第3章 习题课 直线与椭圆的位置关系（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线与椭圆的位置关系，核心内容包括弦长公式及中点弦问题。课堂导入通过回顾直线与圆的弦长求法，引导学生类比探究椭圆弦长，搭建知识联系的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动教学，结合例题展示弦长公式的三种解法及点差法应用，培养数学思维与运算能力。通过跟踪训练和随堂演练强化模型观念，小结清晰知识清单与方法，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

习题课 第3章　圆锥曲线与方程 <<< 直线与椭圆的位置关系 1.会用弦长公式求弦长. 2.能运用点差法解决中点弦问题. 学习目标 前面我们学习了当直线被圆所截时，求弦长有两种方法，那么当直线被椭圆所截时，又如何求弦长呢？ 导 语 一、弦长公式 二、弦长公式的应用 课时对点练 三、中点弦 随堂演练 内容索引 弦长公式 一 试说出直线与圆相交时求弦长的两种方法. 问题1 提示　(1)利用半径r、弦心距d和弦长的一半构成直角三角形，结合勾股定理进行求解. (2)斜率为k的直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则AB＝|x1－x2|(弦长公式). 直线与椭圆相交时，如何求弦长呢？ 问题2 提示　(1)可求出交点，利用两点间距离公式求解. (2)可利用弦长公式求解. 弦长公式 设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有AB＝ ＝|x1－x2| ＝， 或AB＝＝|y1－y2| ＝(k为直线斜率且k≠0). 知识梳理 (1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. (2)不确定直线有没有斜率时，要分类讨论. 注 意 点 <<< 9 　　 已知斜率为2的直线经过椭圆＝1的右焦点F1，与椭圆相交 于A，B两点，求弦AB的长. 例 1 10 因为直线l过椭圆＝1的右焦点F1(1，0)，又直线的斜率为2， 所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. 方法一　解方程组 得交点A(0，－2)，B， 所以AB＝＝ ＝. 解 11 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组 消去y得3x2－5x＝0， 因为Δ＝(－5)2＝25>0，则x1＋x2＝，x1·x2＝0. 所以AB＝ ＝＝ ＝. 解 12 方法三　由方程组消去x得3y2＋2y－8＝0， 因为Δ＝22－4×3×(－8)＝100>0， 则y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以AB＝＝ ＝ ＝. 解 13 求解弦长时，如果交点坐标易求，可以先求出交点坐标，利用两点间的距离公式进行求解；如果交点坐标不易求解，则可以利用弦长公式求解. 反 思 感 悟 14 椭圆C：＝1(a>b>0)的左顶点到右焦点的距离为 ，椭圆上的点到右焦点的距离的最小值为. (1)求椭圆C的方程； 跟踪训练 1 设椭圆＝1(a>b>0)的半焦距为c， 由题意可得 所以b2＝a2－c2＝1. 则椭圆C的方程为＋y2＝1. 解 15 (2)设斜率为1的直线l经过椭圆的上顶点，并与椭圆交于A，B两点，求AB. 如图，椭圆C的上顶点A(0，1)， 则直线l的方程为y＝x＋1. 联立得2x2＋3x＝0. 解得xA＝0，xB＝－. 所以AB＝|xA－xB|＝. 解 16 二 弦长公式的应用 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m，若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程. 例 2 18 把直线方程y＝x＋m代入椭圆方程4x2＋y2＝1， 得4x2＋(x＋m)2＝1， 即5x2＋2mx＋m2－1＝0. (*) 则Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m2＋20>0， 解得－<m<. 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2. 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 解 19 根据弦长公式， 得·， 解得m＝0，符合－<m<， 因此，所求直线的方程为y＝x. 解 20 (1)直线与椭圆相交，当已知弦长或已知弦长之间的关系，求直线的方程时，可通过弦长公式建立关于参数的方程或不等式. (2)在用根与系数的关系时要在判别式大于零的条件下进行. 反 思 感 悟 21 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，焦距为2. (1)求椭圆的标准方程； 跟踪训练 2 由题意，设所求椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)， ∵焦距为2c＝2，∴c＝1， 又离心率e＝， ∴a＝， 由b2＝a2－c2⇒b2＝4， 得椭圆的标准方程为＝1. 解 22 (2)过椭圆的左焦点F1，且斜率为1的直线m交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积. 23 由(1)知，左焦点为F1(－1，0)，则直线m的方程为y＝x＋1， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则⇒9x2＋10x－15＝0，易知Δ>0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－， 由弦长公式得AB＝·， 又O到直线AB的距离d＝， ∴S△OAB＝AB·d＝××. 解 24 中点弦 三 “点差法”的基本步骤 已知椭圆＝1(a>b>0)，假设弦AB的中点坐标为(x0，y0)，两端点坐 标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0， 由 两式作差得＝0， 若直线AB的斜率存在且y0≠0，则kAB＝－. 26 (1)涉及弦的中点及斜率，即中点弦问题时运用点差法求解. (2)中点弦问题也可以采用根与系数的关系解决. 注 意 点 <<< 27 过椭圆＝1内一点M(2，1)引一条弦，使弦被点M平分. (1)求此弦所在的直线方程； 例 3 28 方法一　由题意知，直线的斜率存在. 设所求直线方程为y－1＝k(x－2)，代入椭圆方程并整理，得 (4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0，Δ>0. 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是方程的两个根，则x1＋x2＝. 又M为AB的中点，∴＝2， 解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 解 29 方法二　设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2). 又M(2，1)为AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上，则＋4＝16，＋4＝16. 