4.2.3 第1课时 等差数列的前n项和公式-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）
2025-12-15
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教辅
摘要：
该高中数学课件聚焦等差数列核心知识，涵盖通项公式、前n项和及性质应用，通过基础达标、能力提升等分层题目搭建学习支架，从公式直接计算到综合问题分析，帮助学生逐步构建知识脉络。
其亮点在于注重数学眼光（如递推关系抽象数列模型）、数学思维（逻辑推理与运算能力培养）和数学语言（规范解答步骤）。例如第4题推导数列类型培养抽象能力，第5题分析项的正负发展推理意识，助力学生提升思维，也为教师提供分层教学资源，方便教学实施。
内容正文：
课后达标检测
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1.已知等差数列的前5项和，且满足 ，则等差数列
的公差为( )
A. B. C.1 D.3
解析：选D.设等差数列的公差为,则 ,
，解得， .
√
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2.（2025·江苏期中）已知等差数列的前项和为,若 ,则
的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.7
解析：选B.在等差数列中，由 ,得
,解得 ,所以
.
√
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3.在等差数列中，已知，，则使得 的最小正
整数 为( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析：选B.由， ,
得，则，得 ，
所以数列 的通项公式为
，
由，得，即使得的最小正整数 为8.
√
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4.已知正项数列的前项和为，且满足，则 ( )
A.8 B.7 C.6 D.5
解析：选D.由 ，①
当时， ，②
可得，即 ，
即 ，
所以 ，
即或 .
当时，，解得 ，
√
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若，则，这与数列 各项均
为正数相矛盾，
所以，即数列 是首项为1，公差为1的等差数列.
所以 ，
所以 .
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5.已知数列是等差数列，若，，且数列
的前项和有最大值，那么当时， 的最大值为( )
A.10 B.11 C.20 D.21
√
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解析：选C.由等差数列的性质可知， ，
又因为，所以和 异号，
因为数列的前项和 有最大值，
所以数列 是递减的等差数列，
即 ,
所以， ，
所以， ，
所以当时， 的最大值为20．故选C．
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6.（多选）已知数列的前项和满足 ，
则下列说法正确的是( )
A.为等差数列 B.
C.中，，最大 D. 为递增数列
解析：选.对于A，B，因为，所以 ,所
以当 时，
，
√
√
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当时，不满足上式，所以 从而知
不是等差数列，故A选项错误，B选项正确；
对于C，因为，所以当 或
时，有最大值，即在中，, 最大，故C选
项正确；
对于D，由数列 的通项公式知此数列为递减数列，故D选项错误.故选
.
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7.已知等差数列的前项和为，若， ，则
____．
20
解析：设等差数列的公差为，由 ，得
，
即有，于是，解得 ，
所以 .
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8.数列的前项和记为，若，则
_ _____________.
解析：当 时，有
，
但当时， 不适合上式，
故
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9.设等差数列的前项和为，已知，则
____.
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解析：因为 ，
根据等差数列的性质，可得 ，
所以 .
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10.（13分）在等差数列中，设等差数列的公差为 .
（1）若，，求 ；（4分）
解：依题意， .
（2）若，，求 ；（4分）
解：依题意，，于是 ，
从而 .
（3）若，，求与 .（5分）
解：由，，可得解得
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11.已知等差数列的前项和为，对任意，均有 成立，
则 的取值范围是( )
A. B.
C. D.
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解析：选A.设等差数列的公差为 ，
由，又任意均有 成
立，所以
由 ，
而 ，
则 .故选A.
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12.（多选）已知数列的前项和 ，则下列说法正确的
是( )
A.
B.或时， 取得最大值
C.数列 为等差数列
D.使得成立的 的最大值为33
√
√
√
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解析：选.因为 ，
当时， ，
当 时，
，
也符合上式，所以，数列 为等差数列,A，C正
确;
由于，所以当或 时，
取得最大值，B正确;
，即, ，所以使
成立的 的最大值为32，D错误.
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13.若等差数列的前项和为，且，，则数列
的前10项的和为_______.
解析：设等差数列的首项为，公差为 ，
则解得
故 ，
所以 ，
所以数列的前10项的和为 .
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14.（13分）已知等差数列，为其前项和， ，
，其中 .
（1）求及（用 表示）；（5分）
解：设等差数列的公差为，， ,
所以，即 ，
所以， .
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（2）在，， ，中，有且只有的值最大，求实数 的取值范围.
（8分）
解：因为在，， ，中，有且只有 的值最大，
所以即解得 ，
即实数的取值范围为 .
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15.（15分）已知数列的前项和为，且 .
（1）求 的通项公式；（6分）
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解：因为 ，
所以 ，
所以 ；
当时， ，
当时，也满足 ，
所以， ．
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（2）设，求数列的前100项和，其中表示不小于 的
最小整数，如, .（9分）
解：，，，，，， ，
， ， ，
所以，， ，
， ．
所以数列 的前100项和
.
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