第2章 2.1 直线的斜率（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，从登山坡度情境引入倾斜角概念及0≤α<π的取值范围，通过倾斜角正切值定义斜率，推导两点斜率公式，进而应用于三点共线、斜率范围等问题，构建完整知识支架。 资料以登山情境引导学生用数学眼光观察现实世界，通过问题链（如“如何度量陡峭程度”）培养数学思维，例题与跟踪训练结合数形结合方法，助力学生用数学语言表达斜率计算。课中辅助教师清晰授课，课后课时对点练帮助学生查漏补缺。

学习目标　1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率. 导语 登山运动是一项十分受人喜爱的运动.我国民间仍然流传着许多登山的传统习俗，如人们会在九月九日重阳节登高祭节，文人墨客们更是享受“会当凌绝顶，一览众山小”的壮观美景.某人在登山时，遇到两段山坡(如图所示AB段与BC段).显然，此人在BC段上会比较吃力，直观地感受是BC段要比AB段“陡峭”，那么，在数学上我们该如何度量这种“陡峭”程度呢？ 一、直线的倾斜角 问题1　在平面中，怎样才能确定一条直线？ 提示　两点确定一条直线. 问题2　在平面直角坐标系中，规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向，图中过点P的直线有什么区别？ 提示　直线的方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同. 知识梳理 1.直线倾斜角的定义 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角. 2.直线倾斜角的取值范围 倾斜角的取值范围是0≤α<π，当直线l与x轴平行或重合时，规定倾斜角α=0. 注意点： (1)从运动变化的观点来看，当直线l与x轴相交时，直线l的倾斜角是由x轴绕直线l与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线l重合时所得到的最小正角. (2)倾斜角从“形”的方面直观地体现了直线对x轴正向的倾斜程度. (3)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 例1　(1)(多选)下列命题中，正确的是(　　) A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为-30° C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0，1) 答案　AC 解析　任意一条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此A正确，B错误，C正确. D中，当α=0°时，sin α=0；当α=90°时，sin α=1，故D错误. (2)(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为(　　) A.α+45° B.α-135° C.135°-α D.α-45° 答案　AB 解析　根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α+45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°. 反思感悟　(1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. (2)注意倾斜角的范围. 跟踪训练1　(1)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为　　　　.  答案　60°或120° 解析　有两种情况：①如图(1)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. 　　　　 　 　(1)　　　　　　(2) ②如图(2)，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. (2)如图，已知直线l1的倾斜角α1=15°，直线l1与l2的交点为A，直线l1和l2向上的方向所成的角为120°，则直线l2的倾斜角为　　　　.  答案　135° 解析　设直线l2的倾斜角为α2，因为l1和l2向上的方向所成的角为120°， 所以∠BAC=120°，所以α2=120°+α1=135°. 二、直线的斜率 问题3　在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α. (1)已知直线l经过O(0，0)，P(，1)，α与O，P的坐标有什么关系？ (2)类似地，如果直线l经过P1(-1，1)，P2(，0)，α与P1，P2的坐标有什么关系？ (3)一般地，如果直线l经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，那么α与P1，P2的坐标有什么关系？ 提示　(1)tan α==. (2)tan α==1-. (3)tan α=. 知识梳理 1.斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值k称为这条直线的斜率，即k=tan α.倾斜角是的直线没有斜率，倾斜角α≠的直线都有斜率.  2.斜率公式 经过两个不同点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=. 注意点： (1)当x1=x2时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (2)斜率公式中k的值与P1，P2两点在该直线上的位置无关. (3)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (4)若直线与x轴平行或重合，则k=0. 例2　(课本例1) 　如图，已知三点A(2，1)，B(5，2)，C(4，3). (1)求直线AB，BC，CA的斜率； (2)求直线BC，CA的倾斜角. 解　(1)直线AB的斜率kAB==； 直线BC的斜率kBC==-1； 直线CA的斜率kCA==1. (2)设直线BC的倾斜角为α. 由tan α=kBC=-1，可知倾斜角α=. 设直线CA的倾斜角为β. 由tan β=kCA=1，可知倾斜角β=. 