第2章 2.6.1 直线与圆的位置关系（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学“直线与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理相交、相切、相离三种位置关系的判断方法，涵盖几何法（圆心到直线距离与半径比较）和代数法（方程组判别式），衔接圆的方程与点到直线距离公式，为后续圆与圆位置关系学习搭建支架。 该资料以海上日出情境导入，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过几何法与代数法对比训练数学思维，结合表格梳理、例题详解及跟踪训练提升数学语言表达能力。课中辅助教师高效教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

2.6.1　直线与圆的位置关系 学习目标　1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系. 导语 海上日出是非常壮丽的美景.在海天交于一线的天际，一轮红日慢慢升起，先是探出半个圆圆的小脑袋，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现着斑斓的霞光和迷人的风采.在这个过程中，把太阳看作一个圆，海天交线看作一条直线，日出的过程中也体现了直线与圆的位置关系. 一、直线与圆的位置关系的判断 问题1　如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，观察下面三幅太阳落山的图片，结合初中平面几何知识，思考：直线与圆有哪些位置关系？ 提示　相交、相切与相离. 问题2　如何利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 提示　转化为它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解. 知识梳理 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2个 1个 0个 判断方法 几何法： 设圆心到直线的距离为d= d<r d=r d>r 代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0 例1　(课本例1) 　已知直线l：x+y+2=0和圆C：x2+y2+2x-2y-18=0，判断直线l与圆C的位置关系.如果相交，求出它们的交点的坐标. 解　由直线l与圆C的方程，得 消去y，得x2+4x-5=0. 因为Δ=42-4×1×(-5)=36>0， 所以直线l与圆C相交，有两个公共点. 由x2+4x-5=0，解得x1=-5，x2=1. 将x1，x2分别代入直线方程，得y1=3，y2=-3. 所以直线l与圆C有两个交点，它们的坐标分别是(-5，3)，(1，-3). 例1　已知直线方程mx-y-m-1=0，圆的方程x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点. 解　方法一　(代数法)将直线mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理得， (1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0. 则Δ=4m(3m+4). (1)当Δ>0，即m>0或m<-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. (2)当Δ=0，即m=0或m=-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. (3)当Δ<0，即-<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 方法二　(几何法)已知圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4， 即圆心为C(2，1)，半径r=2. 圆心C(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离 d== . (1)当d<2，即m>0或m<-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点. (2)当d=2，即m=0或m=-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点. (3)当d>2，即-<m<0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点. 反思感悟　直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来判断. (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断. (3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系. 跟踪训练1　(1)已知圆C： x2+y2-4x=0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　) A.直线l与圆C相交 B.直线l与圆C相切 C.直线l与圆C相离 D.以上三个选项均有可能 答案　A 解析　将点P(3，0)代入圆的方程，得32+02-4×3=9-12=-3<0， ∴点P(3，0)在圆内. ∴过点P的直线l必与圆C相交. (2)若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离，则实数m的取值范围是(　　) A.(0，2] B.(1，2] C.