第3章 3.2.1 第2课时 双曲线标准方程的综合应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

本讲义聚焦双曲线标准方程的综合应用，系统梳理方程设法（含焦点相同、位置不明情况）、定义应用（焦点三角形面积等）、直线与双曲线位置关系，通过例题、反思感悟、跟踪训练构建学习支架，衔接前期双曲线定义与标准方程知识。 资料亮点在于一题多解（如例1两种方程设法）和方法归纳（反思感悟总结规律），培养学生数学思维与抽象能力。配合示意图和分层练习，课中助教师高效授课，课后帮学生巩固知识，提升用数学语言解决问题的能力。

第2课时　双曲线标准方程的综合应用 学习目标　1.会求双曲线的标准方程.2.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.3.了解直线与双曲线的位置关系. 一、双曲线方程的设法 例1　求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)与双曲线＝1有相同的焦点，且经过点(3，2)； (2)过点P，Q且焦点在坐标轴上. 解　(1)方法一　∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 由题意得c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20. ① ∵双曲线经过点(3，2)， ∴＝1. ② 由①②得a2＝12，b2＝8， ∴双曲线的标准方程为＝1. 方法二　设所求双曲线的方程为＝1(－4<λ<16). ∵双曲线过点(3，2)， ∴＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去). ∴双曲线的标准方程为＝1. (2)设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. ∵点P，Q在双曲线上， ∴解得 ∴双曲线的标准方程为＝1. 反思感悟　(1)若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，或设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过方程组确定m，n. (2)与椭圆＝1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程为＝1(－a2<λ<－b2)；与椭圆＝1(a>b>0)有公共焦点的双曲线方程为＝1(－a2<λ<－b2). 与双曲线＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程为＝1(－a2<λ<b2). 跟踪训练1　已知双曲线与椭圆＝1有共同的焦点，且它们的一个交点的纵坐标为4，求该双曲线的标准方程. 解　方法一　椭圆＝1的两个焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)， 故该双曲线的焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 令y＝4，即有＝1，解得x＝±， 故有解得 故双曲线的标准方程为＝1. 方法二　设所求双曲线的标准方程为 ＝1(－36<λ<－27)， 令y＝4，有＝1， 解得x＝±. 将点(±，4)代入双曲线方程， 有＝1，即λ2＋32λ＝0， 解得λ＝－32或λ＝0(舍去). 所以双曲线的标准方程为＝1. 二、 双曲线定义的应用 例2　已知F1，F2分别是双曲线＝1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且PF1·PF2＝32.试求△F1PF2的面积. 解　易得F1F2＝10，因为P是双曲线左支上的点，所以PF2－PF1＝6，两边平方得P＋P－2PF1·PF2＝36，所以P＋P＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100. 在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝0，所以∠F1PF2＝90°. 方法一　PF1·PF2＝×32＝16. 方法二　 ＝＝16. 延伸探究1　若将本例条件“PF1·PF2＝32”改成“PF1∶PF2＝2∶5”，其他条件不变，求△F1PF2的面积. 解　由PF1∶PF2＝2∶5， PF2－PF1＝6， 可知PF2＝10，PF1＝4，PF1上的高为＝4， ∴×4×4＝8. 延伸探究2　若将本例条件“PF1·PF2＝32”改为“∠F1PF2＝60°”，其他条件不变，求△F1PF2的面积. 解　由＝1，得a＝3，b＝4，c＝5. 方法一　由定义和余弦定理得PF1－PF2＝－6， F1＝P＋P－2PF1·PF2cos 60°， ∴102＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2， ∴PF1·PF2＝64， ∴PF1·PF2·sin ∠F1PF2 ＝×64×＝16. 方法二　 ＝＝16. 