例2　(1)经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. ①A(2，3)，B(4，5)； ②C(-2，3)，D(2，-1)； ③P(-3，1)，Q(-3，10). 解　①存在.直线AB的斜率kAB==1， 则直线AB的倾斜角α满足tan α=1， 又0°≤α<180°，所以倾斜角α=45°. ②存在.直线CD的斜率kCD==-1， 则直线CD的倾斜角α满足tan α=-1， 又0°≤α<180°，所以倾斜角α=135°. ③不存在.因为xP=xQ=-3， 所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α=90°. (2)求经过两点A(a，2)，B(3，6)的直线的斜率. 解　当a=3时，直线的斜率不存在； 当a≠3时，直线的斜率k=. 反思感悟　求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则k=tan α. (2)利用斜率公式：k=(x1≠x2). 跟踪训练2　(1)若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为　　　　.  答案　- (2)若过点P(-2，m)，Q(m，4)的直线的斜率为1，则m的值为　　　　.  答案　1 解析　由斜率公式k==1，得m=1. 三、倾斜角和斜率的应用 问题4　当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？ 提示　当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大. 知识梳理　设直线的倾斜角为α，斜率为k. α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° k的范围 k=0 k>0 不存在 k<0 k的增减性 随α的增大而增大 随α的增大而增大 角度1　三点共线问题 例3　如果A，B(4，-1)，C(-4，-m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值. 解　由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC， 由斜率公式，得kAB==， kBC==. ∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB=kBC. ∴=，即m2-3m-12=0， 解得m1=，m2=. ∴m的值是或. 角度2　求取值范围问题 例4　已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 解　如图，由题意可知 kPA==-1， kPB==1， (1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞). (2)由题意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 反思感悟　(1)用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴.当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线.否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可. (2)①由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k=tan α(α≠90°)解决. ②涉及直线与线段有交点问题常数形结合并利用公式求解. 跟踪训练3　已知A(3，3)，B(-4，2)，C(0，-2). (1)求直线AB和AC的斜率； (2)当点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变化范围. 解　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==.直线AC的斜率kAC==.故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. (2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是. 1.知识清单： (1)直线的倾斜角及其范围. (2)直线斜率的定义和斜率公式. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清. 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180° B.若k是直线的斜率，则k∈R C.任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D.任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 答案　ABC 2.若经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 答案　A 解析　由题意知，tan 45°=， 得m=2. 3.已知A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，则x=　　　　，直线AB的倾斜角为　　　　.  答案　3　 解析　因为A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，所以kAB=kBC， 即=， 解得x=3， 设直线AB的倾斜角为θ，由tan θ=1得θ=， 所以直线AB的倾斜角为. 4.经过A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是　　　　.(其中m≥1)  答案　0°<α≤90° 解析　当m=1时，倾斜角α=90°； 当m>1时，tan α=>0， ∴0°<α<90°. 故0°<α≤90°. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.直线x=1的倾斜角是(　　) A.0° B.45° C.90° D.不存在 答案　C 解析　直线x=1与x轴垂直，故倾斜角为90°. 2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是(　　) A.(4，2)与(-4，1) B.(0，3)与(3，0) C.(3，-1)与(2，-1) D.(-2，2)与(-2，5) 答案　D 解析　D项，因为x1=x2=-2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°，斜率不存在. 3.(多选)已知直线斜率的绝对值为，则直线的倾斜角可以为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　BC 解析　由题意得直线的斜率为或-，故直线的倾斜角为60°或120°. 4.已知点A(，1)，B(3，3)，则直线AB的倾斜角θ是(　　) A.60° B.30° C.120° D.150° 答案　B 解析　kAB==， ∴tan θ=且0°≤θ<180°， ∴θ=30°. 5.若某直线的斜率k∈(-∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D. 答案　C 解析　∵直线的斜率k∈(-∞，]， ∴k≤tan ， ∴该直线的倾斜角α的取值范围是 ∪. 6.如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A.k1<k3<k2 B.k3<k1<k2 C.k1<k2<k3 D.k3<k2<k1 答案　A 解析　设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3， 则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°， 所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0， 即k1<0，k2>k3>0，故k1<k3<k2. 7.(5分)已知直线l经过(1，0)，(2，)两点，直线l的斜率是直线m的斜率的三倍，则直线m的倾斜角α是　　　　　　.  答案　 解析　由直线l经过(1，0)，(2，)两点， 则直线l的斜率k1==， 所以直线m的斜率k2=tan α=， 由0≤α<π，所以α=. 8.(5分)已知点A(2，-1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为　　　　　　.  答案　(3，0)或(0，-3) 解析　若点P在x轴上，设点P的坐标为(x，0)， 则k==tan 45°=1， 解得x=3， 所以P(3，0).若点P在y轴上， 设点P的坐标为(0，y)， 则k==tan 45°=1， 解得y=-3， 所以P(0，-3)， 综上，点P的坐标为(3，0)或(0，-3). 9.(10分)已知直线l经过两点A(-1，m)，B(m，1)，问：当m取何值时： (1)直线l与x轴平行？(2分) (2)直线l与y轴平行？(2分) (3)直线的倾斜角为45°？(3分) (4)直线的倾斜角为锐角？(3分) 解　(1)若直线l与x轴平行， 则直线l的斜率k==0，∴m=1. (2)若直线l与y轴平行， 则直线l的斜率不存在，∴m=-1. (3)由题意可知，直线l的斜率k=1， 即=1，解得m=0. (4)由题意可知，直线l的斜率k>0， 即>0，解得-1<m<1. 10.(11分)如图所示，菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合，OB边在x轴的正半轴上，已知∠BOD=60°，求菱形OBCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 解　在菱形OBCD中，OD∥BC，∠BOD=60°， 所以直线OD，BC的倾斜角相等，都为60°， 所以kOD=kBC=tan 60°=. 因为CD∥OB，且OB在x轴上， 所以直线OB，CD的倾斜角相等，都为0°， 所以kOB=kCD=0， 由菱形的性质，知∠COB=30°，∠OBD=60°， 所以直线OC，BD的倾斜角分别为30°，120°， 所以kOC=tan 30°=，kBD=tan 120°=-. 11.已知点A(2，3)，B(-3，-2)，若直线l过点P(1，1)，且与线段AB始终没有交点，则直线l的斜率k的取值范围是(　　) A. B. C. D.{k|k<2} 答案　A 解析　∵kAP==2，kBP==，如图， ∵直线l与线段AB始终没有交点， ∴斜率k的取值范围是. 12.(多选)已知在平面直角坐标系中，等边△ABC的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为(　　) A.- B.- C.-2 D.-3 答案　AD 解析　设AB的倾斜角为α，BC的倾斜角为β，如图所示， 则β=+α或β=+α，tan α=， 当β=+α时， tan β=tan==-3； 当β=+α时， tan β=tan==-. 13.(5分)若A(2，2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，则+=　　　　.  答案　 解析　∵A，B，C三点共线， ∴kAB=kAC， 即=， 即ab=2a+2b，两边同除以ab， 得1=+，即+=. 14.(5分)若经过点A(1-t，1+t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的取值范围是　　　　.  答案　(-2，1) 解析　由题意知，kAB==. 因为直线的倾斜角为钝角， 所以kAB=<0，解得-2<t<1. 15.已知函数f(x)=log2(x+1)，若a>b>c>0，则，，的大小关系为(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 答案　B 解析　作出函数f(x)=log2(x+1)的大致图象，如图所示. 由图象可知，y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小，因为a>b>c>0， 所以<<. 16.(12分)已知实数x，y满足方程x+2y=6，当1≤x≤3且x≠2时，求的取值范围. 解　的几何意义是过M(x，y)，N(2，1)两点的直线的斜率. 因为点M在x+2y=6上，且1≤x≤3，x≠2， 所以可设该线段为AB，且A，B， 又kNA=-，kNB=， 所以的取值范围是∪. 学科网（北京）股份有限公司 $