第5章 5.1.2 第3课时 导 数（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦导数的概念、几何意义及求导方法，课堂导入通过数学史（牛顿等数学家贡献）建立瞬时变化率与导数的联系，以问题“瞬时变化率的意义”为支架，衔接平均变化率到导数的学习脉络。 其亮点是以问题驱动和定义法为核心，通过结合图像分析切线斜率、极限法求导等实例培养数学思维，小结清单化梳理知识与方法，帮助学生深化理解，为教师提供结构化教学资源，提升教学效率。

第3课时 导　数 第5章　5.1.2　瞬时变化率——导数 <<< 1.正确理解导数的概念及其几何意义. 2.会利用极限的思想求函数在某点处的导数以及函数的导函数. 学习目标 同学们，我们如何从数学的角度来衡量时代的进步呢？那就是对函数的精细化研究.400年前法国数学家首次提出了导数的概念，数学家牛顿和莱布尼茨推动了导数研究，后来才有了柯西等人对导数的精确描述，希望同学们也能站在巨人的肩膀上，刻苦学习，深入研究，将来取得更惊人的成就. 导 语 一、导数的概念 二、求函数在某一点处的导数 课时对点练 三、导函数 随堂演练 内容索引 导数的概念 一 提示　瞬时变化率的几何意义是曲线在某点处的切线斜率；它的数学意义是函数在该点的导数. 瞬时变化率的几何意义是什么？它的数学意义又是什么？ 问题1 1.导数 设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于 时，比值无限趋近于一个 ，则称f(x)在x＝x0处 ，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(也称瞬时变化率)，记作 . f'(x0)＝A＝. 2.导数的几何意义 导数f'(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点 处的切线的 . 0 常数A 可导 f'(x0) P(x0，f(x0)) 斜率 知识梳理 　(1)已知函数f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是 A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)－f(2) B.0<f'(2)≤f(3)－f(2)<f'(3) C.0<f(3)－f(2)<f'(2)<f'(3) D.0<f'(3)<f(3)－f(2)<f'(2) √ 例 1 8 割线AB的斜率为＝f(3)－f(2)， f'(2)为函数图象在点B(2，f(2))处切线的斜率， f'(3)为函数图象在点A(3，f(3))处切线的斜率， 结合图象可得0<f'(3)<f(3)－f(2)<f'(2). 解析 9 (2)设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且＝1，则f'等于 A. B.－ C.1 D.－1 √ 由题意知＝×f'＝1， 所以f'. 解析 10 利用定义求函数在某点处的导数，注意函数值增量与自变量增量前后要保持一致. 反 思 感 悟 11 　(1)曲线f(x)＝在点(3，3)处的切线的倾斜角α等于 A.45° B.60° C.135° D.120° 跟踪训练 1 √ f'(3)＝＝9＝－9＝－1， 又切线的倾斜角α的范围为0°≤α<180°， 所以所求倾斜角为135°. 解析 12 (2)已知函数f(x)可导，则等于 A.f'(x) B.f'(2) C.f(x) D.f(2) √ 由f(x)在x＝x0处的导数为f'(x0)＝知， ＝f'(2). 解析 13 二 求函数在某一点处的导数 　(课本例7)已知f(x)＝x2＋2. (1)求f(x)在x＝1处的导数f'(1)； 例 2 因为＝2＋Δx， 所以当Δx→0时，2＋Δx→2， 即(2＋Δx)＝2. 故f(x)在x＝1处的导数等于2，即f'(1)＝2. 解 15 (2)求f(x)在x＝a处的导数f'(a). 因为＝2a＋Δx， 所以当Δx→0时，2a＋Δx→2a， 即(2a＋Δx)＝2a， 故f(x)在x＝a处的导数等于2a，即f'(a)＝2a. 解 16 　求函数y＝x－在x＝1处的导数. 例 2 ∵Δy＝(1＋Δx)－＝Δx＋， ∴＝1＋， ∴＝2. 从而f'(1)＝2. 解 17 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的改变量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0). (2)求平均变化率. (3)求导数f'(x0)＝. 反 思 感 悟 18 (1)f(x)＝x2在x＝1处的导数为 A.2x B.2 C.2＋Δx D.1 跟踪训练 2 ＝(2＋Δx)＝2. 解析 √ 19 (2)已知f(x)＝，且f'(m)＝－，则m的值等于 A.－4 B.2 C.－2 D.±2 因为＝， 所以f'(m)＝＝－， 所以－＝－，m2＝4，解得m＝±2. 解析 √ 20 导函数 三 提示　这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f'(x0)＝ 可知 f'(x)＝，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数. 以上我们知道，求函数在某一点的导数，可以得到函数在该点附近的变化情况，能否通过求导研究函数的整体变化？ 问题2 若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作 . f'(x) 导函数的定义 知识梳理 (1)f'(x0)是具体的值，是数值. (2)f'(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数. 注 意 点 <<< 24 　求函数y＝(x>－1)的导函数. 例 3 令f(x)＝＝ ＝＝. ∴f'(x)＝. 解 25 对于无理式函数，运算时要注意通过分子有理化进行化简. 反 思 感 悟 26 　已知函数f(x)＝x2－x.求f'(x). 跟踪训练 3 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx， ∴＝2x＋Δx－， ∴f'(x)＝＝2x－. 解 27 1.知识清单： (1)导数的概念及几何意义. (2)求函数在某点处的导数. (3)导函数的概念. 2.方法归纳：定义法、转化法. 3.常见误区：利用定义求函数在某点处的导数时易忽视分子、分母的对应关系. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若＝x2，则f(x)的导函数f'(x)等于 A.2x B.x3 C.x2 D.3x2 √ 由导函数的定义可知，f'(x)＝＝x2. 解析 1 2 3 4 2.已知曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x－y＋2＝0，则f'(1)等于 A.4 B.－4 C.－2 D.2 √ 由导数的几何意义知f'(1)＝2. 解析 1 2 3 4 3.若函数f(x)可导，则等于 A.－2f'(1) B.f'(1) C.－f'(1) D.f' √ ＝－＝－f'(1). 解析 1 2 3 4 4.已知函数f(x)＝，则f'(1)＝　　　.  f'(1)＝＝. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B C C AD D BC 3 题号 8 11 12 13 14 15 答案 3 A D C 2 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx， ∴＝2Δx＋16. ∴f'(3)＝(2Δx＋16)＝16. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设当Q＝500时，产量的改变量为ΔQ， ＝ΔQ＋1 002， 则MC(500)＝(ΔQ＋1 002)＝1 002，即产量为500时的边际成本为1 002，其实际意义是：此时产量每增加1，成本要增加1 002. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x0，y0)， 则y0＝＋1， f'(x0)＝＝2x0， 所以点P处的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x＋1－， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以直线y＝2x0x＋1－与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 得2x2＋2x0x＋2－＝0， 则Δ＝4－8(2－)＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为. 基础巩固 1.设f'(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线 A.与y轴平行 B.与y轴垂直 C.与x轴垂直 D.与x轴平行 √ 因为f'(x0)＝0，所以曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，故切线与y轴垂直，也可以说与x轴平行或重合. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知某质点的运动方程为S＝2t2－t，则S'等于 A.3 B.5 C.7 D.9 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 S'＝＝(7＋2Δt)＝7. 解析 3.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f'(0)等于 A.－2 B.2 C.－1 D.1 √ ∵f(x)的图象过原点，∴f(0)＝0， ∴f'(0)＝＝－1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则的值 A.与x0有关 B.与h有关 C.与x0无关 D.与h无关 √ 由导数的定义可知，函数f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，与h无关. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 5.已知曲线f(x)＝x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为 A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2＋(x＋Δx)－x2－x＝x·Δx＋(Δx)2＋Δx， ∴＝x＋Δx＋1， ∴f'(x)＝＝x＋1. 设切点坐标为(x0，y0)，则f'(x0)＝x0＋1＝3， ∴x0＝2. 解析 6.(多选)下列各点中，在曲线y＝x3－2x上，且在该点处的切线倾斜角为的是 A.(0，0) B.(1，－1) C.(－1，1) D.(1，1) √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设切点坐标为(x0，y0)，则f'(x0)＝ ＝3－2＝tan＝1， 所以x0＝±1， 当x0＝1时，y0＝－1. 当x0＝－1时，y0＝1. 解析 7.已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则f'(2)＝　　　.  因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知f'(2)＝3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 8.设函数f(x)＝ax＋3，若f'(1)＝3，则a＝　　　.  因为f'(1)＝＝＝a， 所以a＝3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 9.求函数f(x)＝2x2＋4x在x＝3处的导数. Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3) ＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx， ∴＝2Δx＋16. ∴f'(3)＝(2Δx＋16)＝16. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在生产过程中，产品的总成本C一般来说是产量Q的函数，记作C＝f(Q)，称为总成本函数.为了方便起见，经济学家们总是假设Q能在某一区间内连续地取值，并将总成本函数在Q0处的导数f'(Q0)称为在Q0处的边际成本，用MC(Q0)表示，即MC(Q0)＝f'(Q0).已知某产品的总成本函数为C＝Q2＋2Q，求边际成本MC(500)，并说明它的实际意义. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设当Q＝500时，产量的改变量为ΔQ， ＝ΔQ＋1 002， 则MC(500)＝(ΔQ＋1 002)＝1 002，即产量为500时的边际成本为1 002，其实际意义是：此时产量每增加1，成本要增加1 002. 解 11.已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是 A.f'(a)<f'(b)<f'(c) B.f'(b)<f'(c)<f'(a) C.f'(a)<f'(c)<f'(b) D.f'(c)<f'(a)<f'(b) √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，分别作曲线在x＝a，x＝b，x＝c三处的切线l1，l2，l3，设切线的斜率分别为k1，k2，k3，易知k1<k2<k3，又f'(a)＝k1，f'(b)＝k2，f'(c)＝k3， 所以f'(a)<f'(b)<f'(c). 解析 12.设函数f(x)在x0附近有定义，且f(x0)－f(x0－Δx)＝a(Δx)3＋b(Δx)2＋cΔx，a，b，c为常数，则f'(x0)等于 A.0 B.a C.b D.c √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在f(x0)－f(x0－Δx)＝a(Δx)3＋b(Δx)2＋cΔx中用－Δx替换Δx，知f(x0)－f(x0＋Δx)＝－a(Δx)3＋b(Δx)2－cΔx. 所以f(x0＋Δx)－f(x0)＝a(Δx)3－b(Δx)2＋cΔx. 故f'(x0)＝＝ ＝[a(Δx)2－bΔx＋c]＝c. 解析 13.若曲线y＝f(x)＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是 A.(－∞，－1) B.(－1，1) C.(－∞，1) D.(1，＋∞) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为k＝f'(x0) ＝＝＝1－<1. 即k<1. 解析 14.若点P是抛物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，当点P到直线y＝x－2的距离最小时，点P为抛物线y＝x2的一条切线的切点，且该切线平行于直线y＝x－2， 设y＝f(x)＝x2， 由导数的几何意义知y'＝f'(x)＝＝2x＝1， 解得x＝，所以P， 故点P到直线y＝x－2的最小距离为d＝. 解析 15.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f'(x)，已知f'(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则的最小值为　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由导数的定义，得f'(0)＝＝ ＝[a(Δx)＋b]＝b>0. 又 ∴ac≥，∴c>0. ∴≥≥＝2. 当且仅当a＝c＝时等号成立. 解析 16.点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x0，y0)， 则y0＝＋1， f'(x0)＝＝2x0， 所以点P处的切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 即y＝2x0x＋1－， 而此直线与曲线y＝－2x2－1相切， 所以直线y＝2x0x＋1－与曲线y＝－2x2－1只有一个公共点， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由 得2x2＋2x0x＋2－＝0， 则Δ＝4－8(2－)＝0， 解得x0＝±，则y0＝， 所以点P的坐标为. 解 第5章　5.1.2　瞬时变化率——导数 <<< $