第2章 习题课 与圆有关的最值(范围)问题（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦与圆有关的最值问题，系统梳理距离最值（圆外点到圆上点、直线与圆相离时圆上点到直线等距离的最值）、面积最值（三角形、四边形面积）及利用数学式几何意义（斜率、截距、距离平方）转化求解的递进式学习支架。 资料以数形结合和转化思想为核心，通过例题解析、反思感悟、跟踪训练及分层练习，引导学生用数学眼光观察几何关系，用数学思维推理转化路径，如例3将代数式转化为斜率、截距等几何意义。课中助力教师系统教学，课后帮助学生巩固方法、查漏补缺。

习题课　与圆有关的最值(范围)问题 学习目标　1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 一、与距离有关的最值问题 1.如图①，圆外一点到圆上任意一点距离的最小值=d-r，最大值=d+r. 　　　　　 图①　　　　　　　图② 2.如图②，直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值=d-r，最大值=d+r. 3.如图③，过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值=2，最大值=2r. 　　　　 　图③　　　　　　　图④ 4.如图④，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值=. 例1　(1)当直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)被圆C：(x-1)2+(y-2)2=25截得的弦最短时，m的值为　　　　.  答案　 - 解析　直线l的方程可化为(2x+y-7)m+x+y-4=0，令 解得定点坐标为M(3，1)，因为圆心C(1，2)，当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，kCM==-，kl=-， 所以kCM×kl=×=-1， 解得m=-. (2)在平面直角坐标系xOy中，已知(x1-2)2+=5，x2-2y2+4=0，则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由已知得点(x1，y1)在圆(x-2)2+y2=5上，点(x2，y2)在直线x-2y+4=0上， 故(x1-x2)2+(y1-y2)2表示圆(x-2)2+y2=5上的点和直线x-2y+4=0上点的距离的平方，又直线与圆相离，所以距离的最小值为-=，故(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为. 反思感悟　(1)形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题. (2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值. 跟踪训练1　(1)从点P(1，-2)向圆C：x2+y2-2mx-2y+m2=0作切线，当切线长最短时，m的值为(　　) A.-1 B.1 C.2 D.0 答案　B 解析　x2+y2-2mx-2y+m2=0可化为(x-m)2+(y-1)2=1，圆心C(m，1)，半径为1， 切线长最短时，|CP|最小，|CP|=， 即当m=1时，|CP|最小，切线长最短. (2)过点A(3，1)作圆C：(x-2)2+(y-2)2=4的弦，其中最短弦长为　　　　.  答案　2 解析　易知圆心C(2，2)，半径r=2. 当弦过点A(3，1)且与CA垂直时弦长最短， |CA|==. ∴最短弦长=2=2=2. 二、与面积有关的最值问题 例2　(1)已知点O(0，0)，A(0，2)，点M是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点，则△OAM面积的最小值为　　　　.  答案　1 解析　根据题意，得圆(x-3)2+(y+1)2=4的圆心为(3，-1)，半径r=2， O(0，0)，A(0，2)，OA所在的直线是y轴， 当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小， 则M到直线AO的距离的最小值d=3-2=1， 则△OAM面积的最小值S=×|OA|×d=1. (2)已知点P(x，y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2+y2-2y=0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k=　　　　　.  答案　2 解析　圆C：x2+y2-2y=0的圆心为C(0，1)，半径r=1， 由圆的性质可知，四边形PACB的面积S=2S△PBC， 又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为S=1=r|PB|min= |PB|min，则|PB|min=2， 因为|PB|==， 所以当|PC|取最小值时，|PB|最小. 又点P(x，y)是直线kx+y+4=0上的动点， 当CP垂直于直线kx+y+4=0时，|PC|最小，即为圆心C(0，1)到直线的距离， 所以==，解得k=±2， 因为k>0，所以k=2. 