(0，2) D.(1，2) 答案　C 解析　由题意得，圆心到直线的距离为d=>， ∴m<2，∵m>0，∴0<m<2. 二、圆的弦长问题 求直线与圆相交时弦长的两种方法： (1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有+d2=r2， 即|AB|=2. 　　　　　 图①　　　　　　　图② (2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|= =|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|(直线l的斜率k存在). 例2　求直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长. 解　方法一　(代数法)直线x-y+2=0和圆x2+y2=4的公共点坐标就是方程组的解. 解这个方程组，得 所以公共点的坐标为(-，1)，(0，2)， 所以直线x-y+2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为=2. 方法二　(几何法) 如图，设直线x-y+2=0与圆x2+y2=4交于A，B两点，弦AB的中点为M，则OM⊥AB(O为坐标原点)， 又|OM|==， 所以|AB|=2|AM|=2 =2=2. 反思感悟　求弦长常用的三种方法 (1)几何法：利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系+d2=r2解题. (2)交点坐标法：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长. (3)公式法：设直线y=kx+b与圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l=·|x1-x2|=. 特别提醒：利用弦长求直线方程、圆的方程时，应注意斜率不存在的情况. 跟踪训练2　已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点，且与直线x+y-2=0垂直. (1)求直线l的方程； (2)若圆C的圆心坐标为(3，0)，直线l被该圆所截得的弦长为2，求圆C的标准方程. 解　(1)由已知得解得 ∴两直线交点为(2，1). 设直线l的斜率为kl， ∵直线l与x+y-2=0垂直，∴kl=1， ∵直线l过点(2，1)， ∴直线l的方程为y-1=x-2， 即x-y-1=0. (2)设圆的半径为r，依题意，得 圆心(3，0)到直线x-y-1=0的距离为=， 则由垂径定理得r2=()2+()2=4， ∴r=2， ∴圆的标准方程为(x-3)2+y2=4. 三、圆的切线问题 问题3　从圆上一点引圆的切线有几条？从圆外呢？求切线方程的关键要素是什么？ 提示　1条，2条，切线上的一点和切线斜率. 例3　(1)过点A(-1，4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l，则切线l的方程为　　　　　　.  答案　y=4或3x+4y-13=0 解析　∵(-1-2)2+(4-3)2=10>1， ∴点A在圆外. 当直线l的斜率不存在时，l：x=-1，不满足题意. 因此直线l的斜率存在， 设切线l的方程为y-4=k(x+1)， 即kx-y+4+k=0. 圆心(2，3)到切线l的距离为=1， 解得k=0或k=-， 因此，所求直线l的方程为y=4或3x+4y-13=0. (2)由直线y=x+1上任一点向圆C：(x-3)2+y2=1引切线，则该切线长的最小值为(　　) A.1 B.2 C. D.3 答案　C 解析　圆心C(3，0)到直线y=x+1的距离 d==2. 所以切线长的最小值为l==. 反思感悟　求过某一点的圆的切线方程 (1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为-，由点斜式可得切线方程. ②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y=y0或x=x0. (2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法 ①若切线斜率存在时，设切线的斜率为k，则切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程. ②当切线斜率不存在时要加以验证. ③过圆外一点的切线有两条. 跟踪训练3　(1)过圆x2+y2-2x-4y=0上一点P(3，3)的切线方程为(　　) A.2x-y+9=0 B.2x+y-9=0 C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0 答案　B 解析　x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1，2)， kPC=，∴切线的斜率k=-2， ∴切线方程为y-3=-2(x-3)， 即2x+y-9=0. (2)已知直线l：ax+by-3=0与圆M：x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1，2)，则直线l的方程为　　　　　　　.  答案　x+2y-3=0 解析　根据题意，圆M：x2+y2+4x-1=0， 即(x+2)2+y2=5，其圆心为M(-2，0)， 直线l：ax+by-3=0与圆M：x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1，2)， 则点P在直线l上且MP与直线l垂直. kMP==2， 即-=-，则有b=2a， 又由点P在直线l上，则-a+2b-3=0， 解得a=1，b=2， 则直线l的方程为x+2y-3=0. 1.