第3章 圆锥曲线与方程 章末检测试卷(三)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学章末复习课件系统梳理了圆锥曲线的核心知识，涵盖椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，通过单选、多选、解答等题型将知识点串联，帮助学生构建完整的知识网络。 其亮点在于注重分层设计与逻辑推理，如解答题中直线与椭圆位置关系的讨论、抛物线中点弦问题的探究，培养学生的数学思维与运算能力，一对一答案部分支持个性化复习，助力学生巩固知识，也为教师提供精准复习指导。

章末检测试卷(三) 第3章　圆锥曲线与方程 <<< 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B A D C C C A 题号 9 10 11 12 13 14 答案 AC ABD ABD 6 －1 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①焦点在x轴上，设椭圆方程为＝1(a>b>0)，且c＝， 设双曲线为＝1(m>0，n>0)，m＝a－4. 因为，解得a＝7，m＝3. 因为椭圆和双曲线的半焦距为， 所以b2＝36，n2＝4.所以椭圆方程为＝1， 双曲线方程为＝1. ②焦点在y轴上，椭圆方程为＝1，双曲线方程为＝1. 17 18 19 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由 消去y并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0， Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18). 因为直线l与椭圆有公共点， 所以Δ≥0，解得－3≤m≤3. 故所求实数m的取值范围为[－3，3]. 17 18 19 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又x1＋x2＝－，x1x2＝， 故AB＝· ＝· ＝·， 当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长最大，最大值为. 17 18 19 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意，可得直线AB的斜率存在，且不为0. 设直线AB的方程为x－2＝m(y－2)， 代入抛物线方程可得y2－8my＋16m－16＝0. Δ＝(－8m)2－4(16m－16)＝64>0恒成立. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＋y2＝8m， 由8m＝4，得m＝. 所以直线l的方程为2x－y－2＝0. 17 18 19 17. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)假设存在点C，D，则可设lCD的方程为y＝－x＋n， 与抛物线y2＝8x联立，消去y得x2－(n＋8)x＋n2＝0， 由Δ＝(n＋8)2－n2＝16n＋64>0，得n>－4. 又xC＋xD＝4(n＋8)， 所以yC＋yD＝－(xC＋xD)＋2n＝－16， 所以CD的中点为(2(n＋8)，－8)，代入直线l的方程， 得n＝－，不满足n>－4. 所以不存在满足题意的点C，D. 17 18 19 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为双曲线的渐近线方程为 y＝±x，所以a＝b， 所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2， 所以双曲线方程为＝1. (2)设点A的坐标为(x0，y0)， 所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1， 所以x0＝y0， ① 17 18 19 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2， 将①代入圆的方程得3＝c2， 即y0＝c，所以x0＝c， 所以点A的坐标为， 代入双曲线方程得＝1， 即b2c2－a2c2＝a2b2， ② 17 18 19 18. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又因为a2＋b2＝c2， 所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0， 所以3－8＋4＝0， 即3e4－8e2＋4＝0， 所以(3e2－2)(e2－2)＝0， 因为e>1，所以e＝， 所以双曲线的离心率为. 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)椭圆E的半焦距为c(c>0)， 因为P为E上任意一点，且PF1＋PF2＝4，所以2a＝4，解得a＝2， 又因为椭圆E的离心率为，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝2， 所以椭圆E的方程为＝1. (2)设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去x，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0， 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以Δ＝(2mt)2－4(m2＋2)(t2－4)＝8(2m2－t2＋4)>0， y1＋y2＝－，y1y2＝，所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝， x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝m2·＋mt＋t2＝， 因为以线段AB为直径的圆恒过点M(2，0)， 所以·＝0，即(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0， 所以x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0， 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即－2×＋4＋＝0，即3t2－8t＋4＝0， 解得t＝或t＝2(舍去)，满足Δ>0，所以t＝. (3)对于椭圆C1：＋y2＝1，其长轴长为2，短轴长为2， 焦距为2， 椭圆C2：＝1(a>b>0)的长轴长为2a，短轴长为2b， 焦距为2， 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由相似比可知，，解得 所以椭圆C2：＝1， 设P(x0，y0)，则直线PB1的方程为y－y0＝k1(x－x0)， 即y＝k1x＋y0－k1x0， 记n＝y0－k1x0，则PB1的方程为y＝k1x＋n，  将其代入椭圆C1的方程，消去y，得(2＋1)x2＋4k1nx＋2n2－2＝0， 因为直线PB1与椭圆C1有且只有一个公共点， 17 18 19 19. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以Δ＝(4k1n)2－4(2＋1)(2n2－2)＝0，即2－n2＋1＝0， 将n＝y0－k1x0代入上式，整理得(－2)－2x0y0k1＋－1＝0， 同理可得(－2)－2x0y0k2＋－1＝0， 所以k1，k2为关于x的方程(－2)x2－2x0y0x＋－1＝0的两根， 所以k1k2＝. 又点P(x0，y0)在椭圆C2：＝1上，所以＝1，所以＝2－， 所以k1k2＝＝－为定值. 17 18 19 一、单项选择题 1.椭圆＝1的离心率是 A. B. C. D. √ 因为椭圆方程为＝1， 所以a＝3，c＝. 所以e＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意可得抛物线的焦点坐标为(1，0)， 双曲线的渐近线方程为x±y＝0， 则焦点到渐近线的距离d＝. 解析 2.抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是 A. B. C.1 D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3.已知动圆M与直线y＝2相切，且与定圆C：x2＋(y＋3)2＝1外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 A.x2＝－12y B.x2＝12y C.y2＝12x D.y2＝－12x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设动圆圆心为M(x，y)，由题意可得M到C(0，－3)的距离与到直线y＝3的距离相等. 由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，－3)为焦点，以y＝3为准线的一条抛物线， 则＝3，2p＝12，故动圆圆心M的轨迹方程为x2＝－12y. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x＝－3的距离为5，则MF等于 A.7 B.6 C.5 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由方程y2＝8x可知，抛物线C的准线方程为x＝－2， 因为点M到直线x＝－3的距离为5， 所以点M到直线x＝－2的距离为4. 又抛物线上点M到准线x＝－2的距离和到焦点F的距离相等， 故MF＝4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一 点，则·的最小值为 A.1 B.0 C.－2 D.－ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点P(x0，y0)，则＝1， 由题意得A1(－1，0)，F2(2，0)， 则·＝(－1－x0，－y0)(2－x0，－y0) ＝－x0－2＋， 由双曲线方程得＝3(－1)， 故·＝4－x0－5(x0≥1)， 可得当x0＝1时，·有最小值－2. 解析 17 18 19 6.椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若PF1＝4， 则∠F1PF2等于 A.30° B.60° C.90° D.120° √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 椭圆＝1的长半轴长a＝3，短半轴长b＝2， 则半焦距c＝，在△PF1F2中，F1F2＝2，PF1＝4， 则PF2＝2a－PF1＝2， 于是P＋P＝20＝F1，所以∠F1PF2＝90°. 解析 17 18 19 7.已知椭圆C：＝1(a>)的离心率为，过点P的直线与 椭圆C交于A，B两点，且满足PA＝PB，则直线AB的方程为 A.3x＋y－5＝0 B.3x－y－4＝0 C.x＋y－2＝0 D.x－y－1＝0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 由题设，＝1－＝1－，可得a2＝6，故椭圆C：＝1. 过P的直线与椭圆C交于A，B两点且满足PA＝PB，则P为线段AB的中点， 所以xA＋xB＝3，yA＋yB＝1，又＝1，＝1，则＝0， 即＝－， 所以＝－＝－1， 故直线AB的方程为y－＝－，即x＋y－2＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.抛物线y＝x2上有A，B，C三点，且直线AB的斜率大于零，G， 点G为△ABC的重心，若直线AB横截距的范围为(－∞，m)，则m的值是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则y3＝， 又G为△ABC的重心，所以 得 代入方程y3＝，得(x1＋x2)2－x1x2＝1. ① 设直线AB的方程为y＝kx＋b(k>0)，联立消去y， 得x2－kx－b＝0， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Δ＝k2＋4b>0，得k2>－4b，x1＋x2＝k，x1x2＝－b，代入①，得k2＋b＝1， 即k2＝1－b，则1－b>－4b，解得b>－，所以b＝1－k2>－， 解得0<k<. 对于y＝kx＋b(k>0)，令y＝0，得x＝－＝－＝k－， 又函数y＝k，y＝－在(0，＋∞)上单调递增， 所以函数y＝k－在(0，＋∞)上单调递增， 当0<k<时，x＝k－<，即m＝. 解析 二、多项选择题 9.以直线2x－y－1＝0与坐标轴的交点为焦点的抛物线的标准方程为 A.y2＝2x B.y2＝－4x C.x2＝－4y D.x2＝－2y 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 直线2x－y－1＝0与x轴的交点坐标是 ， 此时抛物线的标准方程是y2＝2x， 与y轴的交点坐标是(0，－1)， 抛物线的焦点坐标是(0，－1)， 此时抛物线的标准方程是x2＝－4y. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10.如图所示，一个底面半径为3的圆柱被与其底面所成的角θ＝30°的平面所截，截面是一个椭圆，则下列说法正确的是 A.椭圆的长轴长为4 B.椭圆的离心率为 C.椭圆的离心率为 D.椭圆的一个方程可能为＝1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意易知椭圆的短半轴b＝3， ∵截面与底面所成的角为θ＝30°， ∴椭圆的长轴长为2a＝＝4， ∴a＝2，c＝，b2＝9， 以椭圆中心为原点，椭圆的长轴为x轴，短轴为y轴建立平面直角坐标系， 则椭圆的方程为＝1. 解析 11.已知焦点在x轴上，对称中心为坐标原点的等轴双曲线C的实轴长为2，过双曲线C的右焦点F且斜率不为零的直线l与双曲线交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，则 A.若A，B两点均在双曲线C的右半支上，则直线l的倾斜角的取值范围为 B.若直线l斜率的取值范围为(1，2]，则AD的取值范围为 C.若点B，A，F依次从左到右排列，则存在直线l使得A为线段BF的中点 D.直线AD过定点P(1，0) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意可知 可知双曲线C的方程为＝1，F(2，0)，其渐近线方程为y＝±x， 对于选项A，因为直线l经过右焦点F(在右半支内)，所以当倾斜角范围 为时，直线与右半支有两个交点，故A正确； 由题意，直线l的斜率不为零，设直线l：x＝my＋2，A(x1，y1)，B(x2， y2)，则D(x2，－y2)，联立方程 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 消去x得(m2－1)y2＋4my＋2＝0， 则 解得m≠±1，可得y1＋y2＝，y1y2＝， 对于选项B，若∈(1，2]，则m∈， 可得AD＝ ＝＝2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ＝2， 因为m∈，令t＝∈＋1 ＝4t2＋5t＋1≥， 因此AD的取值范围为，故B正确； 对于选项C，若点B，A，F依次从左到右排列，可知B，A分别在双曲线 的左、右支，则x1>，x2<－<1－<<x1，所以不存 在直线l使得A为线段BF的中点，故C错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于选项D，因为直线AP的斜率为kAP＝，直线DP的斜率为kDP＝，若直线AD过定点P，则，整理得2my1y2＋y1＋y2＝0，又因为2my1y2＋y1＋y2＝2m×＝0恒 成立，所以直线AD过定点P(1，0)，故D正确. 解析 三、填空题 12.设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则PB的最大值为　 .  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 方法一(消元转化法)　设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得 x2＝5－5y2.易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得 PB2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2 ＝－4y2－2y＋6＝－4. 当y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，PB2取得最大值，所以PBmax＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 方法二(利用椭圆的参数方程)　因为点P在椭圆＋y2＝1上， 所以可设点P(cos θ，sin θ). 易知点B(0，1)，所以根据两点间的距离公式得 PB2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2 ＝4cos2θ－2sin θ＋2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝－4. 易知当sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，PB2取得最大值，所以PBmax＝. 解析 13.已知双曲线C：x2－＝1的左焦点为F1，y轴上有一点Q(0，2)，P是双曲线C右支上的动点，则PF1＋PQ的最小值等于　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 如图， 根据双曲线的性质可知PF1－PF2＝2a＝2， 得到PF1＝PF2＋2， 所以PF1＋PQ＝PF2＋PQ＋2≥QF2＋2， 而Q(0，2)，F2(2，0)， 所以QF2＝＝4，所以最小值为6. 解析 14.抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点与椭圆E：＝1(a>b>0)的一个焦 点相同，两条曲线在第一象限内的交点为A，直线OA的斜率为2，则椭圆的离心率为　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 －1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设椭圆E的半焦距为c，则＝c， 即p＝2c，则抛物线C的方程为y2＝4cx， 因为直线OA的方程为y＝2x， 联立方程 解得 则A(c，2c)， 又A(c，2c)在椭圆E：＝1(a>b>0)上， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 则＝1， 则4a2c2＋b2c2＝a2b2， 即4a2c2＋(a2－c2)c2＝a2(a2－c2)， 整理得c4－6a2c2＋a4＝0，即e4－6e2＋1＝0， 解得e2＝3－2或e2＝3＋2(舍去)， 所以e＝－1或e＝1－(舍去). 解析 四、解答题 15.椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2，一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3，求椭圆和双曲线的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ①焦点在x轴上，设椭圆方程为＝1(a>b>0)，且c＝， 设双曲线为＝1(m>0，n>0)，m＝a－4. 因为，解得a＝7，m＝3. 因为椭圆和双曲线的半焦距为， 所以b2＝36，n2＝4.所以椭圆方程为＝1， 双曲线方程为＝1. ②焦点在y轴上，椭圆方程为＝1，双曲线方程为＝1. 解 16.已知椭圆＝1及直线l：y＝x＋m. (1)当直线l与该椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 消去y并整理得9x2＋6mx＋2m2－18＝0， Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18). 因为直线l与椭圆有公共点， 所以Δ≥0，解得－3≤m≤3. 故所求实数m的取值范围为[－3，3]. 解 17 18 19 (2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又x1＋x2＝－，x1x2＝， 故AB＝· ＝· ＝·， 当m＝0时，直线l被椭圆截得的弦长最大，最大值为. 解 17 18 19 17.已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且线段AB恰好被点P(2，2)平分. (1)求直线l的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意，可得直线AB的斜率存在，且不为0. 设直线AB的方程为x－2＝m(y－2)， 代入抛物线方程可得y2－8my＋16m－16＝0. Δ＝(－8m)2－4(16m－16)＝64>0恒成立. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1＋y2＝8m， 由8m＝4，得m＝. 所以直线l的方程为2x－y－2＝0. 解 (2)抛物线上是否存在点C和点D，使得C，D关于直线l对称？若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 假设存在点C，D，则可设lCD的方程为y＝－x＋n， 与抛物线y2＝8x联立，消去y得x2－(n＋8)x＋n2＝0， 由Δ＝(n＋8)2－n2＝16n＋64>0，得n>－4. 又xC＋xD＝4(n＋8)， 所以yC＋yD＝－(xC＋xD)＋2n＝－16， 所以CD的中点为(2(n＋8)，－8)，代入直线l的方程， 得n＝－，不满足n>－4. 所以不存在满足题意的点C，D. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c，0). (1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程； 因为双曲线的渐近线方程为 y＝±x，所以a＝b， 所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2， 所以双曲线方程为＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 (2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设点A的坐标为(x0，y0)， 所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1， 所以x0＝y0， ① 依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2， 将①代入圆的方程得3＝c2， 即y0＝c，所以x0＝c， 所以点A的坐标为， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 代入双曲线方程得＝1， 即b2c2－a2c2＝a2b2， ② 又因为a2＋b2＝c2， 所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0， 所以3－8＋4＝0，即3e4－8e2＋4＝0， 所以(3e2－2)(e2－2)＝0， 因为e>1，所以e＝，所以双曲线的离心率为. 解 19.已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右顶点为M，左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，P为E上任意一点，且PF1＋PF2＝4. (1)求E的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 椭圆E的半焦距为c(c>0)， 因为P为E上任意一点，且PF1＋PF2＝4，所以2a＝4，解得a＝2， 又因为椭圆E的离心率为，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝2， 所以椭圆E的方程为＝1. 解 (2)设过点T(t，0)的直线l与E有两个不同的交点A，B(均不与点M重合)，若以线段AB为直径的圆恒过点M，求t的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设直线l的方程为x＝my＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去x，得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－4＝0， 所以Δ＝(2mt)2－4(m2＋2)(t2－4)＝8(2m2－t2＋4)>0， y1＋y2＝－，y1y2＝，所以x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝， x1x2＝(my1＋t)(my2＋t)＝m2y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2 ＝m2·＋mt＋t2＝， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为以线段AB为直径的圆恒过点M(2，0)， 所以·＝0，即(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0， 所以x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0， 即－2×＋4＋＝0，即3t2－8t＋4＝0， 解得t＝或t＝2(舍去)，满足Δ>0，所以t＝. 解 (3)由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆C1的“特征三角形”为△1，椭圆C2的“特征三角形”为△2，若△1∽△2，则称椭圆C1与C2“相似”，并将△1与△2的相 似比称为椭圆C1与C2的相似比.已知椭圆C1：＋y2＝1与椭圆C2： ＝1(a>b>0)相似，且相似比为λ(λ>0)，设P为C2上异于其左、右顶点A1， A2的一点.当λ＝时，过P分别作椭圆C1的两条切线PB1，PB2，切点分别 为B1，B2，设直线PB1，PB2的斜率为k1，k2，证明：k1k2为定值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于椭圆C1：＋y2＝1，其长轴长为2，短轴长为2，焦距为2， 椭圆C2：＝1(a>b>0)的长轴长为2a，短轴长为2b， 焦距为2， 由相似比可知，，解得 所以椭圆C2：＝1， 设P(x0，y0)，则直线PB1的方程为y－y0＝k1(x－x0)，即y＝k1x＋y0－k1x0， 记n＝y0－k1x0，则PB1的方程为y＝k1x＋n， 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 将其代入椭圆C1的方程，消去y，得(2＋1)x2＋4k1nx＋2n2－2＝0， 因为直线PB1与椭圆C1有且只有一个公共点， 所以Δ＝(4k1n)2－4(2＋1)(2n2－2)＝0， 即2－n2＋1＝0， 将n＝y0－k1x0代入上式，整理得(－2)－2x0y0k1＋－1＝0， 同理可得(－2)－2x0y0k2＋－1＝0， 所以k1，k2为关于x的方程(－2)x2－2x0y0x＋－1＝0的两根， 所以k1k2＝. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又点P(x0，y0)在椭圆C2：＝1上， 所以＝1，所以＝2－， 所以k1k2＝＝－为定值. 证明 第3章　圆锥曲线与方程 <<< $