第4章 4.1 第2课时 数列的递推公式（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦数列的递推公式，涵盖其含义、由递推公式求前几项与通项公式、数列的单调性与最值等核心内容。通过剧场座位数问题导入，衔接上节课通项公式知识，以问题链引导学生发现相邻项关系，构建学习支架。 其亮点在于以实际情境培养数学眼光，通过累加法、累乘法等推导通项训练数学思维，用函数观点分析单调性体现数学语言。课堂小结归纳方法与误区，学生能系统掌握知识，教师可提升教学效率，助力核心素养培养。

第2课时 第4章　§4.1　数列 <<< 数列的递推公式 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求数列的前几项. 2.进一步理解数列与函数的关系. 学习目标 同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时的问题1. 导 语 一、数列的递推公式 二、由递推公式求通项公式 课时对点练 三、数列的单调性与最值 随堂演练 内容索引 数列的递推公式 一 问题1 写出前五排座位数. 提示　20，22，24，26，28. 某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位. 问题2 第n排与第n＋1排座位数有何关系？ 提示　第n＋1排比第n排多2个座位. 问题3 第n排座位数an与第n＋1排座位数an＋1能用等式表示吗？ 提示　能.an＋1＝an＋2. 一般地，如果已知一个数列的第1项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用___________来表示，那么这个公式就叫作这个数列的___________. 一个公式 递推公式 知识梳理 通项公式反映的是an与n之间的关系；递推公式反映的是数列中任意两个或多个相邻项之间的推导关系，根据数列中的首项(或前几项)和递推公式，即可依次求出数列中的每一项. 注 意 点 <<< 10 　　 (课本例3)试分别根据下列条件，写出数列{an}的前5项： (1)a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*； 例 1 因为a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋1＋2an，其中n∈N*， 所以a3＝a2＋2a1＝2＋2×1＝4， a4＝a3＋2a2＝4＋2×2＝8， a5＝a4＋2a3＝8＋2×4＝16. 因此，数列{an}的前5项依次为1，2，4，8，16. 解 11 (2)a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*. 因为a1＝2，an＋1＝2－，其中n∈N*，所以 a2＝2－＝2－，a3＝2－＝2－， a4＝2－＝2－，a5＝2－＝2－. 因此，数列{an}的前5项依次为2，. 解 12 　　 若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a2 025. 例 1 因为a1＝2，an＋1＝，n∈N*， 所以a2＝＝－3，a3＝＝－， a4＝，a5＝＝2＝a1， … 所以{an}是周期为4的数列， 所以a2 025＝a4×506＋1＝a1＝2. 解 13 递推公式反映的是相邻两项(或多项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大且通项不易求时，则应考虑数列是否为周期数列. 反 思 感 悟 14 已知数列{an}的首项a1＝1，且满足an＋1＝an＋，则此数列 的第3项是 A.1 B. C. D. 跟踪训练 1 √ 因为a1＝1，an＋1＝an＋，则a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋. 解析 15 二 由递推公式求通项公式 (1)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋，则an等于 A. B. C. D. 例 2 √ 17 方法一　(迭代法)　a2＝a1＋1－， a3＝a2＋，…， an＝an－1＋(n≥2)， 则an＝a1＋1－＋…＋ ＝2－(n≥2). 又a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*). 方法二　(累加法)　an＋1－an＝， a1＝1， 解析 18 a2－a1＝1－， a3－a2＝， a4－a3＝， … an－an－1＝(n≥2)， 以上各项相加得an＝1＋1－＋…＋. 所以an＝(n≥2). 因为a1＝1也适合上式，所以an＝(n∈N*). 解析 19 (2)已知数列满足a1＝1，an＋1＝an( ) ，则an等于 A.n＋1 B.n C. D. √ 由题意，因为数列满足an＋1＝an ( ) ， 所以an＝··…···a1＝××…×××1＝(n≥2)，又a1＝1适合上式，所以an＝，n∈N*. 解析 20 迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的形式 (1)an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； (2)an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的，且不为0)，使用累乘法或迭代法. 反 思 感 悟 21 (1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，求an. 跟踪训练 2 因为an＝an－1＋(n≥2)， 所以an－an－1＝. 所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1 ＝()＋()＋…＋()＋1 ＝＋1. 又a1＝1也符合上式， 所以an＝＋1，n∈N*. 解 22 (2)已知数列{an}满足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an. 因为ln an－ln an－1＝1，所以ln＝1， 即＝e(n≥2). 所以an＝··…··a1＝·1 ＝en－1(n≥2)， 又a1＝1也符合上式， 所以an＝en－1，n∈N*. 解 23 数列的单调性与最值 三 问题4 在数列的通项公式中，给定任意的序号n，就会有唯一确定的an与其对应，这种情形与以往学的哪方面的知识有联系？ 提示　函数. 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为正整数的函数. 知识梳理 (1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数解析式. (2)数列还可以用列表法、图象法表示. 注 意 点 <<< 27 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋1)·，n∈N*.试问该数列有没 有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 例 3 28 方法一　an＋1－an＝(n＋2)－(n＋1)， 当n<9时，an＋1－an>0，即an＋1>an； 当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 当n>9时，an＋1－an<0，即an＋1<an. 