第1章 1.3.3 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦等比数列前n项和的性质及应用这一核心知识点，通过类比等差数列性质引入，系统梳理前n项和公式的函数特征（q≠1时为指数型函数Sn=Aqn-A，q=1时为正比例函数Sn=na1）、片段和性质（Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列）及奇偶项性质（项数为2n时S偶/S奇=q，项数为2n+1时S奇=a1+qS偶），构建完整知识支架。 该资料以问题链驱动探究，如通过“等比数列前n项和公式有何函数特征”等问题培养数学眼光中的抽象能力，结合证明推导（如片段和性质的严谨证明）发展数学思维中的推理能力，例题设计（如例2用公式法、性质法等多法求解S3n）强化数学语言的模型意识。课中助力教师引导学生类比迁移，课后通过课时对点练及分层题目帮助学生查漏补缺，提升知识应用能力。

第2课时　等比数列前n项和的性质及应用 学习目标　1.了解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 导语 同学们，前面我们用等差数列的性质，类比出了等比数列的性质，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质. 一、等比数列前n项和公式的函数特征 问题1　你能发现等比数列前n项和公式Sn=(q≠1)的函数特征吗？ 提示　Sn==-qn+，设A=-，则Sn=Aqn-A. 知识梳理 1.当公比q≠1时，设A=，等比数列的前n项和公式是Sn=Aqn-A.即Sn是n的指数型函数. 2.当公比q=1时，因为a1≠0，所以Sn=na1，Sn是n的正比例函数. 注意点：等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数. 例1　数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列. 解　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1. 当n=1时，a1=S1=31-2=1不适合上式. ∴an= 方法一　由于a1=1，a2=6，a3=18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列. 方法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B，对比可知Sn=3n-2，2≠1，故{an}不是等比数列. 延伸探究1　若将本例改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=3n+1-2k，则实数k=　　　　　　.  答案　 解析　∵Sn=3n+1-2k=3×3n-2k，且{an}为等比数列， ∴3-2k=0，即k=. 延伸探究2　若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn=a·+5，则实数a=　　　　　　.  答案　- 解析　由Sn=a·+5，可得Sn=3a·+5，依题意有3a+5=0，故a=-. 反思感悟　(1)已知Sn，通过an= 求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an=Sn-Sn-1.当n=1时需验证是否满足此式. (2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列. 二、等比数列前n项和的“片段和”性质 问题2　类似于等差数列中的“片段和”的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n-Sn，S3n-S2n…(n为偶数且q=-1除外)的关系吗？ 提示　Sn，S2n-Sn，S3n-S2n…仍成等比数列，证明如下： 当q=1时，结论显然成立； 当q≠1时，Sn=，S2n=， S3n=. S2n-Sn=-=， S3n-S2n=-=， 而=， Sn(S3n-S2n)=×， 故有=Sn(S3n-S2n)， 所以Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列. 问题3　你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm+n？ 提示　思路一：Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm=Sm+qmSn. 思路二：Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn =Sn+qnSm. 知识梳理 1.数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n…仍构成等比数列(公比为-1且n为偶数除外). 2.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qnSm(n，m∈N+). 注意点：等比数列前n项和的“片段和”性质成立是有条件的，即Sn≠0. 例2　在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n. 解　方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1， 由已知得 ②÷①得1+qn=，即qn=，　　　　　　 ③ 将③代入①得=64， ∴S3n==64×=63. 方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于-1， ∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列， ∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)， ∴S3n=+S2n=+60=63. 方法三　由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，即60=48+48qn，得qn=， ∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×=63. 反思感悟　等比数列的片段和性质的应用 对于等比数列片段和问题，可以利用基本量计算求解，但运算量一般很大，恰当运用片段和性质，可以提升解题速度和准确度，运用此性质时应注意公比是否为-1. 跟踪训练1　记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4=3，S8=9，则S12等于(　　) A.12 B.18 C.21 D.27 答案　C 解析　方法一　因为Sn为等比数列{an}的前n项和，且S4=3，S8=9，易知等比数列{an}的公比q≠-1，所以S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，所以(S8-S4)2=S4(S12-S8)，所以62=3(S12-9)，解得S12=21. 方法二　由方法一知，S4，S8-S4，S12-S8成等比数列，即3，6，12成等比数列，所以S12=S4+(S8-S4)+(S12-S8)=3+6+12=21. 三、等比数列前n项和的“奇偶项”性质 问题4　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示　若等比数列{an}的项数为2n，则 其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n， 其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1， 容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇，所以有=q. 若等比数列{an}的项数为2n+1， 则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n， 其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1， 从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶，即S奇=a1+qS偶. 知识梳理 若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则： (1)在其前2n项中，=q； (2)在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1)；S奇=a1+qS偶. 例3　若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为　　　　，项数为　　　　.  答案　2　9 解析　由性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q，所以q=2，设这个数列共有2n+1项，则S2n+1==341+170=511，解得n=4，即这个等比数列的项数为9. 反思感悟　若等比数列{an}共有2n项，要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n+1项，要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含特点.要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. 跟踪训练2　已知等比数列{an}的公比q=，且a1+a3+a5+…+a99=90，则a1+a2+a3+…+a100=　　　　.  答案　120 解析　因为在等比数列中，若项数为2n，则=q， 所以a1+a2+a3+…+a100=(a1+ a3+a5+…+a99)+(a2+a4+a6+…+a100)=(a1+a3+a5+…+a99)+(a1+a3+a5+…+a99) =90+×90=120. 1.知识清单： (1)等比数列前n项和的函数特征. (2)等比数列前n项和的“片段和”性质. (3)等比数列前n项和的“奇偶项”性质. 2.方法归纳：公式法、分类讨论法. 3.常见误区：应用“片段和”性质时易忽略其成立的条件. 1.已知等比数列{an}的前n项和Sn=2n+r，则r的值是(　　) A.1 B.0 C.2 D.-1 答案　D 解析　当q≠1时，Sn==-qn， ∴r=-1. 2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5=1∶2，则S15∶S5等于(　　) A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3 答案　A 解析　在等比数列{an}中，S5，S10-S5，S15-S10成等比数列，因为S10∶S5=1∶2， 所以S5=2S10，S15=S5，得S15∶S5=3∶4. 3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4=1，S8=3，则a9+a10+a11+a12等于(　　) A.8 B.6 C.4 D.2 答案　C 解析　由S4，S8-S4，S12-S8成等比数列， 即1，2，a9+a10+a11+a12成等比数列. 得a9+a10+a11+a12=4. 4.若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为　　　　.  答案　300 解析　由=2，S偶-S奇=100可知S偶=200， S奇=100，故S2n=300. 课时对点练　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知一个等比数列的项数是偶数，其奇数项之和为1 012，偶数项之和为2 024，则这个数列的公比为(　　 ) A.8 B.-2 C.4 D.2 答案　D 解析　由=q，可知q=2. 2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn=x·3n-1-，则x的值为(　　) A. B.- C. D.- 答案　C 解析　方法一　∵Sn=x·3n-1-=·3n-，由Sn=A(qn-1)，得=，∴x=. 方法二　当n=1时，a1=S1=x-； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2x·3n-2， ∵{an}是等比数列， ∴当n=1时也应适合an=2x·3n-2， 即2x·3-1=x-，解得x=. 3.等比数列{an}的前m项和为4，前2m项和为12，则它的前3m项和是(　　) A.28 B.48 C.36 D.52 答案　A 解析　设等比数列的前n项和为Sn， 则依题意有Sm=4，S2m=12，则Sn≠0，且S2m-Sm≠0， 根据等比数列前n项和的性质有，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等比数列， 所以=Sm(S3m-S2m)， 即(12-4)2=4(S3m-12)， 解得S3m=28. 4.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案　B 解析　设等比数列的项数为2n，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则q==2，又它的首项为1，所以通项为an=2n-1， 中间两项的和为an+an+1=2n-1+2n=24，解得n=4，所以项数为8. 5.已知等比数列{an}共有2n+1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an+1为(　　) A. B. C.20 D.110 答案　B 解析　由题意得=a1=a1qn=an+1==. 6.(多选)下列说法正确的是(　　) A.若数列{an}是等差数列，且am+an=as+at(m，n，s，t∈N+)，则m+n=s+t B.若Sn是等差数列{an}的前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列 C.若Sn是等比数列{an}的前n项和，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等比数列 D.若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn=Aqn+B(其中A，B是非零常数，n∈N+)，则A+B=0 答案　BD 解析　若数列{an}是常数列，对任意的正整数m，n，s，t都有am+an=as+at，A错误； 设等差数列{an}的公差为d，首项为a1， Sn=a1+a2+…+an， S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n =(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd) =Sn+n2d， 同理S3n-S2n=(S2n-Sn)+n2d =Sn+2n2d， 因此2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n)， 则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n成等差数列，B正确； 若等比数列{an}的公比q=-1，a1=2， 则S2=0，S4-S2=0，S6-S4=0，不可能成等比数列，C错误； 等比数列的前n项和为Sn=Aqn+B，则q≠1， 否则Sn=na1， 所以Sn==-·qn+， 即A=-，B=，A+B=0，D正确. 7.