反思感悟　求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解. 跟踪训练2　直线y=kx+3与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为(　　) A.1 B. C. D. 答案　B 解析　设圆心到直线的距离为d(0<d<1)， 则|AB|=2， 所以S△ABO=·2·d=， 由基本不等式，可得S△ABO=≤=， 当且仅当d=时，等号成立. 三、利用数学式的几何意义求解最值问题 例3　已知点P(x，y)在圆C：x2+y2-6x-6y+14=0上. (1)求的最大值和最小值； (2)求x2+y2+2x+3的最大值与最小值； (3)求x+y的最大值与最小值. 解　方程x2+y2-6x-6y+14=0可化为(x-3)2+(y-3)2=4. (1)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图①所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小. 设切线方程为y=kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx-y=0，由圆心C(3，3)到切线的距离等于半径2，可得=2，解得k=，所以的最大值为，最小值为. (2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圆上的点P到E(-1，0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图②所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|=|CE|+2，点P与点E距离的最小值为|P2E|=|CE|-2.又|CE|==5，所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小值为(5-2)2+2=11. (3)设x+y=b，则b表示动直线y=-x+b在y轴上的截距，如图③所示，显然当动直线y=-x+b与圆(x-3)2+(y-3)2=4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3，3)到切线x+y=b的距离等于圆的半径2，则=2，即|b-6|=2，解得b=6±2，所以x+y的最大值为6+2，最小值为6-2. 反思感悟　(1)形如u=形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题. (2)形如l=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线y=-x+的截距的最值问题. 跟踪训练3　(多选)已知实数x，y满足方程x2+y2-4x+1=0，则下列说法正确的是(　　) A.y-x的最大值为-2 B.x2+y2的最大值为7+4 C.的最大值为 D.x+y的最大值为2+ 答案　AB 解析　对于A，设z=y-x，则y=x+z，z表示直线y=x+z的纵截距，当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时，≤，解得--2≤z≤-2，所以y-x的最大值为-2，故A说法正确； 对于B，x2+y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2+，所以x2+y2的最大值为(2+)2=7+4，故B说法正确； 对于C，设=k，则y=kx，把y=kx代入圆的方程得(1+k2)x2-4x+1=0，则Δ=16-4(1+k2)≥0，解得-≤k≤，所以的最大值为，故C说法错误； 对于D，设m=x+y，则y=-x+m，m表示直线y=-x+m的纵截距，当直线与圆(x-2)2+y2=3有公共点时，≤，解得-+2≤m≤+2，所以x+y的最大值为+2，故D说法错误. 1.知识清单： (1)与距离、面积有关的最值问题. (2)利用数学式的几何意义求解圆的最值问题. 2.方法归纳：数形结合、转化思想. 3.常见误区：忽略隐含条件导致范围变大. 1.圆x2+y2=4上的点到直线4x-3y+25=0的距离的取值范围是(　　) A.[3，7] B.[1，9] C.[0，5] D.[0，3] 答案　A 解析　x2+y2=4，圆心(0，0)，半径r=2， 圆心到直线4x-3y+25=0的距离d==5， 所以圆上的点到直线的距离的最小值为5-2=3， 最大值为5+2=7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3，7]. 2.已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x-4)2+(y-3)2=4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案　B 解析　根据题意，圆C：(x-4)2+(y-3)2=4，其圆心C(4，3)，半径r=2，过点P作圆C：(x-4)2+(y -3)2=4的切线，切点为Q，则|PQ|=，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|-1=-1=4，则|PQ|的最小值为=2. 3.点M(x，y)在圆x2+(y-2)2=1上运动，则的取值范围是(　　) A.