第1章 1.1 第2课时 数列的递推公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦高中数学数列的递推公式核心知识点，衔接数列概念与通项公式，系统构建递推公式含义、由递推公式求通项（累加法、累乘法）、前n项和Sn求通项、数列单调性及最值的知识支架，帮助学生逐步深化理解。 通过钢管堆放、三角形数等现实情境引入，培养用数学眼光观察世界的能力，例题中归纳法、累加法等多种解题方法发展数学思维，规范的分段函数表达提升数学语言能力。课中例题解析辅助教师高效授课，课后课时对点练助力学生查漏补缺，强化知识应用。

第2课时　数列的递推公式 学习目标　1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式.4.会求数列的最大(小)项. 导语 同学们，前面我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛. 一、数列的递推公式 问题1　观察如图所示的钢管堆放示意图，你能够发现上下层之间的关系吗？你能否用数列的形式写出上下层之间的关系？ 提示　自上而下每一层的钢管数都比上一层的钢管数多1，即a1=4，a2=5=4+1=a1+1，a3=6=5+1=a2+1.依此类推：an=an-1+1(2≤n≤7，n∈N+). 知识梳理 像an+1=2an(n≥1)这样，如果数列{an}的相邻两项或多项之间的关系可用一个式子来表示，那么这个式子就叫作数列{an}的递推公式；a1(或前几项)称为数列{an}的初始条件. 注意点： (1)通项公式反映的是an与n之间的关系. (2)常见的递推关系一般是数列任意两个或三个相邻项之间的推导关系，需要知道首项或前几项，即可求数列中的每一项. 例1　(课本例4)　2 500多年前的古希腊毕达哥拉斯学派在研究数时，喜欢把数描述成沙滩上的小石子.他们发现1，3，6，10，15，…这些数量的石子，都可以排成三角形(如图)，并称这样的数为“三角形数”.记图中圆点的个数依次构成数列{an}，试写出数列{an}的一个递推公式. 解　由图可知，a1=1，a2=3，a3=6，a4=10，而且，在第n个“三角形数”图案的下面添加n+1个圆点，即得到第n+1个“三角形数”图案，因此an+1=an+n+1(n≥1)，a1=1为数列{an}的一个递推公式. 例1　传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图的1，5，12，22称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，试写出数列的一个递推关系. 解　由已知可得，a1=1，a2=5=a1+4=a1+3×2-2，a3=12=a2+7=a2+3×3-2，a4=22=a3+10=a3+3×4-2， 所以an+1=an+3(n+1)-2(n≥1)， a1=1为数列{an}的一个递推关系. 反思感悟　递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若序号很大，则应考虑数列是否具有规律性(周期性). 跟踪训练1　已知数列{an}的初始条件a1=1，且满足an+1=an+，则此数列的第3项是(　　) A.1 B. C. D. 答案　C 解析　a1=1，a2=a1+=1， a3=a2+=. 二、由递推公式求通项公式 例2　(1)在数列{an}中，a1=1，an+1=an+-，则an等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　方法一　(归纳法)　数列的前5项分别为 a1=1，a2=1+1-=2-=， a3=+-=2-=， a4=+-=2-=， a5=+-=2-=，…， 又a1=1， 由此可得数列的一个通项公式为an=. 方法二　(迭代法)　a2=a1+1-， a3=a2+-，…， an=an-1+-(n≥2)， 则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2). 又a1=1也适合上式， 所以an=(n∈N+). 方法三　(累加法)　an+1-an=-， a1=1， a2-a1=1-， a3-a2=-， a4-a3=-， …， an-an-1=-(n≥2)， 以上各式累加得 an=1+1-+-+…+-. 所以an=(n≥2). 因为a1=1也适合上式，所以an=(n∈N+). (2)已知数列{an}满足a1=1，an+1=an，则an等于(　　) A.n+1 B.n C. D. 答案　D 解析　由题意，因为数列{an}满足an+1=an，所以=， 所以an=··…···a1=××…×××1=. 反思感悟　由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(只适用于选择题、填空题) (2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类： ①an+1-an=常数，或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法. ②an+1=pan(p为非零常数)，或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法. ③an+1=pan+q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决. 跟踪训练2　(1)已知数列{an}满足a1=1，an=an-1+-(n≥2)，求an. 解　因为an=an-1+-(n≥2)， 所以an-an-1=-. 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =(-)+(-)+…+(-)+1=-+1. 又a1=1也符合上式， 所以an=-+1，n∈N+. (2)已知数列{an}满足a1=1，ln an-ln an-1=1(n≥2)，求an. 解　因为ln an-ln an-1=1，所以ln=1， 即=e(n≥2). 所以an=··…··a1 =·1=en-1(n≥2)， 又a1=1也符合上式，所以an=en-1，n∈N+. 三、an与Sn的关系 问题2　如果已知某数列的前n项和Sn=n2+n，如何求a4？ 提示　a4=S4-S3=(42+4)-(32+3)=8. 知识梳理 1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an. 2.an= . 注意点： (1)注意等式成立的条件. (2)一定要检验n=1时，S1是否满足首项. (3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn-1，然后作差求得. 例3　(课本例6)　已知数列{an}的前n项和公式为Sn=n2+n，求{an}的通项公式. 解　因为a1=S1=12+1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n， 又当n=1时，a1=2=2×1，即an依然成立. 因此{an}的通项公式是an=2n. 例3　设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2n2-30n.求a1及an. 解　因为Sn=2n2-30n， 所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1=-28， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32. 验证当n=1时上式成立， 所以an=4n-32，n∈N+. 延伸探究　将本例的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”，其他条件不变，求an. 解　因为Sn=2n2-30n+1， 所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1+1=-27， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1] =4n-32. 当n=1时不符合上式.所以an= 反思感悟　由Sn求通项公式an的步骤 (1)当n=1时，a1=S1. (2)当n≥2时，根据Sn写出Sn-1，化简an=Sn-Sn-1. (3)如果a1也满足当n≥2时，an=Sn-Sn-1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为an= 跟踪训练3　已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an. (1)Sn=2n2+3n+2； (2)Sn=3n-1. 解　(1)当n=1时，a1=S1=7， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =2n2+3n+2-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1， 又a1=7不适合上式，所以an= (2)当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1) =2×3n-1，显然a1=2适合上式， 所以an=2×3n-1(n∈N+). 四、数列的单调性及最大(小)项 数列按项的变化趋势分类 (1)递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列； (2)递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列； (3)常数列：每一项都相等的数列； (4)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 例4　(课本例7)　判断下列数列{an}的单调性： (1)an=1-10n；(2)an=. 解　(1)因为an+1-an=(1-10n+1)-(1-10n)=-9·10n<0， 所以an+1<an， 即数列{an}是递减数列. (2)因为an+1-an=- =>0， 所以an+1>an， 即数列{an}是递增数列. 例4　(课本例8)　已知数列{an}的通项公式为an=，判断该数列是否有最大项.若有，指出第几项最大；若没有，试说明理由. 解　由通项公式可知an>0. 又==， 令>1，解得n<8. 所以，当n<8时，an+1>an，此时数列{an}递增； 当n=8时，an+1=an，即a9=a8； 当n>8时，an+1<an，此时数列{an}递减. 因此数列{an}有最大项，即第8项和第9项，且其值为. 例4　(1)下列数列中，为递增数列的是　　，为递减数列的是　　　　，为常数列的是　　　.  ①1，0.84，0.842，0.843，…； ②2，4，6，8，10，…； ③7，7，7，7，…； ④，，，，…； ⑤10，9，8，7，6，5，4，3，2，1. 答案　②　①④⑤　③ 解析　由数列的单调性，易知②是递增数列；①④⑤是递减数列；③是常数列. (2)已知数列{an}的通项公式是an=n，n∈N+.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 解　根据题意，令 即 解得2≤n≤3.又n∈N+，则n=2或n=3. 故数列{an}有最大项，为第2项和第3项， 且a2=a3=2×=. 反思感悟　求数列最值的方法 (1)函数的单调性法：令an=f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项. (2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得n的取值范围，从而确定n的值. 跟踪训练4　已知数列an=-n2+4n+2，则该数列中最大项的序号是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　A 解析　因为an=-(n-2)2+6，n∈N+， 所以当n=2时，an取得最大值. 1.知识清单： (1)数列的递推公式. (2)由递推公式求通项公式. (3)数列的前n项和Sn与an的关系. (4)数列的单调性及最大(小)项. 2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法. 3.常见误区： (1)累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式. (2)由Sn求an时忽略验证n=1时的情况. 1.已知在数列{an}中，a1=2，an+1=an+n(n∈N+)，则a4的值为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 答案　D 解析　因为a1=2，an+1=an+n， 所以a2=a1+1=2+1=3， a3=a2+2=3+2=5，a4=a3+3=5+3=8. 2.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1(n∈N+)，则a5等于(　　) A.32 B.31 C.16 D.15 答案　C 解析　当n≥2时， an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1， 当n=5时，a5=24=16. 3.已知在数列{an}中，a1=5，an=an-1+3(n≥2)，则数列{an}的通项公式an=　　　　.  答案　3n+2 解析　an=an-1+3即an-an-1=3，利用累加法得an=3n+2. 4.在数列{an}中，an=n(n-8)-20，n∈N+，则该数列从第　　　项开始递增，数列的最小值为　　　.  答案　4　-36 解析　因为an+1-an=2n-7，所以当an+1-an>0时，n>，又n∈N+， 故数列{an}从第4项开始递增. an=n(n-8)-20=(n-4)2-36，根据二次函数的性质知，当n=4时，an取得最小值-36， 即这个数列有最小值，最小值为-36. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共18分 1.已知数列an=，则该数列是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 答案　C 解析　因为an=，所以该数列的项为-，，-，，…，故该数列是摆动数列. 2.已知数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2，n∈N+)，且a1=0，则此数列的第5项是(　　) A.15 B.255 C.16 D.63 答案　B 解析　由递推公式，得a2=3，a3=15，a4=63，a5=255. 3.数列，-，，-，…的第n项an与第n+1项an+1的关系是(　　) A.an+1=2an B.an+1=-2an C.an+1=an D.an+1=-an 答案　D 4.若an=an-1+n-1(n≥2)，a1=1则a10等于(　　) A.55 B.56 C.45 D.46 答案　D 解析　由an=an-1+n-1， 得a2=a1+1，a3=a2+2， a4=a3+3，…，a10=a9+9， 累加得a10=a1+1+2+3+…+9=46. 5.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1，则下列说法正确的是(　　) A.a1=3 B.an=2n(n≥2) C.an=2n D.an=2n(n≥2) 答案　AD 解析　Sn=2n+1-1，当n=1时，a1=S1=21+1-1=3；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n.当n=1时，不符合上式，故an= 6.(多选)已知数列{an}满足：an=(n∈N+)，且数列{an}是递增数列，则实数a的可能取值是(　　) A.2 B. C. D.3 答案　BC 解析　因为an=f(n)= n∈N+，{an}是递增数列， 所以必有 即解得2<a<3. 7.(5分)在数列{an}中，an=-2n2+29n+3，则此数列最大项的值是　　　　.  答案　108 解析　an=-2n2+29n+3对应的抛物线开口向下，对称轴为n=-==7， ∵n是整数， ∴当n=7时，数列取得最大值，此时最大项的值为a7=-2×72+29×7+3=108. 8.(5分)一个正方形被等分成九个相等的小正方形，将最中间的一个正方形挖掉，得图①；再将剩下的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将其最中间的一个正方形挖掉，得图②；如此继续下去，则图③中共挖掉了　　　　　　个正方形，请写出每次挖掉的正方形个数所构成的数列{an}的一个递推公式：　　　　　　.  答案　73　an+1=8an(n≥1)，a1=1 解析　图③中共挖掉了8×9+1=73(个)正方形， 设每次挖掉的正方形个数为an， 根据图形得，a1=1=80，a2=81，a3=82， 则an=8n-1， 则递推公式为an+1=8an(n≥1)，a1=1. 9.(10分)已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-n+2. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)若bn=an+100n-2n，则数列{bn}的最大项是该数列的第几项？(6分) 解　(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-n+2)-(2n2-5n+5)=4n-3， 当n=1时，a1=S1=3，不满足上式，故数列{an}的通项公式为an= (2)由已知得b1=3+100-2=101， 当n≥2时，bn=an+100n-2n=4n-3+100n-2n=104n-3-2n，令n∈N+， 即n∈N+， 得n∈N+，即n=7， 所以当n≥2时，{bn}的最大项为第7项， 又b7=104×7-3-27=597>b1， 所以数列{bn}的最大项是该数列的第7项. 10.(10分)(1)在数列{an}中，a1=2，且an+1=an+ln，求数列{an}的通项公式；(4分) (2)在数列{an}中，a1=，an=an-1(n≥2)，求数列{an}的通项公式.(6分) 解　(1)由题意知an+1-an=ln， 所以当n≥2时，an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1= ln+…+ln+2=2+ln n， 显然a1=ln 1+2=2满足上式， 所以an=2+ln n，n∈N+. (2)因为an=an-1(n≥2)， 所以当n≥2时，=， 所以=，=，…，=，=， 以上n-1个式子左右两边分别相乘，得 ··…·· =××…××， 即=××2×1，所以an=(n≥2). 当n=1时，a1=，符合上式. 所以数列{an}的通项公式为an=，n∈N+. 11.若数列的通项公式为an=，则这个数列中的最大项是(　　) A.第12项 B.第13项 C.第14项 D.第15项 答案　C 解析　an==， 因为 n+≥2=28， 当且仅当n=14时，n+有最小值28， 所以当n=14时，取得最大值. 12.在数列{an}中，a1=，an+1=1-，则a2 024等于(　　) A. B.-1 C.2 D.3 答案　B 解析　由题意知a1=，an+1=1-， 当n=1时，a2=1-=-1； 当n=2时，a3=1-=2； 当n=3时，a4=1-==a1； 当n=4时，a5=1-=-1=a2； …， 所以数列{an}是周期为3的周期数列， 故a2 024=a3×674+2=a2=-1. 13.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an+2=an+1+an(n≥1)，那么1+a2+a4+a6+…+a2 024等于(　　) A.a2 023 B.a2 024 C.a2 025 D.a2 026 答案　C 解析　由于an+2=an+1+an(n≥1)， 则1+a2+a4+a6+…+a2 024=a1+a2+a4+a6+…+a2 024=a3+a4+a6+…+a2 024=a5+a6+…+a2 024=a2 023+a2 024=a2 025. 14.(5分)在一个数列中，如果对任意n∈N+，都有anan+1an+2=k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1=1，a2=2，公积为8，则a1+a2+a3+…+a12=　　　　.  答案　28 解析　依题意得数列{an}是周期为3的数列， 且a1=1，a2=2，a3=4， 因此a1+a2+a3+…+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 15.(多选)对于无穷数列{an}，定义：bn=an-(n∈N+)，称数列{bn}是{an}的“倒差数列”，下列叙述正确的有(　　) A.若数列{an}是递增数列，则数列{bn}是递增数列 B.若数列{bn}是常数列，an+1-an≠0，则数列{an}是周期数列 C.若an=1-，则数列{bn}没有最小值 D.若an=1-，则数列{bn}有最大值 答案　BD 解析　对于选项A，例如an=n-， 则b2=-+2=，b3=-2=-， 可知b2>b3，故A错误； 对于选项B，因为{bn}是常数列， 可设bn=an-=t， 则an+1-=t， 可得an+1--an+ =(an+1-an)=0， 又因为an+1-an≠0， 可得1+=0，整理得an+1=-， 所以an+2=-=-=an， 可知数列{an}是以2为周期的周期数列，故B正确； 对于选项C，D，若an=1-， 则bn=1--， ①当n为偶数时，an=1-∈且{an}是递增数列， 则>1>an，所以bn<0且{bn}是递增数列， 此时(bn)min=b2=-=-； ②当n为奇数时，an=1+>1且{an}是递减数列， 则an>1>，所以bn>0且{bn}是递减数列， 此时(bn)max=b1=1+-=-=， 综上所述，{bn}既有最大值，又有最小值-，故C错误，D正确. 16.(12分)已知数列{an}满足：a1=m(m为正整数)，an+1=若a4=4，求m所有可能的取值. 解　若a3为奇数，则3a3+1=4，a3=1. 若a2为奇数，则3a2+1=1，a2=0(舍去)， 若a2为偶数，则=1，a2=2. 若a1为奇数，则3a1+1=2，a1=(舍去)， 若a1为偶数，则=2，a1=4； 若a3为偶数，则=4，a3=8. 若a2为奇数，则3a2+1=8，a2=(舍去)， 若a2为偶数，则=8，a2=16. 若a1为奇数，则3a1+1=16，a1=5， 若a1为偶数，则=16，a1=32. 故m所有可能的取值为4，5，32. 学科网（北京）股份有限公司 $