第2章 2.6.2 圆与圆的位置关系（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦圆与圆的位置关系这一核心知识点，通过类比直线与圆的研究方法，系统梳理内含、内切、相交、外切、外离五种位置关系，重点讲解几何法与代数法判断方法，延伸公共弦问题、圆系方程及综合应用，构建完整知识支架。 资料以生活图形引入培养数学眼光，通过例题解析与跟踪训练发展数学思维，结合公共弦推导与圆系方程应用强化数学语言。课中助力教师高效授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

2.6.2　圆与圆的位置关系 学习目标　1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题. 导语 观察这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间的位置关系. 前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，本节课我们类比之前的研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系. 一、两圆位置关系的判断 1.圆与圆的位置关系有五种，分别为内含、内切、相交、外切、外离. 2.位置关系的判断方法 (1)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)， C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 (2)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆圆心的距离为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1+r2 外切 d=r1+r2 相交 |r1-r2|< d<r1+r2 内切 d=|r1-r2| 内含 d<|r1-r2| 注意点： 判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系. 例1　已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时，圆C1、圆C2的位置关系为： (1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含. 解　将圆C1、圆C2的方程配方后可得 C1：(x-a)2+(y-1)2=16， C2：(x-2a)2+(y-1)2=1， ∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1=4，r2=1. ∴|C1C2|==a. (1)当|C1C2|=r1+r2=5，即a=5时，两圆外切； 当|C1C2|=r1-r2=3，即a=3时，两圆内切. (2)当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交. (3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离. (4)当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含. 反思感悟　判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法. (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系. 跟踪训练1　若圆C1：x2+y2-4x+3=0与圆C2：(x+1)2+(y-4)2=a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　) A.4 B.6 C.16 D.36 答案　C 解析　圆C1的标准方程为(x-2)2+y2=1， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切， ∴=1+，解得a=16. 二、公共弦问题 例2　已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0. (1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长； (2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程. 解　(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则A，B两点坐标是方程组 的解， ①-②，得x-y+4=0. ∵A，B两点的坐标都满足此方程， ∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程. 又圆C1的圆心(-3，0)，r=， ∴C1到直线AB的距离d==， ∴|AB|=2=2=5， 即两圆的公共弦长为5. (2)方法一　解方程组 得两圆的交点A(-1，3)，B(-6，-2). 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4. 则=， 解得a=，故圆心为，半径为. 故圆的方程为+=， 即x2+y2-x+7y-32=0. 方法二　设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1)， 其圆心为，代入x-y-4=0， 解得λ=-7. 故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0. 延伸探究1　在本例条件不变时，求两圆的公共弦的中垂线的方程. 解　弦AB的中垂线也就是C1C2所在的直线. ∵C1(-3，0)，C2(0，-3). ∴AB的中垂线方程为+=1， 即x+y+3=0. 延伸探究2　在本例条件不变时，求过两圆的交点且半径最小的圆的方程. 解　根据条件可知，所求的圆就是以AB为直径的圆. ∵AB所在直线方程为x-y+4=0， C1C2所在直线方程为x+y+3=0. ∴由得圆心为， ∵|AB|=5，∴半径r=， 故所求圆的方程为+=. 反思感悟　(1)公共弦方程的求法 若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. (2)公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. (3)已知圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1). 跟踪训练2　圆心在直线x-y-4=0上，且经过圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　.  答案　(x-3)2+(y+1)2=16(或x2+y2-6x+2y-6=0) 解析　方法一　由 解得 所以圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点分别为A(-1，-1)，B(3，3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为 y-1=-(x-1). 由解得 所以所求圆的圆心坐标为(3，-1)， 半径为=4， 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 方法二　同方法一求得A(-1，-1)，B(3，3)， 设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 由解得 所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16. 三、圆与圆的综合性问题 例3　求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3，-)的圆的方程. 解　设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)， 由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切， 则=r+1. ① 又所求圆过点M的切线为直线x+y=0， 故=. ② =r. ③ 由①②③解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=-4，r=6. 故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36. 延伸探究3　将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切，圆心在x轴上，且过点(3，-)的圆的方程”，如何求？ 解　因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r， 则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2， 又因为与圆x2+y2-2x=0外切， 且过点(3，-)， 所以解得 所以圆的方程为(x-4)2+y2=4. 反思感悟　通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题. 1.知识清单： (1)两圆的位置关系. (2)两圆的公共弦. (3)圆系方程. (4)圆与圆的综合性问题. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：将两圆内切和外切相混. 1.圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是(　　) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切 答案　B 解析　把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x-1)2+y2=1，圆O2：x2+(y-2)2=4，则O1(1，0)，O2(0，2)，|O1O2|==<r1+r2，又r2-r1<，所以两圆相交. 2.(多选)若圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4外切，则m的值为(　　) A.2 B.-5 C.-2 D.5 答案　AB 解析　圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2，m)，半径为3， 圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m，-1)，半径为2. 依题意有=3+2， 即m2+3m-10=0， 解得m=2或m=-5. 3.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，则圆C的方程是 　. 答案　(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36 解析　设圆C的半径为r， 圆心距d==5， 当圆C与圆O外切时，r+1=5，解得r=4； 当圆C与圆O内切时，r-1=5，解得r=6， 则圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16 或(x-4)2+(y+3)2=36. 4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2，则a=　　　　　　.  答案　1 解析　将两圆的方程相减， 得相交弦所在的直线方程为y=， 圆心(0，0)到直线的距离d===1， 所以a=1. 课时对点练　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.圆C1：x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2：x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为(　　) A.相交 B.外切 C.内切 D.外离 答案　C 解析　由已知，得C1(-2，-4)，r1=5，C2(-2，-2)，r2=3，则圆心距d=|C1C2|=2，所以d=|r1-r2|，所以两圆内切. 2.圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　) A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0 C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0 答案　A 解析　圆x2+y2-2x-5=0的圆心为M(1，0)，圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心为N(-1，2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为=，即x+y-1=0. 3.(多选)下列圆中与圆C：x2+y2+2x-4y+1=0相切的是(　　) A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9 C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=49 答案　BCD 解析　由圆C：x2+y2+2x-4y+1=0，可知圆心C的坐标为(-1，2)，半径r=2. A项，圆心C1(-2，-2)，半径r1=3. ∵|C1C|=∈(r1-r，r1+r)，∴两圆相交； B项，圆心C2(2，-2)，半径r2=3， ∵|C2C|=5=r+r2，∴两圆外切，满足条件； C项，圆心C3(2，2)，半径r3=5， ∵|C3C|=3=r3-r，∴两圆内切； D项，圆心C4(2，-2)，半径r4=7， ∵|C4C|=5=r4-r，∴两圆内切. 4.设圆C1，C2 都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆的圆心距|C1C2|等于(　　) A.32 B.16 C.8 D.1 答案　C 解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都过点(4，1)， ∴两圆的圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)， 则有(4-a)2+(1-a)2=a2，(4-b)2+(1-b)2=b2， ∴a，b为方程(4-x)2+(1-x)2=x2 的两个实数根， 即a，b为方程x2-10x+17=0 的两个实数根， ∴a+b=10，ab=17 . ∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32， ∴|C1C2|===8. 5.已知点A(1，0)，B(1，6)，圆C：x2+y2-10x-12y+m=0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°，则m等于(　　) A.-3或3 B.57 C.-3或57 D.3或57 答案　C 解析　由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切. 因为A(1，0)，B(1，6)，所以以AB为直径的圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=9， 圆C：(x-5)2+(y-6)2=61-m. 因为两圆相切， 所以|CM|=|3±|，即5=|3±|， 解得m=57或m=-3. 6.已知m是正实数，则“m≥16”是“圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x-4)2+(y+3)2=m有公共点”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　圆x2+y2=1的圆心C1(0，0)，半径r1=1，圆(x-4)2+(y+3)2=m的圆心C2(4，-3)，半径r2=(m>0)，则|C1C2|==5，两圆有公共点⇔|-1|≤5≤+1，解得16≤m≤36，显然[16，36] [16，+∞).故“m≥16”是“圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x-4)2+(y+3)2=m有公共点”的必要而不充分条件. 7.(5分)已知圆C1：x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2：x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线，则实数a，b的关系是　　　　　　　　.  答案　4a2+b2=1 解析　圆C1：x2+y2+4ax+4a2-4=0，化为标准方程为(x+2a)2+y2=4，圆心坐标为(-2a，0)，半径长为2. 圆C2：x2+y2-2by+b2-1=0，化为标准方程为x2+(y-b)2=1.圆心坐标为(0，b)，半径长为1. 由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，所以=2-1=1，整理得4a2+b2=1. 8.(5分)经过直线x+y+1=0与圆x2+y2=2的交点，且过点(1，2)的圆的方程为　　　　　　　.  答案　x2+y2-x-y-=0 解析　由已知可设所求圆的方程为x2+y2-2+λ(x+y+1)=0，将(1，2)代入，可得λ=-，故所求圆的方程为x2+y2-x-y-=0. 9.(10分)已知两圆C1：x2+y2=4，C2：(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)，直线l：x+2y=0. (1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；(5分) (2)当r=1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.(5分) 解　(1)由圆C1：x2+y2=4，知圆心C1(0，0)，半径r1=2，又由圆C2：(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0)，可得x2+y2-2x-4y+5-r2=0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x+4y-9+r2=0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0，0)，即r2=9(r>0)，解得r=3. (2)设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x-1)2+(y-2)2-1+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1)，即(1+λ)x2+(1+λ)y2-2x-4y+4(1-λ)=0，所以+=，由圆心到直线x+2y=0的距离等于圆的半径，可得=，解得λ=1，故所求圆的方程为x2+y2-x-2y=0. 10.(10分)已知圆C：x2+y2-6x-8y+21=0. (1)若直线l1过定点A(1，1)，且与圆C相切，求l1的方程；(5分) (2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x-y+2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程.(5分) 解　(1)圆C：x2+y2-6x-8y+21=0化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4， 所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2. ①若直线l1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意. ②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y-1=k(x-1). 即kx-y-k+1=0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2， 所以=2，即=2， 解得k=， 所以直线方程为5x-12y+7=0. 综上，直线l1的方程为x=1和5x-12y+7=0. (2)依题意，设圆心D(a，a+2). 又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2， 由两圆外切，可知|CD|=5， 所以=5， 解得a=-1或a=6. 所以D(-1，1)或D(6，8)， 所以所求圆D的方程为(x+1)2+(y-1)2=9或(x-6)2+(y-8)2=9. 11.若圆C：(x-a)2+(y-a)2=8上总存在两个点到原点的距离均为，则实数a的取值范围是(　　) A.(-3，-1)∪(1，3) B.(-3，3) C.[-1，1] D.(-3，-1]∪[1，3) 答案　A 解析　到原点的距离为的点的轨迹为圆C1：x2+y2=2， 因此圆C：(x-a)2+(y-a)2=8上总存在两个点到原点的距离均为， 转化为圆C1：x2+y2=2与圆C：(x-a)2+(y-a)2=8有两个交点， ∵两圆的圆心和半径分别为C1(0，0)，r1=，C(a，a)，r=2， ∴r-r1<|C1C|<r1+r， ∴<|a|<3， 解得-3<a<-1或1<a<3， ∴实数a的取值范围是(-3，-1)∪(1，3). 12.(多选)已知圆C1：(x+2)2+y2=1，圆C2：x2+(y-a)2=9，则下列结论正确的是(　　) A.若圆C1和圆C2外离，则a>2或a<-2 B.若圆C1和圆C2外切，则a=±2 C.当a=0时，有且仅有一条直线与圆C1和圆C2均相切 D.当a=2时，圆C1和圆C2内含 答案　ABC 解析　圆C1：(x+2)2+y2=1的圆心为C1(-2，0)，半径r1=1， 圆C2：x2+(y-a)2=9的圆心为C2(0，a)，半径r2=3，所以|C1C2|=， 若圆C1和圆C2外离，则|C1C2|=>r1+r2=4，解得a>2或a<-2，故A正确； 若圆C1和圆C2外切，则|C1C2|==4，解得a=±2，故B正确； 当a=0时，|C1C2|=2=r2-r1，则圆C1和圆C2内切，故仅有一条公切线，故C正确； 当a=2时，2=r2-r1<|C1C2|=2<r1+r2=4，则圆C1和圆C2相交，故D错误. 13.(多选)若圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2+2x-4y=0的交点为A，B，则有(　　) A.公共弦AB所在直线的方程为x-y=0 B.线段AB中垂线的方程为x+y-1=0 C.公共弦AB的长为 D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为+1 答案　ABD 解析　对于A，由圆O1：x2+y2-2x=0与圆O2：x2+y2+2x-4y=0的交点为A，B， 两式作差可得4x-4y=0，即公共弦AB所在直线的方程为x-y=0，故A正确； 对于B，圆O1：x2+y2-2x=0的圆心为(1，0)， 又kAB=1，则线段AB中垂线的斜率为-1， 即线段AB中垂线的方程为y-0=-1×(x-1)， 整理可得x+y-1=0，故B正确； 对于C，圆O1：x2+y2-2x=0的圆心O1(1，0)到直线x-y=0的距离d==，半径r=1，所以|AB|=2=，故C不正确； 对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1，0)到直线x-y=0的距离为d=，半径r=1， 即P到直线AB距离的最大值为+1，故D正确. 14.(5分)过点P(2，2)作圆C：x2+y2+2x-3=0的两条切线，切点分别为A，B，则|AB|=　　　　.  答案　 解析　圆C：x2+y2+2x-3=0，即(x+1)2+y2=4， 所以圆心为C(-1，0)，半径为2，(2+1)2+22=13>4，所以点P在圆C外. 线段PC的中点坐标为， |PC|==， 以PC为直径的圆的方程为 +(y-1)2=， 即x2+y2-x-2y-2=0， 由x2+y2+2x-3=0，x2+y2-x-2y-2=0两式相减并化简得3x+2y-1=0， 又C(-1，0)到直线3x+2y-1=0的距离为=， 所以|AB|=2=. 15.(5分)已知圆M：x2+(y-3)2=1和圆N：(x-4)2+y2=16，则圆M与圆N的所有公切线中斜率的最大值为　　　　　.  答案　 解析　圆M：x2+(y-3)2=1的圆心和半径分别为M(0，3)，r=1，圆N：(x-4)2+y2=16的圆心和半径分别为N(4，0)，R=4， 由于|MN|==5=R+r，因此两圆外切，有3条公切线， 作出两圆的位置关系图如图所示， 由图可知，一条公切线平行于x轴，斜率为0，一条斜率为负， 一条垂直于MN，斜率为正，故斜率最大， 由于kMN=-，故所有公切线中斜率的最大值为. 16.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1的方程为+y2=10，圆C2过点M，且与圆C1外切于点N. (1)求圆C2的方程；(5分) (2)设斜率为2的直线m分别交x轴负半轴和y轴正半轴于A，B两点，交圆C2在第二象限的部分于E，F两点.若△AOE与△BOF的面积相等，求直线m的方程.(7分) 解　(1)设圆C2的方程为 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)， 因为圆C1的方程为+y2=10， 所以圆C1的圆心坐标为C1， 因为圆C2与圆C1外切于点N， 所以圆C2的圆心在直线C1N上， 因为直线C1N的方程为y=-， 所以b=-， 因为圆C2过点M， 且与圆C1外切于点N， 所以解得 所以圆C2的方程为x2+=. (2)如图，设直线m的方程为y=2x+t(t>0)， 则A，B(0，t)， 因为圆C2的方程为 x2+=， 所以圆C2与y轴正半轴的交点的坐标为， 因为直线m交圆C2在第二象限的部分于E，F两点，所以圆心C2到直线m的距离满足 <且t>， 所以<t<， ① 因为△AOE与△BOF的面积相等， 则AE=BF，所以EF，AB的中点重合. 所以EF的中点D， 因为C2D⊥EF，C2， 所以·kEF=-1，即×2=-1， 解得t=4满足①式， 所以直线m的方程为y=2x+4，即2x-y+4=0. 学科网（北京）股份有限公司 $