[，+∞) B. (-∞，-] C. (-∞，-]∪[，+∞) D. [-，] 答案　C 解析　将看作圆上动点(x，y)与原点O(0，0)连线的斜率，设=k，如图， 可得k≥或k≤-. 4.已知圆C1：x2+y2+4x-4y=0，动点P在圆C2：x2+y2-4x-12=0上，则△PC1C2面积的最大值为　　　　.  答案　 4 解析　因为C1(-2，2)，r1=2，C2(2，0)，r2=4， 所以|C1C2|==2， 当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为×2×4=4. 课时对点练　 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知过点(1，1)的直线l与圆x2+y2-4x=0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A. B.2 C.2 D.4 答案　C 解析　将圆的方程x2+y2-4x=0化为标准方程为(x-2)2+y2=4， 则圆心为(2，0)，半径r=2，则圆心(2，0)到定点(1，1)的距离为， |AB|的最小值为2=2. 2.已知直线l：x-y+4=0与圆C：(x-1)2+(y-1)2=2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为(　　) A. B. C.1 D.3 答案　A 解析　由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1，1)到直线l的距离减去圆的半径，即-=. 3.点P在圆C1：x2+y2-8x-4y+11=0上，点Q在圆C2：x2+y2+4x+2y+1=0上，则|PQ|的最小值是(　　) A.5 B.1 C.3-5 D.3+5 答案　C 解析　圆x2+y2-8x-4y+11=0化为标准方程为(x-4)2+(y-2)2=9，圆心为C1(4，2)，半径为3； 圆x2+y2+4x+2y+1=0化为标准方程为(x+2)2+(y+1)2=4， 圆心为C2(-2，-1)，半径为2， ∴两圆的圆心距为|C1C2|==3>5， ∴两圆外离， ∴|PQ|的最小值是两圆的圆心距减去两圆半径的和，即3-5. 4.已知实数x，y满足方程x2+y2-4x-1=0，则y-2x的最小值和最大值分别为(　　) A.-9，1 B.-10，1 C.-9，2 D.-10，2 答案　A 解析　y-2x可看作是直线y=2x+b在y轴上的截距，如图所示， 当直线y=2x+b与圆x2+y2-4x-1=0相切时，b取得最大值或最小值，此时=，解得b=-9或b=1，所以y-2x的最大值为1，最小值为-9. 5.已知点P是直线l：3x+4y-7=0上的动点，过点P引圆C：(x+1)2+y2=r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为时，r的值为(　　) A.2 B. C. D.1 答案　D 解析　如图，由题意得|PM|2=|PC|2-r2， 当PC⊥l时，|PC|最小，则|PM|最小. 由题意得|PC|min=d==2， 所以()2=22-r2，解得r=1. 6.若圆(x+1)2+(y-2)2=8关于直线2ax+by+6=0对称，则由点M(a，b)向圆所作的切线长的最小值是(　　) A. B.3 C. D.2 答案　A 解析　由圆(x+1)2+(y-2)2=8关于直线2ax+by+6=0对称，得圆心(-1，2)在直线2ax+by+6=0上，可得b=a-3，点M(a，b)到圆心的距离为，则由点M(a，b)向圆所作的切线长为=，当a=2时，所求的切线长取得最小值，为. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.过点M(-3，1)的直线l与圆(x+2)2+y2=4相交于P，Q两点，当|PQ|取得最值时，直线l的方程是(　　) A.x+y+2=0 B.x+y-4=0 C.x-y-2=0 D.x-y+4=0 答案　AD 解析　圆(x+2)2+y2=4是以C(-2，0)为圆心，r=2为半径的圆，kMC==-1， 过点M(-3，1)的直线l与圆相交于P，Q两点，而M(-3，1)在圆内， 当|PQ|取得最小值时，PQ⊥MC，即kPQ·kMC=-1， ∴kPQ=1，直线l的方程是y-1=x+3，即x-y+4=0； 当|PQ|取得最大值时，直线l经过圆心C，kPQ=kMC=-1， ∴直线l的方程是y-1=-(x+3)，即x+y+2=0. 8.已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2 C.当∠PBA最小时，|PB|=3 D.当∠PBA最大时，|PB|=3 答案　ACD 解析　设圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5，5)，由题易知直线AB的方程为+=1，即x+2y-4=0，则圆心M到直线AB的距离d==>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4+d=4+，4+<5+=10，故A正确. 易知点P到直线AB的距离的最小值为d-4=-4，-4<-4=1，故B不正确. 过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|===3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|=3，故C，D都正确. 9.