两式相减得()＋4()＝0. 则(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝－＝－，即kAB＝－. 又直线AB过点M(2，1)， 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 解 30 方法三　设直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于AB的中点为M(2，1)，则另一个交点为B(4－x，2－y). ∵A，B两点都在椭圆上， ∴ ①－②，化简得x＋2y－4＝0. 显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 解 31 (2)求此弦长. 设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2－4x＝0， ∴x1＋x2＝4，x1x2＝0， ∴AB＝ ＝×＝2. 解 32 本例中把条件改为“点M(2，1)是直线x＋2y－4＝0被焦点在x轴上的椭圆所截得的线段的中点”，求该椭圆的离心率. 延伸探究1 33 设椭圆方程为＝1(a>b>0)， 直线与椭圆的两交点为(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 由＝1和＝1， 得＝－， k＝. 又x＋2y－4＝0的斜率为－，∴. ∴椭圆的离心率为e＝. 解 34 把本例条件“使弦被点M平分”去掉，其他条件不变，求弦的中点P的轨迹方程. 延伸探究2 35 设弦的中点为P(x，y)，两端点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， 则∴＝－， 当直线l的斜率存在时，则kl＝＝－. 又kl＝kPM＝，∴－. 整理得x2＋4y2－2x－4y＝0. 当直线l的斜率不存在时点P为(2，0)，满足上述方程， 故轨迹方程为x2＋4y2－2x－4y＝0(椭圆内的部分). 解 36 涉及弦的中点问题可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，若弦所在直线的斜率存在，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系. 反 思 感 悟 37 1.知识清单： (1)弦长公式. (2)中点弦. 2.方法归纳：分类讨论法、点差法. 3.常见误区：忽略直线中斜率不存在的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.过椭圆＋y2＝1的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于A，B 两点，则AB等于 A.4 B.2 C.1 D.4 √ 因为＋y2＝1中a2＝4，b2＝1，所以c2＝3， 所以右焦点坐标为(，0)， 将x＝＋y2＝1得，y＝±， 故AB＝1. 解析 1 2 3 4 2.直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 由 消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0， ∴弦的中点的横坐标是x＝×， 代入直线方程y＝x－1中，得y＝－， ∴弦的中点坐标是. 解析 1 2 3 4 3.过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为的弦AB，则弦AB的长为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 椭圆方程为＝1，易求直线AB的方程为y＝(x＋). 由消去y并整理，得7x2＋12x＋8＝0. Δ＝(12)2－4×7×8＝64>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 由弦长公式，得AB＝·|x1－x2|＝2×. 解析 1 2 3 4 4.已知椭圆＝1，一组斜率为的平行直线与椭圆相交，则这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为　　 　.  y＝－x 1 2 3 4 设斜率为的直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，且中点为M(x，y)， 可得x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.由 ＝0， 整理得＝－＝－，可得y＝－x， 故所求直线方程为y＝－x. 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C A B BD A 题号 7 8 11 12 13 答案 C A x－y＋1＝0或x＋y－1＝0 题号 14 15 答案 x＋4y＝0 x＋y－2＝0 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)将(0，4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4. 由e＝， 即1－，∴a＝5， ∴椭圆C的方程为＝1. (2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3). 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将直线AB的方程y＝(x－3)代入C的方程， 得＝1，即x2－3x－8＝0， 则x1＋x2＝3， ∴×＝－， 即中点的坐标为. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意知e＝，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝ ＝1. (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知AB＋CD＝7，不满足条件. ②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线CD的方程为y＝－(x－1). 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则x1＋x2＝，x1·x2＝， 所以AB＝|x1－x2| ＝·. 同理，CD＝， AB＋CD＝，解得k＝±1， 所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)依题意2b＝2，b＝. 由＝1，得y＝±， 所以＝3， 所以a＝＝2， 所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)由(1)得c＝＝1，B1(0，)，F2(1，0)， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝－， 因为MN⊥B1F2， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y＝(x－1)， 由消去y并化简得 13x2－8x－32＝0，Δ＝64＋4×13×32＝1 728>0， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以MN＝× ＝×， 又F1(－1，0)到直线y＝(x－1)， 即x－y－1＝0的距离d＝＝1， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以△F1MN的面积为·d·MN＝， 设△F1MN的内切圆半径为r， 则·4a·r＝4r＝，r＝， 所以内切圆的面积为πr2＝. 基础巩固 1.直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长AB等于 A. B. C.2 D.3 √ 由得交点为(0，1)，， 则AB＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知经过椭圆C：＝1的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于 M，N两点，则△OMN的面积为 A.2 B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得c＝＝2，不妨设右焦点F(2，0)， 将x＝2代入＝1，解得y＝±， 不妨令M，N，则MN＝， ∴△OMN的面积为S＝OF·MN＝×2×. 解析 3.直线x＋4y＋m＝0交椭圆＋y2＝1于A，B两点，若线段AB中点的横坐 标为1，则m的值是 A.－2 B.－1 C.1 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵x＋4y＋m＝0， ∴y＝－x－， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则两式相减，得＝－＝－. ∵AB中点的横坐标为1，∴纵坐标为， 将代入直线y＝－x－，解得m＝－2. 解析 4.若AB是过椭圆＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点， 且AM，BM与两坐标轴均不平行，kAM，kBM分别表示直线AM，BM的斜率，则kAM·kBM等于 A.－ B.－ C.－ D.－ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设A(x1，y1)，M(x0，y0)， 则B(－x1，－y1)， kAM·kBM＝·＝ ＝＝－. 方法二　(特殊值法).因为四个选项为定值， 取A(a，0)，B(－a，0)，M(0，b)， 可得kAM·kBM＝－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)设椭圆的方程为＝1，斜率为k的直线l不经过原点O，且与 椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，则下列结论正确的是 A.kAB·kOM＝－1 B.若点M的坐标为(1，1)，则直线l的方程为2x＋y－3＝0 C.若直线l的方程为y＝x＋1，则点M的坐标为 D.若直线l的方程为y＝x＋2，则AB＝ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 则＝0，即·＝－2， 即kAB·kOM＝－2.对于A，kAB·kOM＝－2≠－1，所以A不正确； 对于B，由kAB·kOM＝－2，M(1，1)，得kAB＝－2，所以直线l的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，直线l的方程为y＝x＋1，M， 则kAB·kOM＝1×4＝4≠－2，所以C不正确； 对于D，由得3x2＋4x＝0，解得x＝0或－， 所以AB＝·，所以D正确. 解析 6.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，若过原点与线段MN中 点的直线的斜率为，则的值是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知m，n>0，且m≠n，由消去y， 得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点坐标为(x0，y0)， 则x1＋x2＝，∴x0＝，代入y＝1－x得y0＝. 由题意知，∴. 解析 7.过点P(0，1)作斜率为－1的直线l与椭圆＝1相交于A，B两点，则线段AB的中点坐标为　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意知直线l的方程为y＝－x＋1， 与＝1联立，可得7x2－8x－20＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以线段AB的中点的横坐标为， 线段AB的中点的纵坐标为－＋1＝， 故线段AB的中点坐标为. 解析 8.直线y＝x＋2交椭圆＝1于A，B两点，若AB＝3，则m的值为　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 显然m>0， 由得(4＋m)x2＋4mx＝0，Δ>0， 即x[(4＋m)x＋4m]＝0， 不妨设xA＝0，xB＝， 则AB＝|xB－xA|＝|xB|＝＝3， 因为m>0，所以＝3，故m＝12. 解析 9.设椭圆C：＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为. (1)求椭圆C的方程； 将(0，4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4. 由e＝， 即1－，∴a＝5， ∴椭圆C的方程为＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标. 过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3). 设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 将直线AB的方程y＝(x－3)代入C的方程， 得＝1，即x2－3x－8＝0，则x1＋x2＝3， ∴×＝－， 即中点的坐标为. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在平面直角坐标系xOy中，椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，过椭 圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，AB＝4. (1)求椭圆的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知e＝，2a＝4.又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝＝1. 解 (2)若AB＋CD＝，求直线AB的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知AB＋CD＝7，不满足条件. ②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线CD的方程为y＝－(x－1). 将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则x1＋x2＝，x1·x2＝， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以AB＝|x1－x2| ＝·. 同理，CD＝， AB＋CD＝，解得k＝±1， 所以直线AB的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 解 11.