4.3.3 第1课时 等比数列的前n项和公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦等比数列前n项和，通过“借钱还款”生活化情境导入，衔接等差数列求和方法，引导学生从特例观察到公式推导，构建“问题-探究-归纳”的学习支架。 其特色在于以数学眼光抽象现实问题，通过观察特例（如q=2时S_n=2^n-1）培养推理思维，结合“知三求二”计算、S_n表达式判断等比数列等例题，强化数学语言表达。学生能提升探究能力，教师可直接用于情境教学与分层训练。

第4章 数列 1 4.3 等比数列 4.3.3 等比数列的前 项和 2 甲到乙家借钱，原以为乙会不愿意，谁知乙竟一口答应，但提出如下 附加条件：在30天中，每天供给甲10万元，借钱第一天，甲还给乙1分钱， 第二天还2分钱，以后每天还的钱都是前一天的2倍，30天后互不相欠.甲听 后，觉得挺划算，本想定下来，但又想到乙以吝啬出名，怕上当受骗，所 以很为难.请同学们帮他拿拿主意. 返回导航 新课导入 3 1.了解等比数列前 项和公式的推导过程. 2.熟练掌握等比数列的五个量，，，， 的关系，能够由其中三个 求另外两个． 3.熟练应用等比数列前 项和公式的性质解题. 4.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 返回导航 学习目标 4 1 新知学习 探究 2 课堂巩固 自测 5 PART 01 新知学习 探究 6 一 等比数列的前 项和公式 同学们，对于等差数列，我们用倒序相加法求得了其前项和 , 那么对于等比数列,我们如何求其前项和 呢？ 思考 若,如何求 ? 提示 , , ,, ， . 返回导航 7 ［知识梳理］ 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公 式 公式一： ①_ _______, 公式二： ②_ ______ , 返回导航 8 ［即时练］ 1.已知等比数列的首项，公比,则 ( ) A.93 B. C.45 D. 解析：选A. . √ 返回导航 9 2.在等比数列中，是其前项和，若，，则 ( ) A.5 B.51 C.455 D. 解析：选B.根据题意，设等比数列的公比为，由， ， 则，解得 ， 则 或 .故选B. √ 返回导航 10 3.已知数列是各项为正的等比数列，， ，则其前10项和 ____． 10 解析：因为数列是各项为正的等比数列，则其公比 ，又 ，，则，即 ， 所以数列为常数列，即 ， 所以 . 返回导航 11 4.在等比数列中，若，,则 _______． 解析：由题意知在等比数列中，, ， 设公比为，则，即，故 ， 则，则 是首项为1，公比为2的等比数列， 故 . 返回导航 12 求等比数列的前项和时，需对公比与 两种情况进行讨论， 当时，应利用公式 求和. 返回导航 13 二 等比数列前 项和公式的有关计算 ［例1］ （对接教材例2）在等比数列 中． （1）若，，，求和 ； 【解】由,得，解得 ，又由 ,得，解得 . 所以， . 返回导航 14 （2）已知，，求 . 【解】显然，则， ， 两式相除得，解得，当时可解得 ， 则 ； 当时可解得，则 . 所以或 . 返回导航 15 等比数列前<m></m>项和运算的技巧 （1）在等比数列的通项公式和前<m></m>项和公式中，共涉及五个量：<m></m>， <m>，</m><m></m>，<m></m>，<m></m>，其中首项<m></m>和公比<m></m>为基本量，且“知三求二”，常常列方 程组来解答. （2）对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式 相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如<m></m>,<m></m>都可以看作一个整体. 返回导航 16 ［跟踪训练1］ （1）已知等比数列满足，，若 的 前项和，则 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 √ 返回导航 17 解析：选A.设等比数列的公比为 ， 因为， ， 所以，解得 ， 所以 . 因为，所以 ， 所以,解得 .故选A. 返回导航 （2）记为等比数列的前项和，若,，则 ____． 18 解析：设等比数列的公比为 ， 若，则由得,所以 ，不合题意； 故，则由得 ， 则，所以 ， 因为，所以 ， 所以 . 返回导航 19 三 利用 判断等比数列 角度1 利用 的表达式判断等比数列 ［例2］ 已知数列的前项和.求 的通项公式，并判断 是否为等比数列. 【解】 当时， . 当时， ，不符合上式. 所以 由于,,,显然,,不是等比数列，即 不是等比 数列. 返回导航 20 母题探究 已知等比数列的前项和，求与 的通项公式. 解：方法一:当时， ; 当时， . 此时 , 即当时， 是公比为3的等比数列. 由题意知，应满足,即 , 解得 . 综上，,的通项公式为 . 返回导航 21 方法二:当时，等比数列的前项和满足 ,其中 ,由可得,.当时， ， 所以 . 综上，,的通项公式为 . 返回导航 22 （1）已知,通过求通项公式 ,应特别注意当 时，,需验证 时是否满足此式. （2）若数列的前项和，其中,且 ， 则 是等比数列. 返回导航 23 ［跟踪训练2 ］ 已知等比数列的前项和为 ，则 ____． 解析：方法一:当 时， ， 显然不合题意，可得 ； 当时， . 若为等比数列，则，且，解得 . 返回导航 24 方法二:因为，结合等比数列的前 项和 的结构特征可得，解得 . 返回导航 25 角度2 利用与 的递推关系判断等比数列 ［例3］ 已知数列中，，是数列的前 项和，且对任意 ，有 为常数)． （1）当时，求, 的值； 【解】由题意可得， ， . 返回导航 26 （2）试判断数列 是否为等比数列？请说明理由． 【解】当时， . 由， 两式相减得 . 当时，数列 不是等比数列； 当时，可得 , 当时,, , 返回导航 27 所以,故对任意的都有，此时数列 是等比 数列. 综上，当时，数列不是等比数列；当时，数列 是等 比数列． 返回导航 28 给出等比数列前项和与第项之间的递推关系式，判断 是否 为等比数列的常见做法是：用代换 ，得到另一个等式，然后两式作 差，利用 ，可以得到一个关于项之间的递推关系，根据递 推关系就可以判断该数列是否为等比数列. 返回导航 29 ［跟踪训练3 ］ 已知数列的前项和为，， ． （1）证明： 为等比数列，并写出它的通项公式; 解：因为 ，① 当时，解得 ， 当时 ，② 得 ， 即，即 ， 所以，，所以 是以2为首项,2为公比的等比数列，所以 . 返回导航 30 （2）若正整数满足不等式，求 的最大值． 【解】由（1）可知 ， 因为，所以 ， 即，解得，所以 ， 因为，所以 的最大值为7. 返回导航 31 PART 02 课堂巩固 自测 32 1.已知数列是公比为正数的等比数列，是其前项和， ， ，则 ( ) A.63 B.31 C.15 D.7 解析：选D.设等比数列的公比为，由题意， ，即 ,解得，于是，故 .故 选D. √ 返回导航 33 2.（多选）已知等比数列的前项和为，若，则数列 的 公比可能是( ) A.1 B. C.3 D. 解析：选.设数列的公比为，若，则 ，满足题意； 若，由，得，解得 ， 综上，或．故选 . √ √ 返回导航 34 3.已知等比数列的前项和为，且，则 ____． 54 解析：当时， . 当时， ． 又因为是等比数列，所以公比， ， 所以，解得，所以，所以 ． 返回导航 35 4.已知等比数列的公比，记其前项和为，且,, 成 等差数列. （1）求 的通项公式； 解：因为,,成等差数列，所以 ， 得，即，解得 ， 所以 . （2）求的前项和 . 【解】由（1）知 ， 所以 ， 则 . 返回导航 36 1.已学习：等比数列前项和公式的推导及运算，等比数列前 项和公式的 结构特点. 2.须贯通:（1）公式的推导利用了错位相减法； （2）计算等比数列的基本量，通常将已知条件转化为首项和公比的方程 （组）求解，这里运用了方程的思想. 3.应注意：等比数列前项和公式分与 两种情况，因此当公比 未知时，要对公比进行分类讨论. 返回导航 37 $