第3章 3.1.1 第2课时 椭圆的标准方程的综合问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦椭圆标准方程的综合问题，系统梳理椭圆方程的常见设法（分类讨论、待定系数法）、定义的应用（焦点三角形、面积计算）及点与椭圆的位置关系判断，构建从方程设法人手，经定义深化应用到位置关系分析的完整学习支架。 该资料通过例题变式（如例1两种设法对比、例2焦点三角形面积推导）培养数学思维中的推理能力，反思感悟提炼方法提升数学语言表达，课时对点练分层设计，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，体现数学眼光下的问题抽象与模型意识。

第2课时　椭圆的标准方程的综合问题 学习目标　了解椭圆方程的常见设法，掌握椭圆定义的应用，能用椭圆定义解决一些实际应用问题. 一、椭圆方程的设法 例1　求下列椭圆的方程. (1)过(-3，2)且与+=1有相同的焦点； (2)经过点P，Q. 解　(1)方法一　由方程+=1可知，其焦点的坐标为(±，0)， 即c=. 设所求椭圆方程为+=1(a>b>0)， 则a2=b2+5，因为过点(-3，2)， 代入方程得+=1(a>b>0)， 解得a2=15(a2=3舍去)，b2=10， 故椭圆的标准方程为+=1. 方法二　设椭圆方程为+=1(m>-4). 将点(-3，2)代入方程得+=1， 解得m=6. 故椭圆的标准方程为+=1. (2)方法一　①当椭圆的焦点在x轴上时， 设标准方程为+=1(a>b>0)， 依题意，有解得 因为a>b>0，所以方程组无解. ②当椭圆的焦点在y轴上时， 设标准方程为+=1(a>b>0)， 依题意，有 解得 所以所求椭圆的方程为+=1. 方法二　设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，且m≠n)， 依题意得解得 故所求椭圆的方程为5x2+4y2=1， 即+=1. 反思感悟　求椭圆方程时，如果明确椭圆的焦点在x轴上，那么设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0)；如果明确椭圆的焦点在y轴上，那么设所求的椭圆方程为+=1(a>b>0)； 如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x轴上，还是在y轴上，那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，进而求解. 跟踪训练1　求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过两点(2，-)，； (2)过点(，-)，且与椭圆+=1有相同的焦点. 解　(1)方法一　(分类讨论法)若焦点在x轴上， 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得 解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 若焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得 解得 则a2<b2，与题设中a>b>0矛盾，舍去. 综上，所求椭圆的标准方程为+=1. 方法二　(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0，B>0，A≠B). 将两点(2，-)，代入， 得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. (2)方法一　因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c2=25-9=16. 设它的标准方程为+=1(a>b>0). 因为c2=16，且c2=a2-b2， 故a2-b2=16. ① 又点(，-)在椭圆上， 所以+=1， 即+=1. ② 由①②得b2=4，a2=20， 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 方法二　设椭圆的方程为 +=1(m>-9)， 将(，-)代入方程， 解得m=-5， 所以椭圆的标准方程为+=1. 二、椭圆定义的应用 例2　已知P为椭圆+=1上一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积. 解　由已知得a=2，b=， 所以c===3， 从而|F1F2|=2c=6， 在△F1PF2中， |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos 60°， 即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|. ① 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4， 即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|. ② 由①②得|PF1|·|PF2|=4. 所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=. 反思感悟　椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化. (2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解. (3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2=θ，则焦点三角形的面积S=b2tan . 跟踪训练2　设P为椭圆C：+=1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|=3∶4，那么△GPF1的面积为(　　) A.24 B.12 C.8 D.6 答案　C 解析　∵P为椭圆C：+=1上一点，|PF1|∶|PF2|=3∶4，|PF1|+|PF2|=2a=14， ∴|PF1|=6，|PF2|=8. 又|F1F2|=2c=2=10， ∴易知△PF1F2是直角三角形， =|PF1|·|PF2|=24. ∵△PF1F2的重心为点G， ∴=3， ∴△GPF1的面积为8. 三、点与椭圆的位置关系 例3　已知直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点，则点P(m，n)与椭圆+=1的位置关系是(　　) A.在椭圆内 B.在椭圆外 C.在椭圆上 D.不确定 答案　A 解析　∵直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点，∴>，即m2+n2<5， ∴m2<5，n2<5. 又∵+<+=<1， ∴点P(m，n)在椭圆内部. 反思感悟　点与椭圆的位置关系的判断 (1)根据椭圆的定义判断点P(x0，y0)与椭圆的位置关系如下： |PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内部； |PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上； |PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外部. (2)对于点P(x0，y0)与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P(x0，y0)在椭圆外⇔+>1； 点P(x0，y0)在椭圆内⇔+<1； 点P(x0，y0)在椭圆上⇔+=1. 跟踪训练3　若点P(0，1)在焦点在x轴上的椭圆+=1内部，则m的取值范围是　　　　.  答案　(1，5) 解析　由题意知+<1，∴m>1， 又椭圆的焦点在x轴上，∴m<5， 故m的取值范围是(1，5). 1.知识清单： (1)椭圆方程的设法. (2)椭圆定义的应用. (3)点与椭圆的位置关系. 2.方法归纳：分类讨论法、待定系数法. 3.常见误区：漏掉验证椭圆方程的完备性. 1.过点P且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆的标准方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案　A 解析　因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且c2=15-6=9. 设所求椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，则a2-b2=9， ① 又点P在所求椭圆上，所以+=1，即+=1， ② 由①②得a2=25，b2=16， 故所求椭圆的标准方程为+=1. 2.设P为椭圆+=1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是(　　) A.4 B.6 C.9 D.12 答案　C 解析　由题意知，a=3，|PF1|+|PF2|=2a=6， |PF1|·|PF2|≤=9， 当且仅当|PF1|=|PF2|=3时取等号. 则|PF1|·|PF2|的最大值是9. 3.点P(1，m)在椭圆+y2=1内，则m的取值范围是　　　　　.  答案　 解析　由题意知+m2<1， 则-<m<. 4.椭圆的两焦点为F1(-4，0)，F2(4，0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大值为12，则椭圆的方程为　　　　　　　　　　.  答案　+=1 解析　如图，当P在y轴上时 △PF1F2的面积最大， ∴×8b=12，∴b=3. 又∵c=4，∴a2=b2+c2=25. ∴椭圆的标准方程为+=1. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.已知椭圆C：+=1，点A(1，1)，则点A与椭圆C的位置关系是(　　) A.点在椭圆上 B.点在椭圆内 C.点在椭圆外 D.无法判断 答案　B 解析　因为+=<1，所以点A在椭圆C内部. 2.已知△ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(　　) A.2 B.6 C.4 D.12 答案　C 解析　设在BC边上的另一个焦点为F，利用椭圆的定义，知|BA|+|BF|=2，|CA|+|CF|=2，便可求得△ABC的周长为4. 3.已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是(　　) A.+x2=1 B.+y2=1或x2+=1 C.+y2=1 D.以上都不对 答案　A 解析　设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0，B>0，A≠B)， 由题意得解得 所以此椭圆的标准方程为+x2=1. 4.P是椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|=12，则∠F1PF2的大小为(　　) A.60° B.30° C.120° D.150° 答案　A 解析　由椭圆的定义得 |PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=2， ∴(|PF1|+|PF2|)2=64， ∵|PF1|·|PF2|=12，∴|PF1|2+|PF2|2=40， 在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2==， ∵0°≤∠F1PF2<180°， ∴∠F1PF2=60°. 5.(多选)设F1，F2是椭圆+=1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|-|PF2|=2.则下列说法中正确的是(　　) A.|PF1|=5，|PF2|=3 B.△PF1F2为直角三角形 C.△PF1F2的面积为6 D.△PF1F2的面积为12 答案　ABC 解析　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=8. 又|PF1|-|PF2|=2， ∴|PF1|=5，|PF2|=3，又|F1F2|=2c=4， ∴|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2， 故△PF1F2为直角三角形， ∴=×3×4=6. 6.(多选)已知椭圆C：+=1(m>4)的右焦点为F，点A(-2，2)为椭圆C内一点.若椭圆C上存在一点P，使得|PA|+|PF|=8，则m的值可以为(　　) A.6+2 B.6+4 C.24 D.25 答案　BCD 解析　设椭圆的左焦点为F'，由题意得a2=m，b2=m-4，c2=4，则F'(-2，0)，F(2，0)， 由点A在椭圆内部得+<1， 结合m>4，解得m>6+2， 根据椭圆的定义得|PF|+|PF'|=2a=2， 又|PA|+|PF|=8， 所以||PA|-|PF'||=|8-2|， 又当P，F'，A三点共线时，||PA|-|PF'||最大，从而|8-2|≤|AF'|=2， 解得9≤m≤25， 综上，6+2<m≤25. 7.(5分)已知椭圆C经过点A(2，3)，且点F(2，0)为其右焦点，则椭圆C的标准方程为　　　　　　　.  答案　+=1 解析　方法一　依题意，可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0)，且可知左焦点为F'(-2，0). 依题意，有 解得 又a2=b2+c2， ∴b2=12， 故椭圆C的标准方程为+=1. 方法二　依题意，可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0)，则 解得b2=12或b2=-3(舍去)，从而a2=16. 所以椭圆C的标准方程为+=1. 8.(5分)已知椭圆+=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2=120°，则实数a的值为　　　　　　.  答案　3 解析　由题意，可知b=，c=，|PF1|=4， 则|PF2|=2a-4.|F1F2|=2c=2， 在△F1PF2中，由余弦定理， 得cos∠F1PF2=， 即-=， 解得a=3. 9.(10分)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆+y2=1有相同的焦点，且经过点；(4分) (2)经过A，B两点.(6分) 解　(1)设所求椭圆方程为+=1(k<1)， 将点代入，可得+=1， 解得k=-2或k=(舍去)， 故所求椭圆的标准方程为+=1. (2)设所求的椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n). 把A，B两点代入， 得解得m=，n=1， 所以椭圆的标准方程为+y2=1. 10.(10分)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2=120°，|PF1|=2+，|PF2|=2-. (1)求椭圆C的方程；(5分) (2)求△F1PF2的面积.(5分) 解　(1)由椭圆的定义得，2a=|PF1|+|PF2|=4， ∴a=2， 在△PF1F2中，由余弦定理可得， |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°， ∴4c2=15， ∴c=，b2=a2-c2=4-=， 故椭圆C的方程为+4y2=1. (2)=|PF1||PF2|sin 120°=×(2+)×(2-)×=. 11.椭圆+y2=1的焦点为F1，F2，点M在椭圆上，且·=0，则M到y轴的距离为(　　) A.3 B.2 C. D. 答案　C 解析　设M(x0，y0)，点M在椭圆+y2=1上， 所以+=1， ① 椭圆+y2=1的焦点为F1，F2， 则F1(-，0)，F2(，0)，所以=(--x0，-y0)，=(-x0，-y0)， 由·=0， 可得(--x0，-y0)·(-x0，-y0)=0， 化简可得+=3， ② 联立①②可解得x0=±， 故M到y轴的距离为. 12.(多选)已知P是椭圆E：+=1上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　) A.点P的纵坐标为3 B.∠F1PF2> C.△F1PF2的周长为4(+1) D.△F1PF2的内切圆半径为 答案　CD 解析　由已知得a=2，b=2，c=2. F1(-2，0)，F2(2，0) 不妨设P(m，n)，m>0，n>0， 则=·2c·n=3， 解得n=， ∴+=1，解得m=， ∴P， ∴|PF1|2=+=+2， |PF2|2=+=-2， ∴|PF1|2+|PF2|2-(2c)2=×2-16=>0， ∴cos∠F1PF2=>0， ∴∠F1PF2<，故A，B错误； △F1PF2的周长=2a+2c=4+4，故C正确； 设△F1PF2的内切圆半径为r， 则(4+4)r=3， ∴r=，故D正确. 13.(5分)已知点F1，F2 分别是椭圆 C的左、右焦点，P(4，3)是C上一点，△PF1F2内切圆的圆心为I(m，1)，则椭圆 C的标准方程为　　　　　　　.  答案　+=1 解析　依题意，设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0)，由P(4，3)在C上，得+=1， 显然△PF1F2的内切圆与直线F1F2相切，则该圆半径为1，而=(2a+2c)·1=a+c， 又=·2c·3=3c，于是a=2c，b2=a2-c2=a2，因此+=1，解得a2=28，b2=21， 所以椭圆 C的标准方程是+=1. 14.(5分)若点P是椭圆+=1上的一动点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值为　　　　　　　.  答案　- 解析　由椭圆的定义，可得|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=2， ∵cos∠F1PF2= = =-1. 又|PF1|+|PF2|=6≥2， ∴|PF1|·|PF2|≤9， ∴-1≥-1=-， 当且仅当|PF1|=|PF2|=3时等号成立， ∴cos∠F1PF2的最小值为-. 15.(5分)设椭圆C：+=1的右焦点为F，动点P在椭圆C上，点A是直线4x-5y-12=0上的动点，则|PA|-|PF|的最小值为　　　　.  答案　-4 解析　根据题意知椭圆的右焦点为F(1，0)，左焦点为F'(-1，0)， 根据椭圆的定义可知|PF|+|PF'|=4，所以|PF|=4-|PF'|， 则|PA|-|PF|=|PA|-(4-|PF'|)=|PA|+|PF'|-4， 所以当|PA|+|PF'|最小时，|PA|-|PF|最小， |PA|+|PF'|的最小值为F'(-1，0)到直线4x-5y-12=0的距离，即d==， 所以(|PA|-|PF|)min=-4. 16.(12分)设F1，F2分别为椭圆+y2=1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为(0，-1). (1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF1|·|PF2|的最大值；(4分) (2)若C为椭圆上异于B的一点，且=λ，求λ的值；(4分) (3)设P是该椭圆上的一个动点，求△PBF1的周长的最大值.(4分) 解　(1)因为椭圆的方程为+y2=1， 所以a=2，b=1，c=， 又因为|PF1|+|PF2|=2a=4， 所以|PF1|·|PF2|≤==4，当且仅当|PF1|=|PF2|=2时取等号， 所以|PF1|·|PF2|的最大值为4. (2)设C(x0，y0)，B(0，-1)，F1(-，0)， 由=λ，得x0=，y0=-. 又+=1，所以+=1， 化简得λ2+6λ-7=0，解得λ=-7或λ=1， 因为点C异于点B，所以λ=-7. (3)因为|PF1|+|PB|=4-|PF2|+|PB|≤4+|BF2|， 所以△PBF1的周长≤4+|BF2|+|BF1|=8， 所以当P点位于线段BF2的延长线与椭圆的交点处时，△PBF1的周长最大，最大值为8. 学科网（北京）股份有限公司 $