知识清单： (1)直线与圆的位置关系. (2)圆的弦长问题. (3)圆的切线问题. 2.方法归纳：几何法、代数法. 3.常见误区：求圆的切线方程时忽略切线斜率不存在的情况. 1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系是(　　) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离 答案　B 解析　∵圆心(0，0)到直线y=x+1的距离d==<1， ∴直线与圆x2+y2=1相交， 又(0，0)不在y=x+1上，∴直线不过圆心. 2.圆x2+y2=4在点P(，-1)处的切线方程为(　　) A.x+y-2=0 B.x+y-4=0 C.x-y-4=0 D.x-y+2=0 答案　C 解析　∵()2+(-1)2=4， ∴点P在圆上，∴P为切点. ∵切点与圆心连线的斜率为-， ∴切线的斜率为， ∴切线方程为y+1=(x-)，即x-y-4=0. 3.(多选)若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b的值是(　　) A.-2 B.-12 C.2 D.12 答案　CD 解析　圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0， 可化为(x-1)2+(y-1)2=1， 由圆心(1，1)到直线3x+4y-b=0的距离为=1， 得b=2或b=12. 4.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为　　　　.  答案　2 解析　 直线方程为y=x，圆的方程为(x-2)2+y2=4，圆心(2，0)到直线的距离d==，弦长l=2=2=2. 课时对点练　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知点M(a，b)在圆O：x2+y2=1外，则直线ax+by=1与圆O的位置关系是(　　) A.相切 B.相交 C.相离 D.不确定 答案　B 解析　∵点M(a，b)在圆x2+y2=1外， ∴a2+b2>1. ∴圆心(0，0)到直线ax+by=1的距离d=<1=r， 则直线与圆的位置关系是相交. 2.“a<3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相交”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　圆(x-a)2+(y-3)2=(2)2的圆心坐标为(a，3)，半径为2. 若直线x-y+4=0与圆(x-a)2+(y-3)2=相交， 则<2，解得-5<a<3， 所以“a<3”是“直线y=x+4与圆(x-a)2+(y-3)2=8相交”的必要而不充分条件. 3.若a2+b2=2c2(c≠0)，则直线ax+by+c=0被圆x2+y2=1所截得的弦长为(　　) A. B.1 C. D. 答案　D 解析　∵a2+b2=2c2， ∴圆心到直线的距离d==. 设弦长为l，则l=2=. 4.若直线y=kx+3被圆C：(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　) A. B.± C. D.± 答案　D 解析　因为直线y=kx+3被圆C：(x-2)2+(y-3)2=4截得的弦长为2， 所以圆心C(2，3)到直线的距离d==1， 所以==1， 解得k=±. 5.已知圆C与直线x-y=0及x-y-4=0都相切，且圆心C在直线x+y=0上，则圆C的方程为(　　) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 答案　B 解析　由x-y=0与x-y-4=0都与圆相切， 且直线x-y=0与x-y-4=0平行，知圆C的圆心C在直线x-y-2=0上. 由得圆心C(1，-1). 又因为两平行线间的距离d==2， 所以所求圆的半径r=， 故圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2. 6.(多选)过点P(2，1)作圆O：x2+y2=1的切线l，则切线l的方程为(　　) A.y=1 B.x=2 C.3x-4y-5=0 D.4x-3y-5=0 答案　AD 解析　由题意得切线l的斜率存在，故可设切线l的方程为y-1=k(x-2)，即kx-y-2k+1=0， ∴圆心到直线l的距离d==1， ∴3k2-4k=0， ∴k=0或k=， ∴切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0. 7.(5分)若直线y=kx与圆x2+y2-6x+8=0相切，且切点在第四象限，则k=　　　　　　.  答案　- 解析　圆x2+y2-6x+8=0，即(x-3)2+y2=1，其圆心为(3，0)、半径等于1. 由题意可得k<0，再根据圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得k=-(正值舍去). 8.(5分)若直线y=kx+与圆x2+y2=1没有公共点，则此直线倾斜角α的取值范围是　　　　　　.  答案　∪ 解析　圆x2+y2=1的圆心为(0，0)，半径为1， 因为直线y=kx+与圆x2+y2=1没有公共点， 所以=>1， 化简得0≤k2<1，解得-1<k<1， 所以-1<tan α<1， 因为α∈[0，π)，所以0≤α<或<α<π， 所以直线倾斜角α的取值范围为∪. 9.(10分)已知曲线C：x2+y2+2x+4y+m=0. (1)当m为何值时，曲线C表示圆？(5分) (2)若直线l：y=x-m与圆C相切，求m的值.(5分) 解　(1)由C：x2+y2+2x+4y+m=0， 得(x+1)2+(y+2)2=5-m， 由5-m>0时，得m<5， ∴当m<5时，曲线C表示圆. (2)由(1)知圆C的圆心为(-1，-2)，半径为. ∵直线l：y=x-m与圆C相切， ∴=， 解得m=±3，满足m<5，∴m=±3. 10.(11分)已知圆C过点(1，1)，圆心在x轴正半轴上，且与直线y=x-4相切. (1)求圆C的标准方程；(5分) (2)已知过点P(1，3)的直线l交圆C于A，B两点，且|AB|=2，求直线l的方程.(6分) 解　(1)由题意，设圆心为C(a，0)(a>0)， 由题意，得=， 解得a=-6(舍)或a=2， 所以圆的半径为r==， 则圆C的标准方程为(x-2)2+y2=2. (2)若斜率不存在，则直线方程为x=1，弦心距d=1，半径为，则|AB|=2=2，符合题意； 若斜率存在，设直线方程为y-3=k(x-1)， 即kx-y-k+3=0. 弦心距d=，得|AB|=2=2， 解得k=-，直线方程为4x+3y-13=0. 综上所述，直线l的方程为x=1或4x+3y-13=0. 11.直线y=kx与圆(x-1)2+(y-1)2=1交于M，N两点，O为坐标原点，则·等于(　　) A. B. C.1 D.2 答案　C 解析　联立得(1+k2)x2-2(k+1)x+1=0，则Δ>0，即4(k+1)2-4(k2+1)>0，所以k>0， 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2=，y1y2=k2x1x2=， ·=x1x2+y1y2=(1+k2)·=1. 12.(多选)已知ab≠0，O为坐标原点，点P(a，b)是圆x2+y2=r2外一点，过点P作直线l⊥OP，直线m的方程是ax+by=r2，则下列结论正确的是(　　) A.m∥l B.m⊥l C.m与圆相离 D.m与圆相交 答案　AD 解析　由题意知直线OP的斜率为， 则直线l的斜率为-， ∴直线l的方程为y-b=-(x-a)， 即ax+by=a2+b2，故m∥l， 又P(a，b)在圆外，∴a2+b2>r2， 圆心(0，0)到直线ax+by=r2的距离 d=<=|r|， 故m与圆相交. 13.现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)，已知弦|AB|=1尺，弓形高|CD|=1寸，则阴影部分的面积约为(　　) A.6.33平方寸 B.5.35平方寸 C.7.37平方寸 D.8.39平方寸 答案　A 解析　连接OD，OA(图略)，设圆柱形木材半径为r寸. 由题意知|AD|=5寸，则|OD|=(r-1)寸， 在Rt△OAD中，|OA|2=|AD|2+|OD|2， 即r2=52+(r-1)2，解得r=13， 则sin∠AOC=， 所以∠AOC≈22.5°， 则∠AOB≈2×22.5°=45°， 所以扇形OAB的面积 S1==≈66.33(平方寸)， △OAB的面积S2=×10×12=60(平方寸)， 所以阴影部分的面积为S1-S2≈66.33-60 =6.33(平方寸). 14.(5分)在圆x2+y2-2x-6y=0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为　　　　　　.  答案　10 解析　圆的方程化为标准形式为(x-1)2+(y-3)2=10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|=2，最短弦BD恰以E(0，1)为中点，且与AC垂直， 设点F为其圆心，坐标为(1，3). 故|EF|=，所以|BD|=2=2， 则S四边形ABCD=|AC|·|BD|=10. 15.(5分)已知圆C：x2+(y-2)2=16，点P在直线l：x+2y+6=0上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.当∠APB最大时，cos∠APB=　　　　　.  答案　- 解析　如图所示，易知∠APB=2∠APC，若∠APB最大，则∠APC最大， 在Rt△APC中，sin∠APC=，则当∠APC最大时，|PC|取得最小值， 显然由点到直线的距离公式可知|PC|≥=2， 则当|PC|=2时，sin∠APC=， 则cos∠APB=1-2sin2∠APC=-. 16.(12分)如图，在平面直角坐标系中，P为直线y=4上一动点，圆O：x2+y2=4与x轴的交点分别为M，N，圆O与y轴的交点分别为S，T. (1)若△MTP为等腰三角形，求P点坐标；(3分) (2)若直线PT交圆O于另一点A，直线PS交圆O于另一点B. ①求证：直线AB过定点，并求出定点坐标；(5分) ②求四边形ASBT面积的最大值.(4分) (1)解　设P(t，4)，由题意得M(-2，0)，T(0，2)，|MT|=2，当|PT|=|MT|， 即=2时， 解得t=±2，当t=2时，P，M，T三点共线，舍去，所以P(-2，4)； 当|PM|=|PT|， 即=时， 解得t=-4，所以P(-4，4). 综上，P点坐标为(-2，4)或(-4，4). (2)①证明　设P(t，4)，T(0，2)，S(0，-2)， 当t≠0时，kPT=，kPS=，kPS=3kPT， ∵kAS·kAT=-1，∴kBS·kAS=-3， 直线AB的斜率显然存在， 设其方程为y=kx+b，联立x2+y2=4， 消去y可得(1+k2)x2+2kbx+b2-4=0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1+x2=，x1x2=， 故y1+y2=，y1y2=， kAS·kBS==-3， ∴=-3， 解得b=1， 则直线AB：y=kx+1， ∴直线AB恒过定点(0，1)， 当t=0时，直线AB：x=0也过定点(0，1)， 综上，直线AB恒过定点(0，1). ②解　由①得x1+x2=，x1x2=， 则S四边形ASBT=×4×|x1-x2| =2 =2=4， 令m=1+k2，则m≥1， 则==-+4≤3， 当m=1，即k=0时，取得最大值， ∴当直线AB的方程为y=1时， 四边形ASBT面积有最大值，为4. 学科网（北京）股份有限公司 $