(5分)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若=，则=　　　　.  答案　 解析　设等比数列{an}的公比为q， 由已知q≠1， 因为S5=， S10==， ==，q5=2，S10=3S5， S20== =S5(1+q5)(1+q10)=S5(1+2)(1+4)=15S5. 所以==. 8.(5分)设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，已知数列{an+bn}的前n项和Sn=n2-n+2n-1(n∈N+)，则d+q的值是　　　　.  答案　4 解析　设数列{an}，{bn}的首项分别为a1，b1，前n项和分别为An，Bn， 则An=n2+n，Bn=qn+， 结合Sn=n2-n+2n-1，得 解得所以d+q=4. 9.(10分)(1)设数列{xn}满足log2xn+1=1+log2xn(n∈N+)，且x1+x2+…+x10=10，记{xn}的前n项和为Sn，求S20；(4分) (2)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，求+++…+.(6分) 解　(1)∵log2xn+1=1+log2xn=log2(2xn)，∴xn+1=2xn，且xn>0， ∴{xn}为等比数列，且公比q=2， ∴S20=S10+q10S10=10+210×10=10 250. (2)设数列{bn}的公比为q，则q=2， ∵===2， ∴{}是首项为=b2=2，公比为2的等比数列. ∴++…+==126. 10.(11分)已知Sn为数列{an}的前n项和，3Sn=an+2a1(n∈N+)，a1≠0，且a1，a2+1，a3成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式；(5分) (2)记bn=求数列{bn}的前2n+1项和T2n+1.(6分) 解　(1)由3Sn=an+2a1，n∈N+，当n≥2时，3Sn-1=an-1+2a1， 两式相减得3an=an-an-1，即=-，又因为a1≠0，所以数列{an}为等比数列，且公比为-. 由a1，a2+1，a3成等比数列，得a1a3=， 即a1·a1·=，解得a1=1， 所以an=1×=. (2)当n为奇数时，bn=log3an=log3=log3=-(n-1)log32， 记前2n+1项和T2n+1中的奇数项之和为T奇， 则T奇=b1+b3+b5+…+b2n+1 =-(0+2+4+…+2n)log32 =-log32 =-n(n+1)log32； 当n为偶数时，bn==-，记前2n+1项和T2n+1中的偶数项之和为T偶， 则T偶=b2+b4+b6+…+b2n =- =-=-， 故T2n+1=-n(n+1)log32-. 11.(多选)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S2=1，S6=91，则(　　) A.S8=729 B.S8=820 C.q=3 D.q=9 答案　BC 解析　易知q≠-1.因为{an}为等比数列，所以S2，S4-S2，S6-S4，…也构成等比数列. 因为S2=1，S6=91， 所以(S4-1)2=1×(91-S4)， 得-S4-90=(S4-10)(S4+9)=0. 因为an>0，所以Sn>0，解得S4=10. 所以S4-S2=10-1=9， 所以S8-S6=1×93=729，S8=729+91=820，故A错误，B正确； 因为q2==9，且an>0，所以q=3，故C正确，D错误. 12.等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为，偶数项之和为，若这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1)，则Tn的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 答案　D 解析　设数列{an}共有2m+1项，由题意得 S奇=a1+a3+…+a2m+1=， S偶=a2+a4+…+a2m=， 因为项数为奇数时，=q， 即2+q=， 所以q=. 所以Tn=a1·a2·…·an =q1+2+…+n-1=， 故当n=1或2时，Tn取得最大值2. 13.等比数列{an}的首项为，公比为-，前n项和为Sn，则当n∈N+时，Sn-的最大值与最小值的比值为(　　) A.- B.- C. D. 答案　B 解析　因为等比数列{an}的首项为，公比为-，所以Sn==1-. ①当n为奇数时，Sn=1+随着n的增大而减小，则1<Sn≤S1=，故0<Sn-≤； ②当n为偶数时，Sn=1-随着n的增大而增大，则=S2≤Sn<1，故-≤Sn-<0.所以Sn-的最大值与最小值的比值为=-. 14.(5分)已知等比数列{an}的前n项和满足Sn=1-A·3n，数列{bn}是递增数列，且bn=An2+Bn，则A=　　　　，B的取值范围为　　　　　　.  答案　1　(-3，+∞) 解析　因为Sn==-qn(q≠1)， 而等比数列{an}的前n项和满足Sn=1-A·3n， 所以A=1，于是bn=n2+Bn， 又因为数列{bn}是递增数列， 所以bn+1-bn=(n+1)2+B(n+1)-n2-Bn=2n+1+B>0恒成立， 所以B>-(2n+1)恒成立，所以B>-3， 即B的取值范围为(-3，+∞). 15.(5分)设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)=f(x+y).若a1=，an=f(n)(n∈N+)，则数列{an}的前n项和Sn=　　　　.  答案　1- 解析　令x=n，y=1， 则f(n)·f(1)=f(n+1)，又an=f(n)， ∴==f(1)=a1=， ∴数列{an}是以为首项，为公比的等比数列， ∴Sn==1-. 16.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n-5an-85，n∈N+. (1)证明：{an-1}是等比数列；(6分) (2)求数列{Sn}的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值，并说明理由.(6分) (1)证明　当n=1时，由Sn=n-5an-85可知， a1=-14； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-5an+5an-1+1， 即6an=5an-1+1. 因此6an-6=5an-1+1-6=5(an-1-1)， 所以an-1=(an-1-1). 又a1-1=-15≠0， 所以数列{an-1}是等比数列. (2)解　由(1)知，an-1=-15×， 得an=1-15×， 从而Sn=75×+n-90，n∈N+. 解不等式Sn<Sn+1， 得<，n>lo+1≈14.9， 当n≥15时，数列{Sn}单调递增； 同理可得，当n≤15时，数列{Sn}单调递减. 故当n=15时，Sn取得最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $