第5章 5.3.1 第1课时 单调性（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦函数单调性与导数的关系这一核心知识点，衔接必修第一册定义法、图象法，系统构建利用导数判断单调性、求单调区间（不超过三次多项式函数）及由导数信息判断函数图象的学习支架。 以问题驱动结合几何直观，通过观察一次函数、二次函数等实例的导数正负与单调性关系，培养数学眼光；例题与跟踪训练中规范求导、解不等式步骤，发展数学思维逻辑性；表格梳理知识、解题步骤清晰，提升数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后课时对点练帮助学生巩固查漏。

5.3.1　单调性 第1课时　单调性 学习目标　1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间. 导语 同学们，对于函数的单调性，大家并不陌生，早在学习必修第一册的时候，我们就利用定义法和图象法求了函数的单调区间，比如大家所熟悉的一次函数、二次函数等.当然，求单调区间的前提是要先确定函数的定义域，但是对于一些更复杂的函数，比如三次函数、与指数或对数有关的函数等，虽然定义法是解决问题的根本方法，但定义法比较烦琐，一些函数图象不易画出，为了解决这个问题，就需要用到我们今天的知识：函数的单调性与导数的关系. 一、函数的单调性与其导数的关系 问题　观察下面几个图象，探究函数的单调性和导数的正负的关系. 提示　(1)函数y＝x的定义域为R，并且是增函数，其导数y'＝1>0； (2)函数y＝x2的定义域为R，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增.而y'＝2x，当x<0时，其导数y'<0；当x>0时，其导数y'>0；当x＝0时，其导数y'＝0. (3)函数y＝x3的定义域为R，是增函数.而y'＝3x2，当x≠0时，其导数y'＝3x2>0；当x＝0时，其导数y'＝3x2＝0； (4)函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递减，而y'＝－，因为x≠0，所以y'<0. 知识梳理 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f'(x)的正负 f(x)的单调性 f'(x)>0 单调递增 f'(x)<0 单调递减 注意点： (1)研究函数的单调性，应注意定义域. (2)当f'(x)＝0时，f(x)是常函数. (3)原函数的图象只看增和减的变化，导函数的图象只看正和负的变化. 例1　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x3－x2＋2x－5； (2)f(x)＝x－－ln x. 解　(1)因为f(x)＝x3－x2＋2x－5，所以f'(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，所以函数f(x)＝x3－x2＋2x－5是增函数. (2)因为f(x)＝x－－ln x，x∈(0，＋∞)， 所以f'(x)＝1＋>0，所以f(x)＝x－－ln x是增函数. 反思感悟　利用导数判断函数单调性的步骤：确定函数的定义域；求导数f'(x)；确定f'(x)在定义域内的符号，在此过程中，需要对导函数进行通分、因式分解等变形；得出结论. 跟踪训练1　利用导数判断下列函数的单调性： (1)f(x)＝x－ex(x>0)； (2)f(x)＝(x>e). 解　(1)因为f(x)＝x－ex，x∈(0，＋∞)，所以f'(x)＝1－ex<0，所以f(x)＝x－ex在(0，＋∞)上是减函数. (2)因为f(x)＝，x>e，所以f'(x)＝<0，所以f(x)＝是减函数. 二、利用导数求函数的单调区间 例2　求下列函数的单调区间. (1)f(x)＝3x2－2ln x； (2)f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1. 解　(1)易知函数的定义域为(0，＋∞)，f'(x)＝6x－， 令f'(x)>0，解得x>，由f'(x)<0，解得0<x<，所以函数f(x)的减区间是，增区间是. (2)f'(x)＝6x2＋6x－36＝6(x＋3)(x－2). 令f'(x)>0，解得x<－3或x>2； 令f'(x)<0，解得－3<x<2. 故f(x)的增区间是(－∞，－3)，(2，＋∞)； 减区间是(－3，2). 反思感悟　利用导数求函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域. (2)求导数f'(x)的零点(变号零点). (3) f'(x)的零点(变号零点)将定义域划分为若干区间，使得f'(x)>0的区间，即为y＝f(x)的增区间，使得f'(x)<0的区间，即为y＝f(x)的减区间. 注意点：(1)比如f(x)＝x3，f'(x)＝3x2，x＝0是f'(x)＝3x2的零点，但不是变号零点. (2)函数有多个增(减)区间时，中间可以用“和”或者“，”连接，不能用“∪”连接. 跟踪训练2　求下列函数的单调区间. (1)f(x)＝x2·e－x； (2)f(x)＝x＋. 解　(1)易知函数的定义域为(－∞，＋∞). f'(x)＝'e－x＋x2'＝2xe－x－x2e－x＝e－x·＝－e－x·x(x－2)， 令f'(x)>0，解得0<x<2， 令f'(x)<0，解得x<0或x>2， ∴f(x)的减区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，增区间为(0，2). (2)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞). f'(x)＝1－，令f'(x)>0，解得x<－1或x>1，令f'(x)<0，解得－1<x<0或0<x<1， ∴函数f(x)的减区间为(－1，0)和(0，1)，增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞). 三、由导数的信息判断函数的大致图象 例3　函数y＝f(x)的导函数y＝f'(x)的图象如图所示，那么该函数的图象可能是(　　) 答案　D 解析　由题意知f'(x)的图象与x轴有三个交点，不妨设为x1<x2＝0<x3， 当x∈(－∞，x1)时，f'(x)<0，当x∈(x1，0)时，f'(x)>0， 当x∈(0，x3)时，f'(x)<0，当x∈(x3，＋∞)时，f'(x)>0， 所以f(x)在区间(－∞，x1)，(0，x3)上单调递减，故A，C错误； f(x)在区间(x1，0)，(x3，＋∞)上单调递增，故B错误，D正确. 反思感悟　由导函数图象判断原函数图象的依据：若f'(x)>0，则f(x)单调递增；若f'(x)<0，则f(x)单调递减. 由原函数图象判断导函数图象的依据：若f(x)单调递增，则f'(x)的图象一定在x轴的上方；若f(x)单调递减，则f'(x)的图象一定在x轴的下方；若f(x)是常函数，则f'(x)＝0. 跟踪训练3　(1)已知f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　) 答案　D 解析　由题图可知，在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上，f'(x)<0，函数f(x)单调递减；在区间(0，2)上，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的图象最有可能的是图D. (2)若函数y＝f'(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象可能是(　　) 答案　C 解析　由y＝f'(x)的图象可知，在区间(－∞，b)上，f'(x)≥0，f(x)单调递增，在区间(b，＋∞)上，f'(x)<0，f(x)单调递减，可排除A，D； 在x＝0处，f'(x)＝0，即在x＝0处，y＝f(x)的切线的斜率为0，可排除B. 1.知识清单： (1)函数的单调性与其导数的关系. (2)利用导数求函数的单调区间. (3)由导数的信息判断函数的大致图象. 2.方法归纳：方程思想、分类讨论. 3.常见误区：忽略定义域的限制；当单调区间不止一个时，连接符号出错. 1.函数f(x)＝3＋xln x的增区间是(　　) A. B.(e，＋∞) C. D. 答案　C 解析　f'(x)＝ln x＋1(x>0)，令f'(x)>0， 即ln x＋1>0，得x>. 故函数f(x)的增区间为. 2.设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f'(x)的图象可能为(　　) 答案　C 解析　∵f(x)在区间(－∞，1)，(4，＋∞)上单调递减，在区间(1，4)上单调递增，∴当x<1或x>4时，f'(x)<0；当1<x<4时，f'(x)>0. 3.(多选)函数f(x)＝(x－3)ex在下列区间上单调递增的是(　　) A.(－∞，2) B.(2，＋∞) C.(3，4) D.(4，＋∞) 答案　BCD 解析　∵f'(x)＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex， 由f'(x)>0得x>2. ∴f(x)的增区间为(2，＋∞)，则(2，＋∞)的子集都符合题意，故BCD正确. 4.函数f(x)＝x＋2cos x，x∈(0，π)的减区间是　　　　.  答案　 解析　由f'(x)＝1－2sin x<0，得sin x>， 又x∈(0，π)， ∴x∈，故所求减区间是. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知f(x)在R上是可导函数，y＝f(x)的图象如图所示，则不等式f'(x)>0的解集为(　　) A.(－2，0)∪(2，＋∞) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞) C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.(－2，－1)∪(1，2) 答案　C 解析　因为f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增， 所以f'(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞). 2.函数f(x)＝x3－3x2＋1的减区间为(　　) A.(2，＋∞) B.(－∞，2) C.(－∞，0) D.(0，2) 答案　D 解析　f'(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f'(x)<0， 得0<x<2，所以f(x)的减区间为(0，2). 3.函数f(x)＝ln x－4x＋1的增区间为(　　) A. B.(0，4) C. D. 答案　A 解析　f(x)＝ln x－4x＋1的定义域是{x|x>0}，f'(x)＝－4＝，令f'(x)>0， 解得0<x<，故所求函数的增区间是. 4.(多选)函数f(x)＝xln x(　　) A.在区间上单调递减 B.在区间上单调递增 C.在区间上单调递增 D.在区间上单调递减 答案　AC 解析　由f(x)＝xln x，可得f'(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1(x>0).由f'(x)>0，可得x>； 由f'(x)<0，可得0<x<.所以函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增. 5.函数f(x)＝x－ex的减区间是(　　) A.(－∞，ln 2) B.(ln 2，＋∞) C.(－∞，2) D.(2，＋∞) 答案　B 解析　f'(x)＝1－ex，令f'(x)<0，得x>ln 2， 所以f(x)的减区间为(ln 2，＋∞). 6.函数f(x)的图象如图所示，设f(x)的导函数为f'(x)，则>0的解集为(　　) A.(1，6) B.(1，4) C.(－∞，1)∪(6，＋∞) D.(1，4)∪(6，＋∞) 答案　D 解析　由题意，>0⇔f'(x)·f(x)>0， 由图可知当x∈(－∞，4)时，f(x)单调递增，即f'(x)>0； 当x∈(4，＋∞)时，f(x)单调递减，即f'(x)<0. 所以当x∈(1，4)时，f'(x)>0且f(x)>0， 当x∈(6，＋∞)时，f'(x)<0且f(x)<0； 综上，>0的解集为(1，4)∪(6，＋∞). 7.(5分)函数f(x)＝(x2＋x＋1)ex的减区间为　　　　　　　　.  答案　(－2，－1) 解析　f'(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x＋1)ex＝ex(x2＋3x＋2)＝ex(x＋1)(x＋2)， 令f'(x)<0，解得－2<x<－1， 所以函数f(x)的减区间为(－2，－1). 8.(5分)函数y＝f(x)的图象如图所示，f'(x)为函数f(x)的导函数，则不等式<0的解集为　　　　　　　. 答案　(－3，－1)∪(0，1) 解析　由题图知，当x∈(－∞，－3)，(－1，1)时， f(x)单调递减，故f'(x)<0； 当x∈(－3，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增， 故f'(x)>0， 故不等式<0的解集为(－3，－1)∪(0，1). 9.(10分)讨论函数f(x)＝2x(ex－1)－x2的单调性. 解　函数f(x)的定义域为R，f'(x)＝2(ex－1＋xex－x)＝2(ex－1)(x＋1). 当x∈(－∞，－1)时，f'(x)>0； 当x∈(－1，0)时，f'(x)<0； 当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0. 故f(x)在区间(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在区间(－1，0)上单调递减. 10.(11分)已知函数f(x)＝的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. (1)求函数y＝f(x)的解析式；(6分) (2)求函数f(x)的单调区间.(5分) 解　(1)因为f(x)的图象在点M(－1，f(－1))处的切线方程为x＋2y＋5＝0. 所以f'(－1)＝－，且－1＋2f(－1)＋5＝0， 即f(－1)＝－2，即＝－2， ① 又f'(x)＝， 所以＝－. ② 由①②得a＝2，b＝3. (因为b＋1≠0，所以b＝－1舍去) 所以所求函数的解析式是f(x)＝. (2)由(1)知，f'(x)＝. 令－2x2＋12x＋6＝0， 解得x1＝3－2，x2＝3＋2， 令f'(x)<0，得x<3－2或x>3＋2， 令f'(x)>0，得3－2<x<3＋2. 所以f(x)＝的增区间是(3－2，3＋2)；减区间是(－∞，3－2)和(3＋2，＋∞). 11.函数f(x)＝(x＋1)e－x＋x2－1的减区间为(　　) A.(－ln 2，0) B.(－∞，－ln 2) C.(－ln 2，＋∞) D.(0，＋∞) 答案　A 解析　∵f(x)＝(x＋1)e－x＋x2－1，定义域为R， ∴f'(x)＝－xe－x＋2x＝x， ∴当－ln 2<x<0时，f'(x)<0，f(x)单调递减. 故函数f(x)的减区间为(－ln 2，0). 12.已知函数f(x)＝2sin x－ax，a∈R，若曲线f(x)在点处的切线方程为x＋y＋k＝0，则函数f(x)在(0，2π)内的减区间是(　　) A. B.(0，π) C.(π，2π) D.， 答案　A 解析　因为函数f(x)＝2sin x－ax，所以 f'(x)＝2cos x－a， 则f'＝2cos－a＝－a， 由曲线f(x)在点处的切线方程为x＋y＋k＝0， 得f'＝－a＝－1，解得a＝1， 所以f'(x)＝2cos x－1，由f'(x)＝2cos x－1<0，得cos x<， 而x∈(0，2π)，解得<x<， 所以函数f(x)在(0，2π)内的减区间是. 13.函数f(x)＝的图象的大致形状是(　　) 答案　A 解析　当x＝－时，f ＝－<0，排除选项C，D； 又f'(x)＝， 当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 当x∈时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减， 所以A正确，B错误. 14.(5分)已知函数f(x)是R上的偶函数，且在区间(0，＋∞)上有f'(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是　　　　　　　　.  答案　(－∞，－1)∪(0，1) 解析　因为在区间(0，＋∞)上f'(x)>0， 所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增， 又f(x)为偶函数， 所以f(－1)＝f(1)＝0，且f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，f(x)的大致图象如图所示，所以xf(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0，1). 15.(多选)若函数exf(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上是增函数，则称函数f(x)具有M性质，则下列函数中具有M性质的是(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝x2＋2 C.f(x)＝ D.f(x)＝cos x 答案　AB 解析　设g(x)＝ex·f(x)， 对于A，g(x)＝ex·是增函数，故A正确； 对于B，g(x)＝(x2＋2)ex，g'(x)＝(x2＋2x＋2)ex ＝[(x＋1)2＋1]ex>0，所以g(x)是增函数，故B正确； 对于C，g(x)＝ex·是减函数，故C不正确； 对于D，g(x)＝ex·cos x，则g'(x)＝excos，g'(x)>0在定义域R上不恒成立，故D不正确. 16.(12分)已知函数f(x)＝(k为常数，e为自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行. (1)求实数k的值；(5分) (2)求函数f(x)的单调区间.(7分) 解　(1)由f(x)＝， 可得f'(x)＝.∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行， ∴f'(1)＝0， 即＝0，解得k＝1. (2)由(1)知，f'(x)＝(x>0)， 设h(x)＝－ln x－1(x>0)， 则h'(x)＝－<0. 可知h(x)是减函数， 由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>h(1)＝0，故f'(x)>0； 当x>1时，h(x)<h(1)＝0，故f'(x)<0. 综上，f(x)的增区间是(0，1)，减区间是(1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $