第4章 4.3.2 等比数列的通项公式（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦等比数列的通项公式，通过类比等差数列定义引导推导公式，搭建从概念到应用的学习支架，衔接公式应用、与函数关系及判定证明等内容。 其亮点在于以问题驱动概念形成，通过累乘法推导公式培养数学思维的推理能力，结合指数函数关系发展数学眼光的抽象能力，例题与证明题训练数学语言表达。教师可借助系统例题与分层训练提升教学效率，学生能在探究中深化逻辑推理与应用意识。

4.3.2 等比数列的通项公式 第4章　数列 <<< 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.能根据等比数列的定义判断一个数列是否为等比数列，并能进行简单的求值. 3.体会等比数列与指数函数的关系. 4.掌握等比数列的判断及证明方法. 学习目标 一、等比数列的通项公式及应用 二、等比数列的通项公式与函数的关系 课时对点练 三、等比数列的判定与证明 随堂演练 内容索引 等比数列的通项公式及应用 一 提示　设等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2). an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 即an＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立. 故等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(n∈N*). 类比等差数列，请根据等比数列的定义推导一下等比数列的通项公式. 问题1 等比数列的通项公式 一般地，对于等比数列{an}的第n项an，有an＝ (n∈N*).这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项，q为公比. a1qn－1 知识梳理 　(课本例4)在等比数列{an}中， (1)已知a1＝3，q＝－2，求a6； 例 1 由等比数列的通项公式，得a6＝3×(－2)6－1＝－96. 解 7 (2)已知a3＝20，a6＝160，求an. 设等比数列的公比为q，那么 解得 所以an＝a1qn－1＝5×2n－1. 解 8 　在等比数列{an}中： (1)a1＝1，a4＝8，求an； 例 1 因为a4＝a1q3， 所以8＝q3，所以q＝2， 所以an＝a1. 解 9 (2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1； 因为a1＝＝5，故a1＝5. 解 10 (3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n. 因为 由，得q＝，则a1＝32. 又an＝1， 所以32×＝1， 即26－n＝20，故n＝6. 解 11 等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解，需要特别注意的是，已知a1，an，n求解q时，需要开方，开方时注意公比q符号的选择. 反 思 感 悟 12 　在等比数列{an}中： (1)若它的前三项分别为5，－15，45，求a5； 跟踪训练 1 因为a1＝5，q＝＝－3， 所以a5＝a1q4＝405. 解 13 设数列{an}的公比为q(q≠0)， 因为a2＝2， 则{an}的前三项依次为，2，2q，则有＋2＋2q＝7， 整理得2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝. 所以 所以an＝2n－1或an＝23－n. 解 (2)若a1＋a2＋a3＝7，a2＝2，求an. 14 二 等比数列的通项公式与函数的关系 提示　由an＝a1qn－1＝·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx(x∈R)当x＝n时的函数值，即an＝f(n). 观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 问题2 等比数列的通项公式与指数型函数的关系 (1)当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)＝·qx (x∈R)当x＝n时的函数值，即 . (2)任意指数型函数f(x)＝kax(k，a是常数，k≠0，a>0且a≠1)， 则f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…构成一个等比数列{kan}，其首项为 ，公比为 . an＝f(n) ka a 知识梳理 　已知数列是等比数列，且公比大于0，则“q>1”是“数列是递增数列”的 A.充要条件 B.必要且不充分条件 C.充分且不必要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 例 2 当a1<0，q>1时，数列为递减数列，即充分性不成立； 当“数列是递增数列”时，可能是a1<0，0<q<1，即必要性不成立.即“q>1”是“数列是递增数列”的既不充分又不必要条件. 解析 18 判断等比数列{an}的单调性的方法 (1)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列{an}是递增数列. (2)当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列{an}是递减数列. (3)当q＝1时，{an}是常数列；当q<0时，数列{an}是摆动数列. 反 思 感 悟 19 　设是等比数列，则“a1<a2”是“数列是递增数列”的 A.充要条件 B.必要且不充分条件 C.充分且不必要条件 D.既不充分又不必要条件 跟踪训练 2 √ 20 设等比数列的公比为q，则a1<a2，可得a1(q－1)>0，解得 此时数列不一定是递增数列； 若数列为递增数列，则a1<a2成立. 所以“a1<a2”是“数列是递增数列”的必要且不充分条件. 解析 21 等比数列的判定与证明 三 　(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*). ①求a1，a2； 例 3 由S1＝(a1－1)，得a1＝(a1－1)， 解得a1＝－. 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)， 解得a2＝. 解 23 ②求证：数列{an}是等比数列. 当n≥2时， an＝Sn－(an－1)－－1)， 得＝－.又a1＝－， ∴{an}是首项为－，公比为－的等比数列. 证明 (2)已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式. 依题意得，an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n， 于是bn＝. 则＝2. ∴数列{bn}是首项为，公比为2的等比数列，通项公式为bn＝×2n－1＝2n－3. 解 判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足＝q(n∈N*，q为常数且不为零)或＝q(n∈N*且n≥2，q为常数且不为零)，则数列 {an}是等比数列，注意两个式子中n的范围有所区别. (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝kqn(a1≠0，q≠0)的形式，则数列{an}是等比数列. (3)等比中项法：若＝anan＋2(an≠0) 对任意n∈N*都成立，则数列{an}为等比数列. 反 思 感 悟 26 　(1)若a，b，c成等比数列，其中a，b，c均是不为1的正数，n是大于1的整数，那么logan，logbn，logcn A.是等比数列 B.是等差数列 C.每项取倒数成等差数列 D.每项取倒数成等比数列 跟踪训练 3 √ 27 因为a，b，c成等比数列，可知logna，lognb，lognc成等差数列，即成等差数列. 解析 28 (2)记数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn(n＝1，2，3，…).证明：数列是等比数列. 29 由a1＝1，Sn，得an>0，Sn>0. 由an＋1＝Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn， 得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)， 整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn， 所以＝2·， 因为＝1≠0，所以＝2. 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 证明 1.知识清单： (1)等比数列的通项公式及应用. (2)等比数列的通项公式与函数的关系. (3)等比数列的判定与证明. 2.方法归纳：公式法、构造法. 3.常用误区：利用定义式＝q判定或证明等比数列时往往忽视对起始项的验证. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若为等比数列，则“a1<a3<a5”是“数列是递增数列”的 A.充要条件 B.必要且不充分条件 C.充分且不必要条件 D.既不充分又不必要条件 若等比数列是递增数列，可得a1<a3<a5一定成立； 反之，例如数列是等比数列，此时满足a1<a3<a5，但数列不是递增数列， 所以“a1<a3<a5”是“数列是递增数列”的必要且不充分条件. 解析 √ 1 2 3 4 2.若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为 A.4 B.8 C.6 D.32 √ 由等比数列的通项公式得128＝4×2n－1，即2n－1＝32，所以n＝6. 解析 1 2 3 4 3.设x，x＋10，x－5是等比数列{an}的前三项，则an等于 A.－4× B.－4× C.－4× D.－4× 因为x，x＋10，x－5是等比数列{an}的前三项，所以(x＋10)2＝x(x－5)，解得x＝－4，则x＋10＝6，则公比为＝－，所以an＝－4×. 解析 √ 1 2 3 4 4.在数列中，a1＝2，2an＋1＝an，则a6＝　　　.  ∵2an＋1＝an，a1＝2，∴，∴是等比数列，公比为q＝. ∴a6＝a1q5＝2×. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D A A B B 题号 8 11 12 13 14 15 答案 2 C C D B 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵＝q4＝4， ∴q2＝2，又q>0，∴q＝， ∴an＝a3qn－3＝4×()n－3＝. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)∵a3＝a1×q2，即8＝2q2， ∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝a1＝2×＝2n， 当q＝－2时， an＝a1＝2(－2＝(－12n， ∴数列{an}的公比为2或－2， 对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知，得2a2＝a1＋a3， ① ＝a2a4， ② . ③ 由③得， ∴a4＝. ④ 由①得a2＝. ⑤ 将④⑤代入②，得·. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴a3＝， 即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3). 化简，得＝a1a5. 又a1，a3，a5均不为0， ∴a1，a3，a5成等比数列. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0<q<1. 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， 解得q＝或q＝(舍去)， 所以an＝8×＝24－n，n∈N*. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n， 由bn>bn＋1， 得(n＋2－λ)·24－n>(n＋3－λ)·23－n， 即λ<n＋1， 所以λ<(n＋1)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2). 基础巩固 1.已知等比数列{an}中，a1＝1，a4＝－8，则其公比为 A.2 B.－2 C.4 D.－4 √ 设等比数列{an}的公比为q， 则a4＝a1·q3＝1·q3＝－8，解得q＝－2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.数列1，－，，－，，…的一个通项公式为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意可知，该数列是一个以1为首项，－为公比的等比数列， 所以该数列的通项公式为1××. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知数列{an}为等比数列，a2＝3，a5＝，则a1等于 A.2 B. C. D. √ 设等比数列{an}的公比为q，由已知可得 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5>a2，则an等于 A.(－2)n－1 B.－(－2)n－1 C.(－2)n D.－(－2)n √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设公比为q，则a1q4＝－8a1q， 又a1≠0，q≠0， 所以q3＝－8，q＝－2， 又a5>a2， 所以a2<0，a5>0， 从而a1>0，即a1＝1， 故an＝(－2)n－1. 解析 5.已知等比数列的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列为递减数列”的 A.充要条件 B.必要且不充分条件 C.充分且不必要条件 D.既不充分又不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若q<0，则等比数列为递减数列，则q>0. 若a1>0，则an＝a1qn－1>0，又an＋1<an， 所以q<1； 所以a1>0，等比数列为递减数列⇔0<q<1， 所以若a1>0，“q<1”是“等比数列为递减数列”的必要且不充分条件. 解析 6.已知各项为正的数列满足a1＝1，an＋1＝2an.若am≤128，则正整数m的最大值是 A.7 B.8 C.9 D.10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a1＝1，an＋1＝2an＝2， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以an＝a1qn－1＝2n－1， 若am≤128，则2m－1≤128，解得m－1≤7， 所以m≤8， 则正整数m的最大值是8. 解析 7.数列中，a1＝，am＋n＝aman，则a6＝　　　.  由于∀m，n∈N*，有am＋n＝aman，且a1＝，令m＝1，则an＋1＝a1an＝an，即数列的等比数列， 所以an＝a1qn－1＝×， 故a6＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知{an}是首项为1，公比为q的等比数列，且4a1，2a2，a3成等差数列，则q＝　　　.  由条件可知4a2＝4a1＋a3， 即4a1q＝4a1＋a1q2， 即q2－4q＋4＝0，所以q＝2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 9.在等比数列{an}中： (1)已知a3＝4，a7＝16，且q>0，求an； ∵＝q4＝4， ∴q2＝2，又q>0，∴q＝， ∴an＝a3qn－3＝4×()n－3＝. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式. ∵a3＝a1×q2，即8＝2q2， ∴q2＝4，∴q＝±2. 当q＝2时，an＝a1＝2×＝2n， 当q＝－2时， an＝a1＝2(－2＝(－12n， ∴数列{an}的公比为2或－2， 对应的通项公式分别为an＝2n或an＝(－1)n－12n. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知，得2a2＝a1＋a3， ① ＝a2a4， ② . ③ 由③得， ∴a4＝. ④ 由①得a2＝. ⑤ 将④⑤代入②，得·. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴a3＝， 即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3). 化简，得＝a1a5. 又a1，a3，a5均不为0， ∴a1，a3，a5成等比数列. 证明 11.设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为2的等比数列，则a6等于 A.31.5 B.160 C.79.5 D.159.5 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵1＋2an＝(1＋2a1)·＝5·， ∴1＋2a6＝5×25， ∴a6＝＝79.5. 解析 12.已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若a1＋a2＋a12＝12，b1b3b11＝27，则等于 A. B. C.1 D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d， 由a1＋a2＋a12＝12，得a1＋a1＋d＋a1＋11d＝12， 即3a1＋12d＝12，即a1＋4d＝4，则a5＝4， 设等比数列{bn}的公比为q(q≠0)， 由b1b3b11＝27，得b1·b1q2·b1q10＝27， 即q12＝27，则b1q4＝3，即b5＝3， 所以＝1. 解析 13.将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a21等于 A.237 B.238 C.239 D.241 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列{2n}中的项为2，4，8，16，32，64，128，256，…， 观察得到{2n}中的奇数项都是数列{3n－1}中的项， 即2，8，32，128，…可以写成3n－1的形式，其为公比为4的等比数列， 故an＝2×4n－1＝22n－1，故a21＝241. 解析 14.一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之 和，则公比q＝　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得an＝an＋1＋an＋2， 所以1＝q＋q2，即q2＋q－1＝0， 解得q＝或q＝(舍去). 解析 15.已知等比数列{an}的首项a1>1，公比为q，记Tn＝a1a2…an(n∈N*)，则“0<q<1”是“数列{Tn}为递减数列”的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 拓广探究 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，Tn＝a1a2…an＝a1·(a1q)·…·(a1qn－1)＝·q1＋2＋…＋n－1＝·， 则＝a1·qn， 当a1>1，0<q<1时，a1·qn<1对于n∈N*不一定恒成立， 如取a1＝2，q＝，a1q＝>1，即得不到数列{Tn}为递减数列； 当数列{Tn}为递减数列时，q>0且a1qn<1对于n∈N*恒成立， 又因为a1>1，故得0<q<1. 故“0<q<1”是“数列{Tn}为递减数列”的必要且不充分条件. 解析 16.设数列{an}是公比小于1的正项等比数列，已知a1＝8，且a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的公比为q. 由题意，可得an＝8qn－1，且0<q<1. 由a1＋13，4a2，a3＋9成等差数列， 知8a2＝30＋a3，所以64q＝30＋8q2， 解得q＝或q＝(舍去)， 所以an＝8×＝24－n，n∈N*. 解 (2)若bn＝an(n＋2－λ)，且数列{bn}是递减数列，求实数λ的取值范围. bn＝an(n＋2－λ)＝(n＋2－λ)·24－n， 由bn>bn＋1， 得(n＋2－λ)·24－n>(n＋3－λ)·23－n， 即λ<n＋1， 所以λ<(n＋1)min＝2， 故实数λ的取值范围为(－∞，2). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第4章　数列 <<< $