则a1<a2<a3<…<a9＝a10 且a10>a11>a12>…， 故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9＝a10＝10×. 解 29 方法二　根据题意，令 即 解得9≤n≤10. 又n∈N*，则n＝9或n＝10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项， 且a9＝a10＝10×. 解 30 (1)研究数列单调性的方法 ①定义法：通过判断an＋1－an与0的大小关系来得出an＋1与an的大小关系，从而得到an的单调性. ②转化为函数的单调性：令an＝f(n)，通过研究函数f(x)的单调性来确定f(n)即an的单调性. 反 思 感 悟 31 (2)求数列最值的方法 ①数列的单调性法：通过研究通项公式an的单调性来研究最大(小)项. ②不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足 (n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组(n≥2)求得 n的取值范围，从而确定n的值. 反 思 感 悟 32 已知数列an＝n2－6n＋5，则该数列中最小项的序号是 A.3 B.4 C.5 D.6 跟踪训练 3 √ 因为an＝－4＝－4， 所以当n＝3时，an取得最小值. 解析 33 1.知识清单： (1)数列的递推公式. (2)由递推公式求数列的通项公式. (3)数列的单调性与最值. 2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法. 3.常见误区：累加法、累乘法中不注意检验首项是否符合通项公式. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 √ 因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8. 解析 1 2 3 4 2.在数列中，an＝，则 A.是常数列 B.不是单调数列 C.是递增数列 D.是递减数列 √ 在数列中，an＝＝1＋， 由反比例函数的性质得是递减数列. 解析 1 2 3 4 3.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2 025的值为 A.2 B.1 C. D. √ an·an＋2＝an＋1(n∈N*)， 由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1， 由a3＝2，a4＝1，得a5＝，由a4＝1，a5＝，得a6＝， 由a5＝，a6＝，得a7＝1，由a6＝，a7＝1，得a8＝2， 由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列， 所以a2 025＝a337×6＋3＝a3＝2. 解析 1 2 3 4 4.在数列{an}中，an＝n(n－8)－20，n∈N*，则该数列从第　　项开始递增，该数列的最小值为　　　.  因为an＋1－an＝2n－7，所以当an＋1－an>0时，n>，故数列{an}从第4项开始递增. an＝n(n－8)－20＝(n－4)2－36，根据二次函数的性质知，当n＝4时，an取得最小值－36， 即这个数列有最小值，最小值为－36. 解析 4 －36 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B D C D B C 题号 7 8 11 12 13 14 答案 12－14 A C C 8 题号 15 答案 28 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)设an＝kn＋b(k≠0)， 则有 ∴an＝4n－2，n∈N*. (2)a2 025＝4×2 025－2＝8 098. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝，a3＝，a4＝. (2)由an＋1＝， 即， ∴当n≥2时，，， … 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ， ∴(n－1)， ∴(n－1)＋. ∴an＝， 当n＝1时，a1＝1满足上式， ∴an＝(n∈N*). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1. 若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)， 若a2为偶数，则＝1，a2＝2. 若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)， 若a1为偶数，则＝2，a1＝4； 若a3为偶数，则＝4，a3＝8. 若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a2为偶数，则＝8，a2＝16. 若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5， 若a1为偶数，则＝16，a1＝32. 故m所有可能的取值为4，5，32. 基础巩固 1.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是 A.15 B.255 C.16 D.63 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63， a5＝255. 解析 2.数列，－，，－，…的第n项an与第n＋1项an＋1的关系是 A.an＋1＝2an B.an＋1＝－2an C.an＋1＝an D.an＋1＝－an √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.在数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n∈N*)，则a2 025等于 A. B.－1 C.2 D.3 √ 当n＝1时，a2＝1－＝－1， 当n＝2时，a3＝1－＝2， 当n＝3时，a4＝1－＝a1，所以数列{an}是一个周期为3的周期数列， 故a2 025＝a675×3＝a3＝2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于 A.n2＋1 B.n＋1 C.1－n D.3－n √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an＋1－an＝－1. ∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋ ＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n. 当n＝1时，a1＝2也符合上式. 故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是 A.an＋1＝an＋n，n∈N* B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2 C.an＋1＝an＋，n∈N*，n≥2 D.an＝an－1＋，n∈N*，n≥2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 结合图形易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4， ∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2. 解析 6.已知数列{an}的通项公式是an＝，则{an} A.不是单调数列 B.是递减数列 C.是递增数列 D.是常数列 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an＋1－an ＝>0， 所以{an}是递增数列. 解析 7.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a1a2…a8＝82， ① a1a2…a9＝92， ② ②÷①得，a9＝. 解析 8.若数列{an}的通项公式为an＝n－7(n∈N*)，则该数列中的最小项的值为　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12－14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令＝t(t>0)， 则y＝t2－7t＝，对称轴为直线t＝， 由复合函数的单调性可知，an在 上单调递增， 又n∈N*，当n＝12时，a12＝12－14； 当n＝13时，a13＝13－7， 因为12－14<13－7，所以最小项的值为12－14. 解析 9.在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，且数列{an}的通项公式是关于n的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式； 设an＝kn＋b(k≠0)， 则有 ∴an＝4n－2，n∈N*. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求a2 025. a2 025＝4×2 025－2＝8 098. 解 10.在数列中，a1＝1，an＋1＝(n∈N*). (1)求a2，a3，a4； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a1＝1，an＋1＝， ∴a2＝， a3＝， a4＝. 解 (2)求数列{an}的通项公式. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an＋1＝， 即， ∴当n≥2时，， ， … ， ∴(n－1)， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴(n－1)＋. ∴an＝， 当n＝1时，a1＝1满足上式， ∴an＝(n∈N*). 解 11.在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋lg，则a10等于 A.4 B.3＋10lg 3 C.13 D.12＋2lg 3 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，在数列{an}中， a1＝3，an＋1＝an＋lg， 即an＋1－an＝lg＝lg(n＋1)－lg n， 所以a10＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a10－a9) ＝3＋lg 2－lg 1＋lg 3－lg 2＋…＋lg 10－lg 9 ＝3－lg 1＋lg 10＝3＋1＝4. 解析 12.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 026等于 A.a2 025 B.a2 026 C.a2 027 D.a2 028 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于an＋2＝an＋1＋an(n∈N*)， 则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 026＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2 026＝a3＋a4＋a6＋…＋a2 026＝a5＋a6＋…＋a2 026＝a2 025＋a2 026＝a2 027. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知数列{an}满足an＝n∈N*，若对于任意n∈N*都有an>an＋1，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由对于任意n∈N*都有an>an＋1知，数列{an}为递减数列， 所以只需满足<a<1. 解析 14.某个软件公司对软件进行升级，将序列A＝(a1，a2，a3，…)升级为新序列A*＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，A*中的第n项为an＋1－an，若(A*)*的所有项都是3，且a4＝11，a5＝18，则a1＝　　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 由题意得，A＝(a1，a2，a3，a4，a5，…)，A*＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，a5－a4，…)， (A*)*＝(a3－2a2＋a1，a4－2a3＋a2，a5－2a4＋a3，…)， ∵(A*)*的所有项都是3， ∴a3－2a2＋a1＝3，a4－2a3＋a2＝3，a5－2a4＋a3＝3， 由a5－2a4＋a3＝3得18－22＋a3＝3，解得a3＝7， 由a4－2a3＋a2＝3得11－14＋a2＝3，解得a2＝6， 由a3－2a2＋a1＝3得7－12＋a1＝3，解得a1＝8. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.在一个数列中，如果对任意n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫作等积数列，k叫作这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝　　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 依题意得数列{an}是周期为3的数列， 且a1＝1，a2＝2，a3＝4， 因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28. 解析 16.已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝若 a4＝4，求m所有可能的取值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a3为奇数，则3a3＋1＝4，a3＝1. 若a2为奇数，则3a2＋1＝1，a2＝0(舍去)， 若a2为偶数，则＝1，a2＝2. 若a1为奇数，则3a1＋1＝2，a1＝(舍去)， 若a1为偶数，则＝2，a1＝4； 若a3为偶数，则＝4，a3＝8. 若a2为奇数，则3a2＋1＝8，a2＝(舍去)， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a2为偶数，则＝8，a2＝16. 若a1为奇数，则3a1＋1＝16，a1＝5， 若a1为偶数，则＝16，a1＝32. 故m所有可能的取值为4，5，32. 解 第4章　§4.1　数列 <<< $