已知P(1，1)为椭圆＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为 A.x－2y－3＝0 B.x＋2y＋3＝0 C.x＋2y－3＝0 D.x＋2y＝0 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易知此弦所在直线的斜率存在，设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝1， ① ＝1， ② ①－②得＝0. ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴＋y1－y2＝0. 又x2－x1≠0，∴k＝＝－. 经检验，k＝－满足题意. ∴此弦所在的直线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 解析 12.已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交 椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程可得 两式作差可得＝0， 又AB的中点坐标为(1，－1)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2， 则，又kAB＝，即a2＝2b2， 又a2－b2＝c2＝9，所以a2＝18，b2＝9， 所以椭圆E的方程为＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知椭圆两顶点A(－1，0)，B(1，0)，过焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C， D两点，当CD＝时，直线l的方程为　　　　 　　　　.  x－y＋1＝0或x＋y－1＝0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得b＝1，c＝1. ∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2. ∴椭圆方程为＋x2＝1. 当直线l的斜率不存在时，CD＝2，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1， 联立得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0. Δ＝8(k2＋1)>0恒成立. 设C(x1，y1)，D(x2，y2). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴x1＋x2＝－，x1x2＝－. ∴CD＝|x1－x2| ＝ ＝. 即，解得k2＝2， ∴k＝±. ∴直线l的方程为x－y＋1＝0或x＋y－1＝0. 解析 14.已知椭圆＋y2＝1，则斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程为_______ ________________.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝0 x＋4y 设斜率为2的直线与椭圆＋y2＝1交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 弦AB的中点坐标为(x，y)，由点差法可知， kAB＝2＝＝－×＝－×， 即x＋4y＝0. 又椭圆的弦的中点只能在椭圆内， ∴<1，解得－<x<. ∴所求的轨迹方程为x＋4y＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(2022·新高考全国Ⅱ)已知直线l与椭圆＝1在第一象限交于A，B 两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且MA＝NB，MN＝2，则l的方程为　　　　　 　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 x＋y－2＝0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　设直线l的方程为＝1(m>0，n>0)， 分别令y＝0，x＝0，得点M(m，0)，N(0，n). 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 由题意知线段AB与线段MN有相同的中点， 所以 因为kAB＝kMN， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以＝－. 将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，得 ＝0， 由题意知x1＋x2≠0，x1≠x2， 所以·＝－， 即·＝－， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 整理得m2＝2n2. ① 又MN＝2， 所以由勾股定理，得m2＋n2＝12， ② 由①②并结合m>0，n>0， 得 所以直线l的方程为＝1， 即x＋y－2＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　设直线l的方程为＝1(m>0，n>0)， 分别令y＝0，x＝0，得点M(m，0)，N(0，n). 由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，设为Q，则Q， 则kAB＝＝－，kOQ＝(O为坐标原点). 由椭圆中点弦的性质知， kAB·kOQ＝－＝－， 即·＝－，以下同方法一. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶 点分别为B1，B2，短轴长为2，过点F1且垂直于长轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3. (1)求椭圆C的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意2b＝2，b＝. 由＝1，得y＝±， 所以＝3， 所以a＝＝2， 所以椭圆C的标准方程为＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)过点F2的直线l与C交于不同的两点M，N，若MN⊥B1F2，试求△F1MN内切圆的面积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得c＝＝1，B1(0，)，F2(1，0)，＝－， 因为MN⊥B1F2， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y＝(x－1)， 由消去y并化简得 13x2－8x－32＝0，Δ＝64＋4×13×32＝1 728>0， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝－， 所以MN＝× ＝×， 又F1(－1，0)到直线y＝(x－1)， 即x－y－1＝0的距离d＝＝1， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以△F1MN的面积为·d·MN＝， 设△F1MN的内切圆半径为r， 则·4a·r＝4r＝，r＝， 所以内切圆的面积为πr2＝. 解 第3章　圆锥曲线与方程 <<< $