第2章 2.2.2 直线的两点式方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦直线的两点式方程与截距式方程，从两点确定直线的几何要素出发，推导两点式方程并明确其适用条件，再通过直线与坐标轴交点引出截距式方程，构建从一般到特殊的知识支架。 资料以斜拉桥情境导入激发兴趣，通过问题驱动引导学生探究方程推导过程，结合例题与变式训练强化分类讨论思维，如例2中截距互为相反数的两种情况分析，培养数学思维与应用意识，课中辅助教师引导探究，课后助力学生查漏补缺。

2.2.2　直线的两点式方程 学习目标　1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. 导语 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线，怎样表示该直线的方程呢？ 一、直线的两点式方程 问题1　我们知道已知两点可以确定一条直线，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，可得出直线方程.如图，若给定直线上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　=. 知识梳理 1.把过两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0称为直线的两点式方程，简称两点式. 2.如果直线既不平行于x轴也不平行于y轴，则x1≠x2且y1≠y2，此时两点式方程可以写成=. 注意点： (1)当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式方程表示. (2)两点式方程与这两个点的顺序无关. (3)方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等. 例1　(课本例5)　已知△ABC的顶点分别为A(-3，2)，B(5，-4)，C(0，-2).求BC边上的中线AM所在直线的方程. 解　由已知可得BC边的中点M的坐标为=. 于是，过A(-3，2)，M的直线的两点式方程为=. 整理得10x+11y+8=0. 这就是BC边上的中线AM所在直线的方程. 例1　已知三角形的顶点是A(1，3)，B(-2，-1)，C(1，-1)，求这个三角形三边所在直线的方程. 解　如图，直线AB过A(1，3)，B(-2，-1)，其两点式方程为=，整理得边AB所在直线的方程为4x-3y+5=0. 直线AC垂直于x轴，故边AC所在直线的方程为x=1. 直线BC平行于x轴，故边BC所在直线的方程为y=-1. 反思感悟　利用两点式求直线的方程 (1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程. (2)在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写出方程. 跟踪训练1　(1)过点(-2，1)，(3，-3)的直线方程为　　　　　　.  答案　4x+5y+3=0 解析　因为直线过点(-2，1)和(3，-3)， 所以=， 即=， 化简得4x+5y+3=0. (2)已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程. 解　由直线经过点A(1，0)，B(m，1)，因此该直线斜率不可能为零，但有可能不存在. 当直线斜率不存在，即m=1时，直线方程为x=1； 当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为=， 即x-(m-1)y-1=0. 综上可得，当m=1时，直线方程为x=1； 当m≠1时，直线方程为x-(m-1)y-1=0. 二、直线的截距式方程 问题2　若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示　由两点式方程得=，即+=1. 知识梳理 1.一般地，当直线l不与x轴平行或重合时，把直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a称为直线l在x轴上的截距. 2.方程+=1由直线l在两条坐标轴上的截距a和b确定，称为直线的截距式方程，简称截距式. 注意点： (1)如果已知直线在两个坐标轴上的截距，可以直接代入截距式方程求解；与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式方程表示. (2)将直线的方程化为截距式方程后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图. 例2　求过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 解　(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为 +=1.又l过点(3，4)， 所以+=1， 解得a=-1. 所以直线l的方程为+=1， 即x-y+1=0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y=kx，因为l过点(3，4)， 所以4=k·3， 解得k=，直线l的方程为y=x， 即4x-3y=0. 综上，直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0. 延伸探究　若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”，其他条件不变，求直线l的方程. 解　(1)当截距不为0时， 设直线l的方程为+=1， 又l过点(3，4)，所以+=1， 解得a=7， 所以直线l的方程为x+y-7=0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y=kx， 又l过点(3，4)，所以4=k·3， 解得k=， 所以直线l的方程为y=x， 即4x-3y=0. 综上，直线l的方程为x+y-7=0或4x-3y=0. 反思感悟　应用截距式方程的注意事项 (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直. (3)要注意截距式方程的逆向应用. 三、截距式方程的应用 例3　过点P(3，2)的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A，B两点. (1)当P为AB的中点时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积S最小时，求直线l的方程. 解　(1)设A(a，0)，B(0，b)， ∵P(3，2)为AB的中点，∴A(6，0)，B(0，4)， ∴由截距式得直线l的方程为+=1， 即2x+3y-12=0. (2)由题意，设直线的截距式方程为 +=1(a，b>0)， ∵直线过P(3，2)，∴+=1， ∴1=+≥2，∴ab≥24， 当且仅当=，即a=6，b=4时，等号成立， ∴△AOB的面积S=ab≥12， ∴△AOB面积的最小值为12，此时直线l的方程为+=1，即直线l的方程为2x+3y-12=0. 反思感悟　直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|a|·|b|. 跟踪训练2　已知直线l经过点(1，6)和点(8，-8). (1)求直线l的两点式方程，并化为截距式方程； (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积. 解　(1)直线l的两点式方程为=， 即=，化简得2x+y=8. 所以+=1. 故所求截距式方程为+=1. (2)如图所示，直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB， 且|OA|=4，|OB|=8， 故S△AOB=|OA|·|OB|=×4×8=16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 1.知识清单： (1)直线的两点式方程. (2)直线的截距式方程. (3)直线的截距式方程的应用. 2.方法归纳：分类讨论法、数形结合法. 3.常见误区：利用截距式方程求直线方程时忽略过原点的情况导致漏解. 1.过点(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　) A.= B.= C.= D.= 答案　B 解析　∵所求直线过点(1，2)，(5，3)， ∴所求直线方程是=. 2.在x轴、y轴上的截距分别是-3，4的直线方程是(　　) A.+=1 B.+=1 C.-=1 D.+=1 答案　A 3.过点P(1，2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为　　　　　　　　　　　　.  答案　2x-y=0或x-y+1=0 解析　当直线过原点即在坐标轴上的截距均为零时，得直线方程为2x-y=0； 当直线在坐标轴上的截距不为零时， 可设直线方程为-=1， 将x=1，y=2代入方程可得a=-1， 得直线方程为x-y+1=0. ∴直线方程为2x-y=0或x-y+1=0. 4.已知点A(3，2)，B(-1，4)，则经过点C(2，5)且经过线段AB的中点的直线方程为　　　　.  答案　2x-y+1=0 解析　线段AB的中点坐标为(1，3)， 由直线的两点式方程可得=， 即2x-y+1=0. 课时对点练　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.过两点(-2，1)和(1，4)的直线方程为(　　) A.y=x+3 B.y=-x+1 C.y=x+2 D.y=-x-2 答案　A 解析　代入两点式得直线方程为=， 整理得y=x+3. 2.已知直线l：ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是(　　) A.1 B.-1 C.-2或-1 D.-2或1 答案　A 解析　显然a≠0.把直线l：ax+y-2=0化为+=1. ∵直线l：ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等， ∴=2，解得a=1. 3.若直线+=1过第一、二、三象限，则(　　) A.a>0，b>0 B.a>0，b<0 C.a<0，b>0 D.a<0，b<0 答案　C 解析　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a<0，b>0. 4.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB的中点，N为AC的中点，则中位线MN所在的直线方程为(　　) A.2x+y-8=0 B.2x-y+8=0 C.2x+y-12=0 D.2x-y-12=0 答案　A 解析　由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)， 则由两点式可得直线MN的方程为=， 即2x+y-8=0. 5.直线-=1与-=1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 答案　B 解析　易知直线-=1的斜率为，直线-=1的斜率为，于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，检验4个选项，知只有B选项满足题意. 6.(多选)下列说法中错误的是(　　) A.直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线 B.-=1与+=-1是直线的截距式方程 C.直线方程的斜截式都可以化为截距式 D.在x轴、y轴上的截距分别是2、-3的直线方程为+=1 答案　ABC 解析　对于选项A，直线方程的截距式为+=1，其中ab≠0， 不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线，故A错误； 对于选项B，直线方程的截距式为+=1，其中ab≠0， 而-=1与+=-1不是直线的截距式方程，故B错误； 对于选项C，直线方程的斜截式包含在y轴上的截距为0的情况， 而此类不能化为截距式，比如y=2x，故C错误； 对于选项D，直线方程的截距式为+=1，其中ab≠0， a，b是直线在x轴、y轴上的截距， 所以在x轴、y轴上的截距分别是2、-3的直线方程为+=1，故D正确. 7.(5分)经过点A(2，5)，B(-3，6)的直线在x轴上的截距为　　　　.  答案　27 解析　由两点式得直线方程为=，即x+5y-27=0，令y=0，得x=27. 8.(5分)已知点P(x，2)在过M(-2，1)和N(3，-4)两点的直线上，则x的值是　　　　.  答案　-3 解析　过M，N两点的直线的方程为=， 又P(x，2)在此直线上， 所以将y=2代入直线方程，得x=-3. 9.(10分)已知直线l过点P(4，1). (1)若直线l过点Q(-1，6)，求直线l的方程；(4分) (2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程.(6分) 解　(1)∵直线l过点P(4，1)，Q(-1，6)， ∴直线l的方程为=，即x+y-5=0. (2)由题意知，若直线l过原点，则得直线l的方程为x-4y=0； 若直线l不过原点，则直线l的方程可设为+=1，将P(4，1)代入得+=1，解得a=，即2x+y-9=0， 综上，直线l的方程为x-4y=0或2x+y-9=0. 10.(10分)如图，已知△ABC的三个顶点分别为A(0，4)，B(-2，6)，C(-8，0). (1)求边AC和AB所在直线的方程；(5分) (2)求AC边上的中线BD所在直线与坐标轴围成的三角形的面积.(5分) 解　(1)由截距式方程，得边AC所在直线的方程为+=1， 即x-2y+8=0.由两点式， 得边AB所在直线的方程为=， 即x+y-4=0. (2)由题意，得点D的坐标为(-4，2)，由两点式， 得边BD所在直线的方程为 =， 即2x-y+10=0. ∴+=1. ∴直线BD与坐标轴围成的三角形的面积S=×5×10=25. 11.直线l经过点P(4，-3)，在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a，b满足logab=2，则直线l的斜率为(　　) A.2 B.-1 C.-3 D.-1或-3 答案　C 解析　由题意知a>0，a≠1，b>0，设直线l的方程为+=1，则+=1， ① 又logab=2，∴b=a2， ② 由①②解得或(舍去)， 则直线l的斜率为-=-3. 12.(多选)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(-3，3)，则其斜率的取值可以是(　　) A.-1 B.-2 C. D.1 答案　BD 解析　设直线的斜率为k，如图，当过定点A的直线经过点B(3，0)时，直线l在x轴上的截距为3，此时k=-1； 当过定点A的直线经过点C(-3，0)时，直线l在x轴的截距为-3，此时k=， 满足条件的直线l的斜率的取值范围是 (-∞，-1)∪. 13.(多选)已知直线l过点P(4，5)，且直线l在坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程为(　　) A.5x-4y=0 B.x-y+1=0 C.x+y-9=0 D.x+y+1=0 答案　ABC 解析　当直线l过原点时，设直线方程为y=kx，因为l过点P(4，5)，则直线l的方程为y=x，即5x-4y=0，故A正确； 当直线l的截距相等且不为零时，设直线方程为+=1，因为l过点P(4，5)，则=1⇒a=9，则直线l的方程为x+y-9=0，故C正确； 当直线l的截距互为相反数且不为零时，设直线方程为-=1，因为l过点P(4，5)，则-=1⇒b=-1，则直线l的方程为x-y+1=0，故B正确. 14.(5分)已知A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是　　　　　　.  答案　3 解析　直线AB的方程为+=1， 则x=3-y， ∴xy=3y-y2=(-y2+4y) =[-(y-2)2+4]≤3. 即当点P的坐标为时， xy取得最大值3. 15.已知直线+=1经过第一、二、三象限且斜率小于1，那么下列不等式中正确的是(　　) A.|a|<|b| B.< C.(b-a)(b+a)>0 D.< 答案　D 解析　已知直线+=1经过第一、二、三象限，则直线在x轴上的截距a<0，在y轴上的截距b>0， 由直线的斜率小于1，可知0<-<1，结合a<0可得a<0<b<-a， 对于A，由绝对值的性质可知|a|>|b|，故A错误； 对于B，由幂函数的单调性可知>，故B错误； 对于C，由不等式的性质，可得b-a>0，b+a<0，则(b-a)(b+a)<0，故C错误； 对于D，<0，>0，则<，故D正确. 16.(12分)若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，求直线l的方程. 解　∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， ∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若l在两坐标轴上的截距相等， 且设为a(a≠0)， 则直线方程为+=1， 即x+y-a=0. ∵|a|·|a|=18，即a2=36， ∴a=±6， ∴直线l的方程为x+y±6=0. 若l在两坐标轴上的截距互为相反数， 不妨设在x轴上的截距为a， 则在y轴上的截距为-a(a≠0)， 故直线方程为+=1， 即x-y-a=0. ∵|-a|·|a|=18，即a2=36， ∴a=±6，∴直线l的方程为x-y±6=0. 综上所述， 直线l的方程为x+y±6=0或x-y±6=0. 学科网（北京）股份有限公司 $