已知圆C1：(x-1)2+(y-3)2=1和圆C2：(x-2)2+(y-4)2=9，M，N分别是圆C1和圆C2上的动点，P为x轴上的动点，则关于|PM|+|PN|的最值，下列结论正确的是(　　) A.|PM|+|PN|无最大值 B.|PM|+|PN|既有最大值又有最小值 C.|PM|+|PN|无最小值 D.|PM|+|PN|的最小值为5-4 答案　AD 解析　圆C1的半径r1=1，圆C2的半径r2=3，如图，圆心C2(2，4)关于x轴的对称点为C'2(2，-4)， |PC2|=|PC'2|， |PM|+|PN|≥|PC1|-r1+|PC2|-r2 =|PC1|+|PC2|-4， |PC1|+|PC2| =|PC1|+|PC'2|≥|C1C'2| ==5， |PM|+|PN|≥5-4，当且仅当P为C1C'2与x轴的交点时等号成立，所以|PM|+|PN|的最小值是5-4， 结合图形可得|PM|+|PN|无最大值. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　　　　　　　　　.  答案　(x-1)2+y2=2 解析　∵直线mx-y-2m-1=0恒过定点(2，-1)， ∴圆心(1，0)到直线mx-y-2m-1=0的最大距离为d==， ∴半径最大为， ∴半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2. 11.已知圆C：(x-4)2+(y-3)2=4和两点A(-m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为　　　　　　.  答案　3 解析　根据题意，点A(-m，0)，B(m，0)(m>0)， 则AB的中点为(0，0)，|AB|=2m， 则以AB的中点为圆心，半径r=×|AB|的圆为x2+y2=m2，设该圆为圆O， 若圆C上存在点M，使得AM⊥MB， 则圆C与圆O有交点， 必有|m-2|≤|OC|≤m+2，即 又由m>0，解得3≤m≤7，即m的最小值为3. 12.已知圆O：x2+y2=4，直线l过点(1，1)且与圆O交于A，B两点，当△AOB的面积最大时，直线l的方程为　　　　　　　　.  答案　x+y-2=0 解析　当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1，则A，B的坐标为(1，)，(1，-)， ∴S△OAB=×2×1=； 当直线l的斜率存在时， 设l的方程为y-1=k(x-1)，k≠1， 则圆心到直线l的距离d==， 由平面几何知识得|AB|=2， ∴S△OAB=|AB|×d=×2×d =×d≤=2， 当且仅当4-d2=d2，即d2=2时， S△OAB取得最大值2， ∵<2，∴S△OAB的最大值为2， 此时，由=，解得k=-1. 则直线l的方程为x+y-2=0. 四、解答题(共27分) 13.(13分)已知M为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点，且点Q(-2，3). (1)求|MQ|的最大值和最小值；(6分) (2)若M(m，n)，求的最大值和最小值.(7分) 解　(1)由圆C的方程x2+y2-4x-14y+45=0化为标准方程得(x-2)2+(y-7)2=8， ∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r=2， 又|QC|==4， ∴|MQ|max=4+2=6， |MQ|min=4-2=2. (2)由题意可知表示直线MQ的斜率， 设直线MQ的方程为y-3=k(x+2)， 即kx-y+2k+3=0，则=k. 由直线MQ与圆C有交点， 得≤2，可得2-≤k≤2+， ∴的最大值为2+，最小值为2-. 14.(14分)已知直线l：3x+4y+1=0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3. (1)求圆的方程；(6分) (2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值.(8分) 解　(1)∵圆与x，y轴正半轴都相切， ∴圆的方程可设为(x-a)2+(y-a)2=a2(a>0)， ∵圆心C到直线l的距离为3， 由点到直线的距离公式，得 d==3， 解得a=2， ∴圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4. (2)PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点， ∴△PCE≌△PCF， ∴S四边形PECF=2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点， ∴PE⊥CE，|CE|=2，|PE|2=|PC|2-|CE|2=|PC|2-4， ∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小.|PC|min即为点C到直线l的距离，由(1)知|PC|min=3， ∴|PE=32-4=5，即|PE|min=， ∴(S△PCE)min=|EC|·|PE|min=×2×=， ∴四边形PECF的面积的最小值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $