第2章 2.4 第1课时 两点间的距离（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦两点间的距离公式及坐标法应用，从数轴上两点距离入手，通过向量坐标运算推导平面内两点距离公式，进而结合实例应用公式判断三角形形状，延伸至用坐标法证明几何问题，构建从基础到综合的学习支架。 以公交站点选址问题导入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过问题链引导公式推导发展推理思维，坐标法证明几何问题强化数学语言表达。例题分层设计，跟踪训练与课时练习结合，课中助力教师高效引导，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

第1课时　两点间的距离 学习目标　1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题. 导语 在一条笔直的公路同侧有两个大型小区，现计划在公路上某处建一个公交站点C，以方便居住在两个小区的住户出行.如何选址能使站点到两个小区的距离之和最小？ 一、两点之间的距离公式 问题1　在数轴上已知两点A，B，如何求A，B两点间的距离？ 提示　|AB|=|xA-xB|. 问题2　已知平面内两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，怎样求这两点间的距离|AB|？ 提示　我们可以将点A，B的坐标看作向量，的坐标，由向量的坐标运算，可得=(x2-x1，y2-y1).由于|AB|2=||2=(x2-x1)2+(y2-y1)2，因此，可得平面内任意两点间的距离公式： |AB|=. 知识梳理 1.A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离为|AB|=. 2.原点O(0，0)与任一点A(x，y)的距离|OA|=. 注意点： (1)此公式与两点的先后顺序无关. (2)已知斜率为k的直线上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由两点间的距离公式可得|AB|==·|x2-x1|，或|AB|=|y2-y1|. 例1　(课本例1) 　已知△ABC的三个顶点分别为A(-3，1)，B(3，-3)，C(1，7). (1)求BC边上的中线AM的长； (2)证明：△ABC为等腰直角三角形. (1)解　由线段中点坐标公式可知，点M的坐标为=(2，2)， 则|AM|==. (2)证明　|AB|==2， |BC|==2， |AC|==2. 因为|AB|2+|AC|2=|BC|2，且|AB|=|AC|， 所以△ABC为等腰直角三角形. 例1　已知△ABC的三个顶点分别为A(-1，0)，B(1，0)，C，试判断△ABC的形状. 解　方法一　因为|BC|==1， |AB|=2. |AC|==， 有|AC|2+|BC|2=|AB|2， 所以△ABC是直角三角形. 方法二　因为kAC==，kBC==-， 所以kAC·kBC=-1. 所以AC⊥BC. 又|AC|==， |BC|==1， |AC|≠|BC|，所以△ABC是直角三角形. 反思感悟　计算两点间距离的方法 (1)对于任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)， |AB|=. (2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况|y2-y1|或|x2-x1|求解. 跟踪训练1　若点M到x轴和到点N(-4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为　　　　　　　　.  答案　(2，10)或(-10，10) 解析　由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10. 设点M的坐标为(xM，±10). 由两点间距离公式， 得|MN|==10或|MN|==10(舍)， 解得xM=-10或xM=2， 所以点M的坐标为(2，10)或(-10，10). 二、坐标法的应用 例2　(课本例2) 　证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 证明　如图，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则A(0，0).设B，C两点的坐标分别为B(b，0)，C(0，c)，BC的中点为D. 因为D是斜边BC的中点，故点D的坐标为，即D. 由两点间距离公式，得 |BC|==， |AD|==. 所以|AD|=|BC|. 因此，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 例2　求证：三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 证明　如图，以A为原点，边AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，其中D，E分别为边AC和BC的中点. 则A(0，0)，设B(c，0)，C(m，n)， 则|AB|=|c|. 又由中点坐标公式，得D，E， ∴|DE|==，∴|DE|=|AB|， 即三角形的中位线长度等于第三边长度的一半. 反思感悟　(1)用解析法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”. (2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤 ①建立坐标系，用坐标表示有关的量. ②进行有关代数运算. ③把代数运算的结果“翻译”成几何结论. 跟踪训练2　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：|AC|=|BD|. 证明　如图所示，建立平面直角坐标系，则A(0，0)， 设B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a-b，c). 则|AC|==， |BD|==. 故|AC|=|BD|. 1.知识清单： (1)两点间的距离公式. (2)坐标法的应用. 2.方法归纳：待定系数法、坐标法. 3.常见误区：已知距离求参数问题易漏解. 1.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是(　　) A.x2-y2=1 B.x2+y2=0 C.=1 D.x2-y2=0 答案　C 解析　由两点间的距离公式得=1. 2.已知M(2，1)，N(-1，5)，则|MN|等于(　　) A.5 B. C. D.4 答案　A 解析　|MN|==5. 3.直线y=x上的两点P，Q的横坐标分别是1，5，则|PQ|等于(　　) A.4 B.4 C.2 D.2 答案　B 解析　∵P(1，1)，Q(5，5)， ∴|PQ|==4. 4.已知△ABC的三个顶点坐标为A(-1，5)，B(-2，-1)，C(2，3)，则BC边上的中线长为　　　　.  答案　 解析　BC的中点坐标为(0，1)， 则BC边上的中线长为 =. 课时对点练　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.若A(-1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则等于(　　) A. B. C.3 D.2 答案　D 解析　|AC|=4，|CB|=2，故=2. 2.在△ABC中，已知A(4，1)，B(7，5)，C(-4，7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是(　　) A.2 B.3 C. D. 答案　C 解析　由中点坐标公式可知，点D的坐标为.由两点间的距离公式，得|AD|==. 3.若两直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　直线3ax-y-2=0过定点A(0，-2)，直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B， 由两点间的距离公式，得|AB|=. 4.(多选)对于，下列说法正确的是(　　) A.可看作点(x，0)与点(1，2)的距离 B.可看作点(x，0)与点(-1，-2)的距离 C.可看作点(x，0)与点(-1，2)的距离 D.可看作点(x，-1)与点(-1，1)的距离 答案　BCD 解析　= ==， 可看作点(x，0)与点(-1，-2)，点(x，0)与点(-1，2)，点(x，-1)与点(-1，1)的距离，故选项A不正确. 5.以点A(-3，0)，B(3，-2)，C(-1，2)为顶点的三角形是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.以上都不是 答案　C 解析　|AB|==2， |BC|==4， |AC|==2， ∵|AC|2+|BC|2=|AB|2， ∴△ABC为直角三角形. 6.已知A(5，2a-1)，B(a+1，a-4)，当|AB|取最小值时，实数a的值是(　　) A.- B.- C. D. 答案　C 解析　∵A(5，2a-1)，B(a+1，a-4)， ∴|AB|= == =， ∴当a=时，|AB|取得最小值. 7.(5分)已知点A(-2，-1)，B(a，3)，且|AB|=5，则a的值为　　　　　　.  答案　1或-5 解析　由两点间距离公式， 得|AB|2=(-2-a)2+(-1-3)2=52， 所以(a+2)2=32， 所以a+2=±3，即a=1或a=-5. 8.(5分)若动点P的坐标为(x，1-x)，x∈R，则动点P到原点的距离的最小值是　　　　　　.  答案　 解析　由两点间的距离公式得P到原点的距离为= =， 则距离的最小值为=. 9.(10分)已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标A(-2，5)，B(-1，6)，C(2，3). (1)求顶点D的坐标；(5分) (2)求平行四边形ABCD的面积.(5分) 解　(1)∵A(-2，5)，C(2，3)， ∴AC的中点坐标为(0，4)， 该点也为BD的中点，设D(x，y)， 则解得∴D(1，2). (2)由题意得|AC|==2， 同理|AB|=，|BC|=3， ∵|AB|2+|BC|2=|AC|2， ∴AB⊥BC，平行四边形ABCD为矩形，四边形ABCD的面积S=|AB|×|BC|=3×=6. 10.(10分)如图所示，已知BD是△ABC的边AC上的中线，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AB|2+|BC|2-|AC|2=2|BD|2. 证明　如图所示，以点D为坐标原点，AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系. 设B(b，c)，C(a，0)，依题意得A(-a，0). |AB|2+|BC|2-|AC|2 =(a+b)2+c2+(a-b)2+c2-(2a)2 =2a2+2b2+2c2-2a2=2b2+2c2， 2|BD|2=2(b2+c2)=2b2+2c2， 所以|AB|2+|BC|2-|AC|2=2|BD|2. 11.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线y=2x+m上的两点，若|AB|=5，则|x2-x1|等于(　　) A.5 B.2 C.10 D. 答案　D 解析　由题意得A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线y=2x+m上的两点， 则y1=2x1+m，y2=2x2+m， 若|AB|=5，则+=|AB|2， 即+=52， 则5=52，则=5， 故|x2-x1|=. 12.(多选)直线x+y-1=0上与点P(-2，3)的距离等于的点的坐标是(　　) A.(-4，5) B.(-3，4) C.(-1，2) D.(0，1) 答案　BC 解析　设所求点的坐标为(x0，y0)，则 x0+y0-1=0，且=， 两式联立解得或 13.已知x，y∈R，S=+，则S的最小值是(　　) A.0 B.2 C.4 D. 答案　B 解析　S=+可以看作是点(x，y)到点(-1，0)与点(1，0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2. 14.(5分)直线l1：x-my-2=0与直线l2：mx+y+2=0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则|OQ|的最大值是　　　　.  答案　2 解析　因为l1：x-my-2=0与l2：mx+y+2=0的交点坐标为Q， 所以|OQ|= ==， 当m=0时，|OQ|max=2， 所以|OQ|的最大值是2. 15.(多选)如图，已知直线y=3x+3交x轴于点A，交y轴于点B，过A，B两点的抛物线交x轴于另一点C(3，0).若该抛物线的对称轴上存在点Q满足△ABQ是等腰三角形，则点Q的坐标可以是(　　) A.(1，-) B.(1，0) C.(1，1) D.(1，6) 答案　ABC 解析　直线y=3x+3与x轴的交点为A(-1，0)，与y轴的交点为B(0，3)，而C(3，0)， 故抛物线的对称轴为x=1. 设Q(1，a)，当AB=AQ时， =， 解得a=±，所以Q(1，-)或Q(1，)， 所以A选项正确； 当BA=BQ时， =， 解得a=0或a=6，由于点(1，6)在直线y=3x+3上，故舍去，所以Q(1，0)， 所以B选项正确，D选项错误； 当QA=QB时， =， 解得a=1，所以Q(1，1)， 所以C选项正确. 16.(12分)如图，过点P(2，1)作直线l分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点. (1)求△ABO面积的最小值及相应的直线l的方程；(6分) (2)当|PA|·|PB|取最小值时，求直线l的方程.(6分) 解　(1)依题意设A(a，0)，B(0，b)(a，b>0)， 设直线l的方程为+=1，代入点P(2，1)得+=1， 所以+=1≥2，则ab≥8，当且仅当=，即a=4，b=2时取等号， 从而S△AOB=ab≥4，当且仅当=，即a=4，b=2时取等号， 此时直线l的方程为+=1，即x+2y-4=0， 所以=4，此时直线l的方程为x+2y-4=0. (2)依题意直线l的斜率k存在且k<0，设直线l：y-1=k(x-2)， 令y=0，解得x=2-；令x=0，解得y=1-2k，所以A，B(0，1-2k)， 则|PA|·|PB|= = ≥=4， 当且仅当k2=，即k2=1， 即k=-1时，|PA|·|PB|取得最小值， 此时直线l的方程为x+y-3=0. 学科网（北京）股份有限公司 $