球，有=24(种)；四个黑球，有=1(种).根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90+24+1=115. 5.式子可表示为(　　) A. B. C.101 D.101 答案　D 解析　分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n+100，最小的为n，故 =101×=101. 6.(多选)某动植物园举行花卉展览，某花卉种植园有2种兰花和2种三角梅，共4种精品花卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，这4种精品花卉将全部去A，B展馆参展，每种只能去一个展馆，每个展馆至少有1种花卉参展，下列选项正确的是(　　) A.若A展馆需要3种花卉，则有4种安排方法 B.若“绿水晶”去A展馆，则有7种安排方法 C.若“绿水晶”不去A展馆，则有6种安排方法 D.若2种三角梅不能去往同一个展馆，则有8种安排方法 答案　ABD 解析　对于A，若A展馆需要3种花卉，则4种精品花卉中选3种安排在A展馆即可，有=4(种)安排方法，A正确； 对于B，若“绿水晶”去A展馆，将剩下的3种花卉分到A，B展馆即可，B展馆至少有一种，则有++=7(种)安排方法，B正确； 对于C，若“绿水晶”不去A展馆，则其必须去B展馆，同理B选项，有7种安排方法，C错误； 对于D，若2种三角梅不能去往同一个展馆，则其分别在A，B两个展馆，有=2(种)安排方法，将2种兰花安排在A，B两个展馆，每种兰花都有2种安排方法，则2种兰花共有2×2=4(种)安排方法， 则有2×4=8(种)安排方法，D正确. 7.(5分)10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为　　　　　.(用数字作答)  答案　210 解析　从10人中任选出4人作为甲组， 则剩下的人即为乙组，这是组合问题， 共有=210(种)分法. 8.(5分)若=12，则n=　　　　.  答案　8 解析　=12，即n(n-1)(n-2)=12×n(n-1)，且n∈N+，n≥3，解得n=8. 9.(10分)(1)求值：+；(4分) (2)若+++…+=55，求正整数n.(6分) 解　(1)由+可得 解得n=10， 则+=+=+=466. (2)+++…+ =++++…+-1 =+++…+-1 =++…+-1=-1=55， 故=56=，解得n=7. 10.(11分)全班有50人. (1)从中选班长、学习委员、纪律委员、生活委员各一名，有多少种选法？(5分) (2)从中选7名班委会成员有多少种选法？(6分) 解　(1)从全班50人中选班长、学习委员、纪律委员、生活委员各一名，相当于从50个元素中选4个元素排成一列， 所以满足要求的选法种数为=5 527 200. (2)从全班50人中选7名班委会成员的一种选法，相当于从50个元素中选一个含有7个元素的组合， 所以满足条件的选法种数为=99 884 400. 11.甲、乙、丙三人值班，周一到周六每人分别值班2天，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有(　　) A.15种 B.30种 C.45种 D.60种 答案　D 解析　甲从周二至周六5天中选2天值班，有种选法；乙可从剩下的4天中任选2天值班，有种选法；丙选剩下的2天即可，有种选法，故不同的排班方案共有=60(种). 12.(多选)下列等式正确的是(　　) A.= B.2 019！·=2 026 C.= D.+m= 答案　ABD 解析　对于A，因为=， ==， 所以=，故A正确； 对于B，2 019！·=·= =2 026，原式成立，故B正确； 对于C，左边==， 右边===， 当m≠n时，左边≠右边，故C错误； 对于D， 左边=+m=+ =+= =， 右边==， 左边=右边，故D正确. 13.(5分)在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分.现有四名学生分别统计全部选手的总得分为131分、132分、133分、134分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有　　　　位.  答案　12 解析　设参赛选手共有n位，则总比赛场次为，即场，且n∈N+，n≥2， 由题意知，任意一场比赛结束，选手的总得分为2分， 故所有选手总得分为n(n-1)分且为偶数， 所以当n(n-1)=132时，得n=12； 当n(n-1)=134时，n无整数解. 所以n=12. 14.(5分)如图，一只电子宠物在网格线上由原点O(0，0)出发，沿向上或向右方向爬至点(m，n)(m，n∈N+)，记可能的爬行方法总数为f(m，n)，则f(m，n)=　　　　.(用组合数表示)  答案　 解析　从原点O出发，只能向上或向右方向爬行，记向上为1，向右为0，则爬到点(m，n)需m个0和n个1，这样爬行方法总数是m个0和n个1的不同排列方法数.m个0和n个1共占(m+n)个位置，只要从中选取m个放0即可. 故f(m，n)=. 15.不等式x1+x2+x3≤12，其中x1，x2，x3是非负整数，则使不等式成立的解的组数为(　　) A.560 B.455 C.91 D.55 答案　B 解析　设x1'=x1+1，x2'=x2+1，x3'=x3+1， 则不等式x1+x2+x3≤12有多少组非负整数解的问题，转化为3≤x1'+x2'+x3'≤15的正整数解的组数. 因为方程x1'+x2'+x3'=3的解的组数为； x1'+x2'+x3'=4的解的组数为； …… x1'+x2'+x3'=15的解的组数为. 所以原不等式解的组数为+++…++++…+=455. 16.(12分)如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？(6分) (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？(6分) 解　(1)可分三种情况处理： ①在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点构成一个三角形，有个； ②在C1，C2，…，C6这六个点中任取一点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取两点构成一个三角形，有个； ③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取一点构成一个三角形，有个. 所以共有++=116(个). 其中含点C1的三角形有=36(个). (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线， 因此可分三种情况处理： ①在C1，C2，…，C6这六个点中任取四点构成一个四边形，有个； ②在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取一点构成一个四边形，有个； ③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取两点构成一个四边形，有个. 所以共有++=360(个). 学科网（北京）股份有限公司 $