反思感悟　求双曲线中的焦点△PF1F2面积的方法 (1)①根据双曲线的定义求出|PF1－PF2|＝2a； ②利用余弦定理表示出PF1，PF2，F1F2之间满足的关系式； ③通过配方，整体的思想求出PF1·PF2的值； ④利用公式·PF1·PF2·sin∠F1PF2求得面积. (2)利用公式·F1F2·|yP|求得面积. (3)若双曲线中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝. 跟踪训练2　已知点A(－4，0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上一点，点P在双曲线＝1的右支上，则PA＋PB的最小值为(　　) A.9 B.2＋6 C.10 D.12 答案　C 解析　设圆心C(1，4)，因为点B在圆上， 则PB≥PC－r＝PC－1， 由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点， 设A'为双曲线右焦点，如图， 所以由双曲线定义知PA＝PA'＋2a＝PA'＋6， 所以PA＋PB＝PA'＋PB＋6≥PA'＋PC＋6－1≥A'C＋5＝5＋5＝10， 当且仅当C，P，A'三点共线时，等号成立，因此PA＋PB的最小值为10. 三、直线与双曲线的位置关系 例3　已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，直线l与双曲线有两个不同的公共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 解　联立 消去y，得(1－k2)x2＋2k2x－k2－4＝0.(*) 易知当1－k2＝0，即k＝±1时，不符合题意； 当1－k2≠0，即k≠±1时， Δ＝(2k2)2－4(1－k2)(－k2－4)＝4(4－3k2). 由得－<k<且k≠±1， 此时方程(*)有两个不同的实数解，即直线l与双曲线有两个不同的公共点. 反思感悟　求直线与双曲线的交点个数时，将直线方程和双曲线方程联立，一解则一个公共点(要讨论二次项系数是否为零)，两解则两个公共点. 跟踪训练3　直线l：y＝k(x－2)与双曲线C：x2－y2＝2的左、右两支各有一个交点，则k的取值范围为(　　) A.k≤－1或k≥1 B.－1≤k≤1 C.－<k< D.－1<k<1 答案　D 解析　联立 消去y整理得，(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0. 因为直线l与双曲线C的左、右两支各有一个交点， 所以方程(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0有一正根一负根，Δ>0，所以 整理得1－k2>0，解得－1<k<1. 1.知识清单： (1)双曲线方程的设法. (2)双曲线定义的应用. (3)直线与双曲线的位置关系. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：直线方程和双曲线方程联立时，忽略讨论二次项系数是否为零. 1.已知双曲线经过点A(2，)，B(－2，－)，则其标准方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1或＝1 答案　A 解析　设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则解得 所以双曲线的标准方程为＝1. 2.已知F1，F2分别为双曲线C：＝1的左、右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2，则cos∠F1PF2等于(　　) A.－ B. C. D.－ 答案　B 解析　由题意可得， 解得PF1＝4，PF2＝2， 因为F1F2＝2＝4，所以cos∠F1PF2＝. 3.已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则PF1·PF2＝　　　　　　.  答案　4 解析　在△PF1F2中， F1＝P＋P－2PF1·PF2·cos 60°＝(PF1－PF2)2＋PF1·PF2， 即8＝4＋PF1·PF2， 解得PF1·PF2＝4. 4.直线y＝2x＋1与双曲线x2－＝1有　　个交点.  答案　2 解析　联立 消去y，得9x2－(2x＋1)2＝9，整理得5x2－4x－10＝0，Δ＝16＋4×5×10>0， ∴直线y＝2x＋1与双曲线x2－＝1有2个交点. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16相交，则实数k的取值范围为(　　) A.(－2，2) B.[－2，2) C.(－2，2] D.[－2，2] 答案　A 解析　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方程(4－k2)x2－16＝0， 由Δ>0可得－2<k<2. 2.与椭圆＝1共焦点，且过点(－2，)的双曲线方程为(　　) A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案　B 解析　方法一　由题意得椭圆的焦点为(0，3)，(0，－3)， 所以双曲线的焦点为(0，3)，(0，－3)， 设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)， 所以解得 所以双曲线的方程为＝1. 方法二　设双曲线的方程为＝1(－25<λ<－16)， 又因为双曲线过点(－2，)， 可得＝1， 解得λ＝－7(舍去)或λ＝－20. 所以双曲线的方程为＝1. 3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”，讲述了“勾股定理”及一些应用，直角三角形的三条边长分别称为“勾”“股”“弦”(其中“勾”为较短直角边，“股”为较长直角边，“弦”为斜边).设F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是该双曲线右支上的一点，若PF2，PF1分别是Rt△F1PF2的“勾”“股”，且PF1·PF2＝2ab，则a与b的关系为(　　) A.a＝b B.a＝b C.a＝2b D.a＝2b 答案　A 解析　由勾股定理可得P＋P＝F1，由双曲线的定义得PF1－PF2＝2a，则(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝F1，即4a2＋4ab＝4c2，又c2＝a2＋b2，所以a＝b. 4.设F1，F2分别是双曲线＝1的下、上焦点，P是该双曲线上的一点，且3PF1＝5PF2，则△PF1F2的面积等于(　　) A.12 B.24 C.12 D.24 答案　B 解析　由双曲线＝1得a＝2，b＝2，c＝4，又3PF1＝5PF2，且PF1－PF2＝2a＝4，得到PF1＝10，PF2＝6，所以P－P＝64＝(2c)2＝F1，即△PF1F2为直角三角形，所以PF2·F1F2＝×6×8＝24. 5.已知F是双曲线＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为(　　) A.5 B.6 C.8 D.9 答案　D 解析　对于双曲线＝1，a＝2，b＝2，c＝4，如图所示， 设双曲线的右焦点为M， 则M(4，0)， 由双曲线的定义可得PF－PM＝4， 则PF＝4＋PM， 所以PF＋PA＝PM＋PA＋4≥AM＋4＝＋4＝9， 当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立. 因此PF＋PA的最小值为9. 6.(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：＝1的左、右焦点，P是C上一点，且位于第一象限，·＝0，则(　　) A.点P的纵坐标为 B.PF1＝2＋2 C.△PF1F2的周长为4＋4 D.△PF1F2的面积为4 答案　ABD 解析　依题意得a＝b＝2，c＝2，因为·＝0，所以P＋P＝F1＝32.由双曲线的定义可得PF1－PF2＝4，① 两边平方得P＋P－2PF1·PF2＝16，即32－2PF1·PF2＝16，解得PF1·PF2＝8，故△PF1F2的面积为PF1·PF2＝4，D正确； 设点P的纵坐标为h，则△PF1F2的面积为F1F2·h＝4，解得h＝，A正确； 由(PF1＋PF2)2＝P＋P＋2PF1·PF2，解得PF1＋PF2＝4，② 故△PF1F2的周长为PF1＋PF2＋F1F2＝4＋4，C错误； ①＋②可得PF1＝2＋2，B正确. 7.(5分)经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是　　　　　　.  答案　＝1 解析　设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)， 则解得 故双曲线的标准方程为＝1. 8.(5分)已知双曲线C：－y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线C的右支于A，B两点，若△ABF1的周长为20，则线段AB的长为　　　　.  答案　6 解析　由题意，得a2＝4， 则a＝2，2a＝4， 因为A，B都在右支上，则AF1＝AF2＋4，BF1＝BF2＋4， 所以△ABF1的周长为AB＋AF1＋BF1＝AB＋AF2＋BF2＋8＝2AB＋8＝20， 解得AB＝6. 9.(10分)在周长为48的Rt△MPN中，∠MPN＝90°，tan∠PMN＝，以MN的中点为坐标原点，MN所在直线为坐标轴，求以M，N为焦点，且过点P的双曲线的标准方程. 解　因为△MPN的周长为48，且tan∠PMN＝， 所以设PN＝3k，PM＝4k，则MN＝5k. 由3k＋4k＋5k＝48，得k＝4. 所以PN＝12，PM＝16，MN＝20. 若MN所在直线为x轴，如图所示. 设所求双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0). 由PM－PN＝4， 得2a＝4，a＝2，a2＝4. 由MN＝20， 得2c＝20，c＝10，c2＝100， 所以b2＝c2－a2＝100－4＝96， 故所求标准方程为＝1； 若MN所在直线为y轴， 同理可得双曲线的标准方程为＝1. 10.(11分)已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？ 解　双曲线方程可化为x2－＝1， 故a2＝1，b2＝3，c2＝a2＋b2＝4， ∴c＝2.∴F2(2，0)，又直线l的倾斜角为45°， ∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1， ∴直线l的方程为y＝x－2， 代入双曲线方程，得2x2＋4x－7＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵x1·x2＝－<0， ∴A，B两点不位于双曲线的同一支上. 11.设椭圆＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个公共点，则cos∠F1PF2等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　设PF1＝d1，PF2＝d2， 则d1＋d2＝2， ① |d1－d2|＝2， ② ①2＋②2，得＝18. ①2－②2，得2d1d2＝6.而c＝2， ∴cos∠F1PF2＝. 12.(多选)已知点P在双曲线C：＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有(　　) A.点P到x轴的距离为 B.PF1＋PF2＝ C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2＝ 答案　BC 解析　因为双曲线C：＝1，所以c＝＝5.又因为·2c|yP|＝·10·|yP|＝20，所以|yP|＝4，所以选项A错误； 将|yP|＝4代入C：＝1得＝1， 即|xP|＝.不妨取P的坐标为，可知PF2＝.由双曲线定义可知PF1＝PF2＋2a＝＋8＝，所以PF1＋PF2＝，所以选项B正确； 对于点P，在△PF1F2中，PF1＝>2c＝10>PF2＝.且cos∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角，所以△PF1F2为钝角三角形，选项C正确； 由余弦定理得 因为cos∠F1PF2＝≠，所以∠F1PF2≠，所以选项D错误. 13.已知双曲线C：＝1的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，A(0，4)，当△MAF的周长最小时，△MAF的面积为(　　) A.2 B.4 C.8 D.12 答案　D 解析　如图，设双曲线C的右焦点为F'，则a＝2，F(－4，0)，F'(4，0)，又A(0，4)，所以AF＝＝4， 连接MF'，由双曲线的定义知，MF－MF'＝2a＝4，所以MF＝MF'＋4， 所以△MAF的周长为MA＋MF＋AF＝MA＋(MF'＋4)＋4≥AF'＋8＝AF＋8＝12， 即当M在M'(即AF'与双曲线的交点)处时，△MAF的周长最小，此时直线AF'的方程为x＋y＝4，联立整理得y2－(－y＋4)2＝－8，解得y＝1，即M'(3，1)， 故△MAF的面积S＝FF'·(yA－yM')＝×8×(4－1)＝12. 14.(5分)从双曲线x2－＝1的左焦点F引圆x2＋y2＝1的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则MO－MT的值是　　　　　. 答案　－1 解析　不妨将点P置于第一象限. 设F1是双曲线的右焦点， 如图，连接PF1，OT，OM.M，O分别为FP，FF1的中点， 故MO＝PF1. 又由双曲线的定义得， PF－PF1＝2a，FT＝＝b， 故MO－MT＝PF1－MF＋FT＝(PF1－PF)＋FT＝b－a＝－1. 15.(5分)光线被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射.已知光线从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出.如图，椭圆C：＝1(a>b>0)与双曲线C'：＝1(m>0，n>0)有公共焦点，现一光线从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为　　　. 答案　2k(a－m) 解析　光线从椭圆的左焦点出发经过椭圆反射要回到另一个焦点，光线从双曲线的左焦点出发被双曲线反射后，反射光线的反向延长线过另一个焦点，如图， BF2＝2m＋BF1， BF1＋BA＋AF1＝BF2－2m＋BA＋AF1＝AF2＋AF1－2m＝2a－2m， 所以光线经过2k(k∈N*)次反射后回到左焦点所经过的路径长为2k(a－m). 16.(12分)已知双曲线E的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，并且E经过点P(2，3). (1)求双曲线E的方程；(4分) (2)过点M(0，1)的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.(8分) 解　(1)由已知可设双曲线E的方程为＝1(a>0，b>0)，则解得 所以双曲线E的方程为x2－＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，显然不符合题意， 所以可设直线l的方程为y＝kx＋1，如图， 联立 得(3－k2)x2－2kx－4＝0， ①当3－k2＝0，即k＝或k＝－时，方程只有一个解， 所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 此时，直线l的方程为y＝±x＋1； ②当3－k2≠0，即k≠±时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 则Δ＝(－2k)2－4(3－k2)(－4)＝0，解得k＝±2， 此时，直线l的方程为y＝±2x＋1. 综上所述， 直线l的方程为y＝±x＋1或y＝±2x＋1. 学科网（北京）股份有限公司 $