第1章 1.2.3 第2课时 等差数列前n项和的性质及应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本高中数学讲义聚焦等差数列前n项和的性质及应用，衔接已学的通项公式与前n项和公式，系统梳理Sn的二次函数特征、前m项和性质、奇偶项和关系及含绝对值和的求解，构建从基础到应用的学习支架。 通过问题链引导学生用数学眼光观察Sn的函数属性，结合二次函数分析最值培养数学思维，例题与跟踪训练强化数学语言表达。课中助力教师高效授课，课后通过分层练习帮助学生查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

第2课时　等差数列前n项和的性质及应用 学习目标　1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.　　　　　　　　　　　　　　　　 导语 我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质呢？ 一、等差数列前n项和的最值问题 问题1　根据前面所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 提示　由Sn=na1+d，可知Sn=n2+n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是n∈N+，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为Sn=An2+Bn. 知识梳理 1.等差数列前n项和公式Sn=na1+d可化成关于n的函数得Sn=n2+n. 2.因为Sn=n2+n，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值. 3.在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定. 注意点： (1)当a1>0，d>0时，Sn有最小值S1；当a1<0，d<0时，Sn有最大值S1. (2)Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一. 例1　在等差数列{an}中，a10=18，前5项的和S5=-15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值. 解　(1)设等差数列的公差为d， 因为在等差数列{an}中，a10=18，S5=-15， 所以解得 所以an=3n-12，n∈N+. (2)因为a1=-9，d=3，an=3n-12， 所以Sn==(3n2-21n) =-， 所以当n=3或4时， 前n项和Sn取得最小值为S3=S4=-18. 延伸探究　把本例中的条件“S5=-15”改为“S5=125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值. 解　S5=×5×(a1+a5)=×5×2a3 =5a3=125， 故a3=25，又a10=18，a10-a3=7d， 所以d=-1<0，故Sn有最大值， an=a3+(n-3)d=28-n，n∈N+. 设Sn最大，则 解得27≤n≤28，即S27和S28最大， 又a1=27，故S27=S28=378. 反思感悟　求等差数列前n项和Sn的最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求Sn的最值，但要注意n∈N+，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观. (2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值. 二、等差数列前n项和的性质 问题2　等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？ 提示　S2n=a1+a2+…+an+an+1+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)=2Sn+n2d，同样我们发现S3n=3Sn+3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n-Sn=Sn+n2d，S3n-S2n=Sn+2n2d是一个公差为n2d的等差数列. 问题3　已知两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，你能用Sn，Tn表示吗？ 提示　====. 知识梳理 1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 2.若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为. 3.在等差数列中，若Sn=m，Sm=n，则Sm+n=-(m+n). 4.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=，=·. 例2　(1)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且=(n=1，2，…)，则+等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为数列{bn}是等差数列， 所以b3+b18=b6+b15， 所以+=， 又因为Sn，Tn分别是等差数列{an}与{bn}的前n项和，且=(n=1，2，…)， 所以+=====. (2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4=2，S8=12，则S20等于(　　) A.30 B.58 C.60 D.90 答案　D 解析　由数列{an}为等差数列， 可知S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12，S20-S16也为等差数列， 由S4=2，S8=12，则S8-S4=10， 故S12-S8=18，S16-S12=26，S20-S16=34， 即有S12=18+S8=30，S16=26+S12=56，S20=34+S16=90. 反思感悟　利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 跟踪训练1　等差数列{an}中，S3=3，S6=9，则S12等于(　　) A.12 B.18 C.24 D.30 答案　D 解析　根据题意，得在等差数列{an}中，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9，…也成等差数列， 又由S3=3，S6=9，得S6-S3=6， 则S9-S6=9，S12-S9=12， 则S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=3+6+9+12=30. 三、等差数列的奇(偶)项和问题 等差数列的奇(偶)项和的性质 (1)设等差数列{an}的项数为2n(n∈N+)，则有： ①S2n=n(an+an+1)； ②S偶-S奇=nd，=(an≠0，且S奇，S偶分别是数列{an}的所有奇数项和、偶数项和). (2)设等差数列{an}的项数为2n-1(n≥2，且n∈N+)，则S2n-1=(2n-1)an(an是数列的中间项)，S奇-S偶=an，=. 例3　一个等差数列项数为偶数，奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差、项数. 解　方法一　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N+). 根据题意，得 即 ∴解得 ∴首项为，公差为，项数为8. 方法二　设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N+). 根据题意，得∴ ∴∴ 代入S奇=(a1+a2k-1)=24，可得a1=. ∴首项为，公差为，项数为8. 反思感悟　解决等差数列奇偶项和的问题关键在于准确找到公式中的n. 跟踪训练2　(1)等差数列{an}共2 023项，求它的奇数项和与偶数项和之比. 解　由题意知等差数列{an}共有1 012个奇数项，1 011个偶数项， ∴S奇=，S偶=. ∵a1+a2 023=a2+a2 022，∴=. (2)一个等差数列前20项和为75，其中奇数项和与偶数项和之比为1∶2，求公差d. 解　前20项中，奇数项和S奇=×75=25， 偶数项和S偶=×75=50， 又S偶-S奇=10d，∴d==2.5. 四、求数列{|an|}的前n项和 例4　已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 解　a1=S1=-×12+×1=101. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-3n+104. ∵n=1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34， 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. 方法一　①当n≤34时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n； ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an) =2S34-Sn =2-=n2-n+3 502. 故Tn= 方法二　①同方法一. ②当n≥35时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an) =- =n2-n+3 502， 故Tn= 反思感悟　由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 常先由Sn的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出an，解得an≥0时n的取值范围，判断出哪些项为正，哪些项为负. (1)等差数列{an}的各项都为非负数，这种情形中数列{|an|}就等于数列{an}，可以直接求解. (2)若前k项为负，从k+1项开始以后的项非负，则{|an|}的前n项和Tn= (3)若前k项为正，从k+1项开始以后的项非正，则 Tn= (4)分别求出an≥0与an<0时的和，再相减求出|an|的前n项和. 跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式是an=4n-25，求数列{|an|}的前n项和Sn. 解　∵an=4n-25， ∴an+1=4(n+1)-25，an+1-an=4， a1=4×1-25=-21， ∴数列{an}是以-21为首项，4为公差的等差数列. 由an≥0，得4n-25≥0，即n≥6， ∴数列{an}中前6项均小于零，从第7项起均大于零， ∴当n≤6时，|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+an) =-=-2n2+23n. 当n≥7时，|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+a6)+(a7+a8+…+an) =(a1+a2+…+an)-2(a1+a2+…+a6) =-21n+×4-2× =2n2-23n+132. 故数列{|an|}的前n项和 Sn= 1.知识清单： (1)等差数列前n项和的最值问题. (2)等差数列前n项和的性质及应用. (3)等差数列奇偶项和的问题. (4)含绝对值的前n项和. 2.方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思想. 3.常见误区： (1)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N+导致错误. (2)不注意运用性质导致解题烦琐. 1.在等差数列{an}中，若S10=120，则a1+a10的值是(　　) A.12 B.24 C.36 D.48 答案　B 解析　S10=×10(a1+a10)=5(a1+a10)=120，故a1+a10=24. 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于(　　) A.63 B.45 C.36 D.27 答案　B 解析　因为a7+a8+a9=S9-S6， 而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6-S3，S9-S6构成等差数列，所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3)，即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45. 3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为　　　　.  答案　3 解析　由等差数列前n项和的性质，得S偶-S奇=×d(d为该数列的公差)，即30-15=5d，解得d=3. 4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3=S8，当n=　　　　时，Sn取到最大值.  答案　5或6 解析　∵S3=S8， ∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0， ∴a6=0.∵a1>0， ∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0，a7<0. 故当n=5或n=6时，Sn最大. 课时对点练　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.等差数列{an}满足a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列的前20项和等于(　　) A.160 B.180 C.200 D.220 答案　B 解析　由a1+a2+a3=3a2=-24，得a2=-8，由a18+a19+a20=3a19=78，得a19=26，S20=×20×(a1+a20)=10(a2+a19)=10×18=180. 2.若等差数列{an}的前m项的和Sm为20，前3m项的和S3m为90，则它的前2m项的和S2m为(　　) A.30 B.70 C.50 D.60 答案　C 解析　∵在等差数列{an}中，Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列， ∴2(S2m-Sm)=Sm+S3m-S2m， ∴2(S2m-20)=20+90-S2m，∴S2m=50. 3.若等差数列{an}与等差数列{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　======. 4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 016=S2 021，Sk=S2 014，则正整数k为(　　) A.2 020 B.2 021 C.2 022 D.2 023 答案　D 解析　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 016=S2 021， Sk=S2 014， 可得=， 解得k=2 023. 5.等差数列共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案　C 解析　∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=132， S偶=a2+a4+…+a2n=120， ∴S奇-S偶=a2n+1-nd=an+1=12， ∴S2n+1=S奇+S偶= =(2n+1)an+1=12(2n+1)=252， 解得n=10. 6.(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn=23n-n2，则下列说法正确的是(　　) A.an=24-2n B.使Sn取最大值的n值有2个 C.使得Sn>0成立的n的最大值为23 D.|a1|+|a2|+…+|a30|=474 答案　ABD 解析　对于A，数列{an}的前n项和为Sn=23n-n2，当n=1时，a1=S1=22， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=23n-n2-[23(n-1)-(n-1)2]=24-2n，a1=22满足此式， 所以数列{an}的通项公式为an=24-2n，A正确； 对于B，Sn=-+，当n=11或n=12时，S11=S12且最大，B正确； 对于C，由Sn>0，得23n-n2>0，解得0<n<23，而n∈N+，所以nmax=22，C错误； 对于D，由an≥0，得n≤12，则|a1|+|a2|+…+|a30|=a1+a2+…+a12-a13-…-a30 =2S12-S30=2(23×12-122)-(23×30-302) =474，D正确. 7.(5分)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1=-2，-=2，则=　　　　　　.  答案　2 021 解析　∵Sn是等差数列{an}的前n项和， ∴是等差数列，设其公差为d. ∵-=2，∴2d=2，d=1. ∵a1=-2，∴=-2， ∴=-2+(n-1)×1=n-3， ∴=2 024-3=2 021. 8.(5分)已知数列{an}满足a1=1，an+1=则{an}的前40项和为　　　　 .  答案　1 980 解析　因为a1=1，a2=a1+2=3， 又a2n=a2n-1+2，a2n+1=a2n+3， 所以a2n+1=a2n-1+2+3， 即a2n+1-a2n-1=5， 所以数列{an}的奇数项是以1为首项，5为公差的等差数列； 同理，由a2n+2-a2n=5知， 数列{an}的偶数项是以3为首项，5为公差的等差数列. 所以{an}的前40项和为 S40=(a1+a3+…+a39)+(a2+a4+…+a40) =20×1+×5+20×3+×5=1 980. 9.(9分)(1)在等差数列{an}中，=，求的值；(4分) (2)在等差数列{an}中，S10=100，S100=10，求S110.(5分) 解　(1)∵{an}为等差数列， ∴S5==5a3，S9==9a5， ∴==×=1. (2)∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20-S10，S30-S20，…，S110-S100也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为S10+(S20-S10)+(S30-S20)+…+(S100-S90)=S100， 即10S10+d=S100=10. 又∵S10=100，代入上式，得d=-22， ∴S110-S100=S10+(11-1)d =100+10×(-22)=-120， S110=-120+S100=-110. 10.(12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S4=-16，S6=-12. (1)求{an}的通项公式an；(5分) (2)求数列{|an|}的前n项和Tn.(7分) 解　(1)设等差数列{an}的首项和公差分别为a1和d， ∴即 解得 ∴an=-7+(n-1)×2=2n-9，n∈N+. (2)由(1)知Sn=-7n+n(n-1)×2=n2-8n. 当an≥0时⇒2n-9≥0⇒n≥5； 当an<0时⇒2n-9<0⇒n≤4， 当0<n≤4，n∈N+时， Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =-(a1+a2+…+an)=8n-n2， 当n≥5时， Tn=-(a1+a2+a3+a4)+(a5+…+an) =Sn-2S4=n2-8n-2×(-16) =n2-8n+32. 综上，Tn= 11.在公差d=3的等差数列{an}中，a2+a4=-2，则数列{|an|}的前10项和为(　　) A.127 B.125 C.89 D.70 答案　C 解析　∵d=3，a2+a4=-2， ∴2a1+4d=-2，解得a1=-7. ∴an=-7+3(n-1)=3n-10. ∴当n=1，2，3时，an<0；n≥4时，an>0. 其前n项和Sn==. 则数列{|an|}的前10项和=-a1-a2-a3+…+a10=S10-2S3=-2× =89. 12.(多选)已知d为等差数列{an}的公差，Sn为数列{an}的前n项和.若{an}为递减数列，则下列结论正确的为(　　) A.数列{Sn}为递减数列 B.数列是等差数列 C.若前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为9∶8，且S10=-170，则公差为-2 D.若S15>0，S16<0，则S8>S9 答案　BCD 解析　对于A，因为数列{an}是递减的等差数列，所以d<0， 不妨举例数列{an}为4，3，2，1，0，-1，-2，-3，…， 则S1=4，S2=7，S3=9，这三项不构成递减数列，故A错误； 对于B，==n+，是关于n的一次函数， 因此是等差数列，故B正确； 对于C，数列{an}的前10项中， 奇数项的和为a1+a3+a5+a7+a9=5a5， 偶数项的和为a2+a4+a6+a8+a10=5a6， 所以a6∶a5=9∶8， 设a6=9x，a5=8x， 则5a5+5a6=-170，解得x=-2， 所以公差d=a6-a5=x=-2，故C正确； 对于D，S15==15a8>0， 则a8>0， S16==8(a8+a9)<0， 则a9<-a8<0， 所以S9=S8+a9<S8，故D正确. 13.(5分)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=(n∈N+)，则+=　　　　.  答案　 解析　设An=kn(7n+45)，Bn=kn(n+3)，则当n≥2，n∈N+时，an=An-An-1=k(14n+38)，bn=k(2n+2)，则==，==，所以+=+=. 14.(5分)已知数列{an}中，a1=1，a2=2，对任意正整数n，an+2-an=2+cos nπ，Sn为{an}的前n项和，则S100=　　　　.  答案　5 050 解析　当n为奇数时，an+2-an=1，即数列{an}的奇数项是以1为首项，1为公差的等差数列； 当n为偶数时，an+2-an=3，即数列{an}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列， 所以S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=+ =5 050. 15.(5分)记Sn为数列{an}的前n项和，已知对任意的n∈N+，an+an+1=2n+1，且存在k∈N+，Sk=Sk+1=210，则a1的取值集合为　　　　　.(用列举法表示)  答案　{-20，21} 解析　当n为偶数时，Sn=a1+a2+a3+a4+…+an-1+an=3+7+…+2n-1 ===210， ∴n=20， ∴k=20或k=19， 当k=19时，S19=a1+a2+a3+…+a18+a19 =a1+5+9+…+37=a1+=a1+189=210， ∴a1=21； 当k=20时，S21=a1+5+9+…+41=a1+=a1+230=210， ∴a1=-20. 综上，a1的取值集合为{-20，21}. 16.(12分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=-15，S5=-55. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N+恒成立，求实数t的取值范围.(6分) 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， S5=5·=5a3=-55， ∴a3=-11，∴d===2. ∴an=a1+(n-1)d=-15+(n-1)×2=2n-17，n∈N+. (2)由(1)知，an=2n-17， ∴Sn== =n(n-16)=(n-8)2-64， ∴(Sn)min=-64. Sn>t对任意的n∈N+恒成立等价于(Sn)min>t， 即-64>t.∴t的取值范围为(-∞，-64). 学科网（北京）股份有限公司 $