第5章 5.3.2 极大值与极小值（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数极值的概念、判定及求法，衔接前序函数单调性与导数的关系，构建“导数—单调性—极值”知识支架，帮助学生从局部性质理解函数图象特征，掌握极值点判定及参数求解方法。 以“群山截面图”情境导入，引导学生用数学眼光观察现实极值现象，通过问题链抽象概念，结合导函数图象分析极值点培养数学思维，表格法规范求解步骤助力数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后学生可借课时对点练巩固知识、查漏补缺。

5.3.2　极大值与极小值 学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件. 导语 同学们，前面我们通过对函数的求导，摸清了函数的单调性，从而也发现了函数图象的变化趋势，正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，大家可以展开想象：在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山之中的最高处，但却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是山谷的最低处，但却是其附近的最低点.这一现象类比到我们数学中，就是我们今天要研究的函数的极值问题. 一、函数极值概念的理解 问题1　如图是某处群山的截面图，你能指出山峰、山谷吗？ 提示　在x1，x3，x5处是山峰，在x2，x4处是山谷. 问题2　你能描述一下在各个山峰、山谷附近的特点吗？ 提示　以山峰x＝x1处为例来研究，在x＝x1处，它附近的函数值都比它小，且在x＝x1处的左侧附近函数是单调递增的，且有f'(x)>0，在x＝x1处的右侧附近函数是单调递减的，且有f'(x)<0，函数图象是连续不断的，f'(x)的变化也是连续不断的，并且有f'(x1)＝0. 知识梳理　极值的概念 一般地，若存在δ>0，函数f(x)在(x1－δ，x1＋δ)内有定义，且当x∈(x1－δ，x1＋δ)，x≠x1时，都有f(x)<f(x1)，则称f(x1)为函数f(x)的一个极大值，x1称为函数y＝f(x)的极大值点；当x∈(x2－δ，x2＋δ)，x≠x2时，都有f(x)>f(x2)，则称f(x2)为函数f(x)的一个极小值，x2称为函数y＝f(x)的极小值点.函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为极值点. 注意点： (1)极值是函数的局部性质. (2)函数的极值不唯一. (3)极大值与极小值两者的大小不确定. (4)极值点出现在区间的内部，端点不能是极值点. (5)若f'(x0)＝0，则x0不一定是极值点，如f(x)＝x3，f'(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点，只有函数y＝f'(x)的变号零点，才是函数y＝f(x)的极值点. 例1　函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断： ①函数y＝f(x)在区间(3，5)上单调递增； ②函数y＝f(x)在区间上单调递减； ③函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增； ④当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值； ⑤当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值. 则上述判断中正确的序号是　　　　.  答案　③⑤ 解析　对于①，当x∈(3，4)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(4，5)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以①错误； 对于②，当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 当x∈(2，3)时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以②错误； 对于③，当x∈(－2，2)时，f'(x)>0，f(x)单调递增，所以③正确； 对于④，由③知当x＝－时，f 不是极大值，所以④错误； 对于⑤，由②知当x＝2时，函数y＝f(x)取得极大值，所以⑤正确. 反思感悟　解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数的还是导函数的，对于导函数的图象，重点考查在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值. 跟踪训练1　已知函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间内的极小值点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 解析　由图象，设f'(x)与x轴负半轴的两个交点的横坐标分别为c，d，其中c<d，知在区间(－∞，c)，(d，b)上f'(x)≥0， 所以此时函数f(x)在区间(－∞，c)，(d，b)上单调递增，在区间(c，d)上，f'(x)<0，此时f(x)在区间(c，d)上单调递减， 所以x＝c时，函数取得极大值，x＝d时，函数取得极小值. 则函数y＝f(x)的极小值点的个数为1. 二、求函数的极值(点) 例2　(1)关于函数f(x)＝的极值点，下列判断正确的是(　　) A.f(x)只有1个极值点，且该极值点为极小值点 B.f(x)有2个极值点，且x＝－为极值点 C.f(x)只有1个极值点，且该极值点为极大值点 D.f(x)有2个极值点，且x＝－为极大值点 答案　A 解析　∵f'(x)＝， ∴当x<－时f'(x)<0，f(x)单调递减； 当－<x<－1，x>－1时f'(x)>0，f(x)单调递增. 故函数只有一个极值点，且x＝－是极小值点. (2)(课本例5)求f(x)＝x3－4x＋的极值. 解　f'(x)＝x2－4.令f'(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2. 列表如表所示. x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值f(－2) ↘ 极小值f(2) ↗ 因此，当x＝－2时，f(x)有极大值f(－2)＝； 当x＝2时，f(x)有极小值f(2)＝－5(如图). (2)求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值. 解　函数f(x)的定义域为R. f'(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3)， 令f'(x)＝0， 解得x1＝－1，x2＝3. 当x变化时，f(x)，f'(x)的变化情况如表所示： x (－∞，－1) －1 (－1，3) 3 (3，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值f(－1) ↘ 极小值f(3) ↗ ∴当x＝－1时，函数y＝f(x)有极大值， f(－1)＝10. 当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值，f(3)＝－22. 且f(3)＝－22. 反思感悟　函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程f'(x)＝0的根. (3)用方程f'(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格. (4)由f'(x)在方程f'(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况. 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)＝(x－e－1)ex－ex2＋e2x，求函数f(x)的极值. 解　f(x)的定义域为R，f'(x)＝(x－e)ex－ex＋e2＝(x－e)(ex－e)， 令f'(x)＝0，解得x＝e或x＝1， ∴当x∈(－∞，1)∪(e，＋∞)时，f'(x)>0；当x∈(1，e)时，f'(x)<0. ∴f(x)的极大值为f(1)＝－e，极小值为f(e)＝－ee＋e3. (2)求函数f(x)＝x3－x的极值. 解　函数f(x)的定义域为R.令f'(x)＝0，得3x2－1＝0，解得x＝－或x＝. 当x变化时，f(x)和f'(x)变化情况如表所示： x － f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ ↘ － ↗ 所以f(x)在x＝－处取得极大值，在x＝处取得极小值－. 三、由极值求参数的值或范围 例3　(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋27在x＝－1处有极大值，在x＝3处有极小值，则a＝　　　　　　，b＝　　　　.  答案　－3　－9 解析　f'(x)＝3x2＋2ax＋b. 由题意知，－1，3是关于x的方程3x2＋2ax＋b＝0的两个根， 即解得经检验，符合题意. (2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围. 解　f'(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6. 因为函数f(x)在区间(1，＋∞)内有两个极值点， 所以f'(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在区间(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示. 所以 解得m>3. 故实数m的取值范围是(3，＋∞). 反思感悟　已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号. 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件. (2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f'(x)≥0或f'(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立. 跟踪训练3　若函数f(x)＝x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交点，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵f(x)＝x3－4x＋4， ∴f'(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2). 令f'(x)＝0，得x＝2或x＝－2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴当x＝－2时，函数取得极大值f(－2)＝； 当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝－. 且f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在区间(－2，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增. 根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示， 结合图象知－<a<. 1.知识清单： (1)函数极值的概念. (2)求函数的极值(点). (3)由极值求参数的值或范围. 2.方法归纳：方程思想、分类讨论、数形结合思想. 3.常见误区：易把导数值为零当作求极值的充要条件. 1.(多选)函数f(x)的定义域为R，它的导函数y＝f'(x)的部分图象如图所示，则下面结论正确的是(　　) A.在区间(1，2)上函数f(x)单调递增 B.在区间(3，4)上函数f(x)单调递减 C.在区间(1，3)上函数f(x)有极大值 D.x＝3是函数f(x)在区间[1，5]上的极小值点 答案　ABC 解析　根据导函数图象知， x∈(1，2)时，f'(x)>0； x∈(2，4)时，f'(x)<0， x∈(4，5)时，f'(x)>0. ∴f(x)在区间(1，2)，(4，5)上单调递增， 在区间(2，4)上单调递减， x＝2是f(x)在区间[1，5]上的极大值点，x＝4是极小值点. 2.设函数f(x)＝xex，则(　　) A.x＝1为f(x)的极大值点 B.x＝1为f(x)的极小值点 C.x＝－1为f(x)的极大值点 D.x＝－1为f(x)的极小值点 答案　D 解析　令f'(x)＝ex＋xex＝(1＋x)ex＝0， 得x＝－1. 当x<－1时，f'(x)<0； 当x>－1时，f'(x)>0. 故x＝－1为f(x)的极小值点. 3.(多选)已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2处有极值，则该函数的一个增区间是(　　) A.(－∞，2) B.(3，＋∞) C.(2，＋∞) D.(－∞，3) 答案　AB 解析　∵f'(x)＝6x2＋2ax＋36，且在x＝2处有极值， ∴f'(2)＝0，即24＋4a＋36＝0， 解得a＝－15， ∴f'(x)＝6x2－30x＋36＝6(x－2)(x－3)， 由f'(x)>0得x<2或x>3. 4.已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＝　　　　，b＝　　　　.  答案　2　－4 解析　f'(x)＝3x2＋2ax＋b， 由题意知即 解得经验证知符合题意. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数y＝f'(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 答案　D 解析　由题图可知，当x<－2时，f'(x)>0； 当－2<x<1时，f'(x)<0； 当1<x<2时，f'(x)<0； 当x>2时，f'(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值， 在x＝2处取得极小值. 2.下列函数中存在极值的是(　　) A.y＝ B.y＝x－ex C.y＝2 D.y＝x3 答案　B 解析　对于y＝x－ex求导得y'＝1－ex， 令y'＝0，得x＝0. 在区间(－∞，0)上，y'>0； 在区间(0，＋∞)上，y'<0. 故当x＝0时，函数y＝x－ex取得极大值. 3.函数f(x)＝(x－1)ex的极小值点为(　　) A.(0，－1) B.(0，0) C.－1 D.0 答案　D 解析　由题意得f'(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，故f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，故当x＝0时，f(x)的极小值为f(0)＝－1，故极小值点为0. 4.已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于(　　) A.－4 B.－2 C.4 D.2 答案　D 解析　∵f(x)＝x3－12x， ∴f'(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)， 令f'(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝2. 当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f'(x)>0，则f(x)单调递增； 当x∈(－2，2)时，f'(x)<0，则f(x)单调递减， ∴f(x)的极小值点a＝2. 5.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2＋a在x＝1处有极值为7，则a等于(　　) A.－3或3 B.3或－9 C.3 D.－3 答案　C 解析　由题意得f'(x)＝3x2＋2ax＋b， ∴ 解得或 当a＝3，b＝－9时，f'(x)＝3x2＋6x－9＝3(x－1)·(x＋3)，当－3<x<1时，f'(x)<0；当x>1时，f'(x)>0，x＝1是极小值点； 当a＝－3，b＝3时，f'(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，x＝1不是极值点. ∴a＝3. 6.(多选)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的值可以是(　　) A.－4 B.－3 C.6 D.8 答案　AD 解析　由题意知f'(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)＝0有两个不相等的根， 所以Δ＝4a2－12(a＋6)>0，即(a－6)(a＋3)>0， 解得a>6或a<－3. 7.(5分)已知函数f(x)＝ax＋ex没有极值点，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　[0，＋∞) 解析　∵f(x)＝ax＋ex的定义域为R， 且f'(x)＝a＋ex， 当a≥0时，f'(x)>0恒成立，f(x)是增函数，无极值点； 当a<0时，由f'(x)<0，得x<ln(－a)，由f'(x)>0，得x>ln(－a)， 则函数f(x)在区间(－∞，ln(－a))上单调递减， 在区间(ln(－a)，＋∞)上单调递增，有极小值点，不符合条件. 因此，实数a的取值范围是[0，＋∞). 8.(5分)已知函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则f(x)的极小值为　　　.  答案　1 解析　由f'(x)＝，且f'(1)＝＝0，解得a＝－1， 所以f(x)＝，则f'(x)＝， 当x<0或x>1时，f'(x)<0；当0<x<1时，f'(x)>0， 所以f(x)在(－∞，0)和(1，＋∞)上单调递减，在(0，1)上单调递增， 显然在x＝1处f(x)取极大值，在x＝0处f(x)取极小值，f(x)的极小值为f(0)＝＝1. 9.(10分)设函数f(x)＝aln x＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴. (1)求a的值；(4分) (2)求函数f(x)的极值.(6分) 解　(1)f'(x)＝(x>0). 由题意知，曲线在x＝1处的切线斜率为0，即f'(1)＝0， 从而a－＝0， 解得a＝－1. (2)由(1)知f(x)＝－ln x＋x＋1(x>0)， f'(x)＝－ ＝. 令f'(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－(舍去). 当x∈(0，1)时，f'(x)<0， 故f(x)在区间(0，1)上单调递减； 当x∈(1，＋∞)时，f'(x)>0， 故f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增. 故f(x)在x＝1处取得极小值，极小值为f(1)＝3，无极大值. 10.(11分)设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a. (1)求f(x)的极值；(5分) (2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？(6分) 解　(1)f'(x)＝3x2－2x－1＝(3x＋1)(x－1). 令f'(x)＝0，得x＝－或x＝1. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x － 1 (1，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f(x)的极大值是f ＋a， 极小值是f(1)＝a－1. (2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a ＝(x－1)2(x＋1)＋a－1， 由此可知，当x→＋∞时，f(x)>0， 当x→－∞时，f(x)<0， ∴曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点. 由(1)知f(x)极大值＝f ＋a， f(x)极小值＝f(1)＝a－1. ∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0， 即＋a<0或a－1>0， ∴a<－或a>1， ∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点. 11.若函数f(x)＝x3－x2＋3a2x－3a2－在x＝3处取得极大值，则常数a的值为(　　) A.3 B.2 C.3或2 D.－3或－2 答案　A 解析　∵f(x)＝x3－x2＋3a2x－3a2－， ∴f'(x)＝2x2－5ax＋3a2， 由题意可得f'＝2×9－15a＋3a2＝0， 整理得a2－5a＋6＝0，解得a＝2或a＝3. 当a＝2时， f'(x)＝2x2－10x＋12＝2， 令f'(x)>0，得x<2或x>3；令f'(x)<0，得2<x<3， 此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极小值，不符合题意； 当a＝3时， f'(x)＝2x2－15x＋27＝. 令f'(x)>0，得x>或x<3； 令f'(x)<0，得3<x<. 此时，函数y＝f(x)在x＝3处取得极大值，符合题意.综上所述，a＝3. 12.若函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内有极值点，则实数k的取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B. C. D. 答案　B 解析　因为f'(x)＝2x－(x>0)， 所以当0<x<时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x>时，f'(x)>0，f(x)单调递增，则x＝是f(x)的极值点， 因为函数f(x)＝x2－ln x＋1在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内有极值点， 所以0≤k－1<<k＋1，即1≤k<. 13.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f'(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf'(x)的图象可能是(　　) 答案　C 解析　因为f(x)在x＝－2处取得极小值， 所以当x<－2时，f(x)单调递减，即f'(x)<0； 当x>－2时，f(x)单调递增，即f'(x)>0. 所以当x<－2时，y＝xf'(x)>0； 当x＝－2时，y＝xf'(x)＝0； 当－2<x<0时，y＝xf'(x)<0； 当x＝0时，y＝xf'(x)＝0； 当x>0时，y＝xf'(x)>0. 结合选项中的图象知选C. 14.(5分)若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1，1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　[1，5) 解析　∵f'(x)＝3x2＋2x－a， 函数f(x)在区间(－1，1)上恰有一个极值点， 即f'(x)＝0在(－1，1)内恰有一个根. 又函数f'(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－. ∴应满足即 解得1≤a<5. 15.(多选)设函数f(x)＝(x－a)sin ax(a>0)，若存在x0使得x0既是f(x)的零点，也是f(x)的极值点，则a的可能取值为(　　) A.π B. C.2 D.π2 答案　BC 解析　由f(x)＝(x－a)sin ax，得f'(x)＝sin ax＋(ax－a2)cos ax， 令f(x0)＝(x0－a)sin ax0＝0，则x0＝a或sin ax0＝0， 当x0＝a时，由f'(x0)＝sin ax0＋(ax0－a2)cos ax0＝0，得sin a2＝0，又a>0， 所以a2＝kπ(k∈N*)，则a＝(k∈N*)， 当sin ax0＝0时，由f'(x0)＝sin ax0＋(ax0－a2)cos ax0＝0，得(ax0－a2)cos ax0＝0， 由cos ax0≠0且a>0，得x0＝a， 当x0＝a时，得a＝(k∈N*)， 综上，a＝(k∈N*)， 所以当k＝1时，a＝，当k＝4时，a＝2，故B和C正确. 16.(12分)已知函数f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，当实数a≠时，求函数f(x)的单调区间与极值. 解　f'(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex＝(x＋2a)(x＋2－a)ex. 令f'(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2， 由a≠，得－2a≠a－2. 分以下两种情况讨论： ①若a>，则－2a<a－2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)在区间(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上单调递增，在区间(－2a，a－2)上单调递减，函数f(x)在x＝－2a处取得极大值f(－2a)＝3a，函数f(x)在x＝a－2处取得极小值f(a－2)＝(4－3a)·. ②若a<，则－2a>a－2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞) f'(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以f(x)在区间(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上单调递增， 在区间(a－2，－2a)上单调递减， 函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)＝(4－3a)·ea－2， 函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)＝3ae－2a. 学科网（北京）股份有限公司 $