3.2.2 双曲线的几何性质课件- 2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的几何性质及标准方程求解，通过“已知方程求性质”“已知性质求方程”等例题导入，归纳“化标准、定位置、求参数、写性质”步骤，构建从具体到抽象的学习支架，衔接新知与应用。 其特色在于以归纳总结培养数学思维（推理能力），结合几何图形（如△BA₁A₂等边三角形求离心率）发展数学眼光（几何直观），用符号精确表达（如设共渐近线双曲线方程为λ形式）强化数学语言。例题-归纳-检测模式助力学生提升逻辑推理与应用能力，教师可高效实施教学。

3.2.2 双曲线的几何性质 作者编号:32200 1.理解并掌握双曲线的几何性质. 2.能利用双曲线的简单性质求标准方程、离心率. 学习目标 作者编号:32200 回顾:研究椭圆的几何性质时,涉及到哪些方面? 范围,对称性,顶点,离心率等 回想:我们是怎样研究上述性质的?双曲线是否具有类似的性质呢? 新课导入 作者编号:32200 1.范围: 2.顶点: 双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点. 线段A1A2叫实轴,长为2a,a叫实半轴长. 线段B1B2叫虚轴,长为2b,b叫虚半轴长. 思考:a,b,c的几何意义? 实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. 注意点 方程为x2-y2=m(m≠0) 新知学习 作者编号:32200 x y o a b 4.渐近线: 关于x轴、y轴、原点对称. 3.对称性: ①有助于画双曲线; ②与双曲线无限接近,但永不相交. ③求法(适用于任意双曲线): 作者编号:32200 5.离心率 (c>a>0) e >1 e越大,双曲线开口越大. (1)定义: (2)范围: (3)变形: (4)e的含义: 椭圆:e越大,椭圆越扁 作者编号:32200 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 方程 范围 顶点 离心率 渐近线 A1(0,-a),A2(0,a) A1(- a,0), A2(a,0) 归纳总结 作者编号:32200 问题1:椭圆的离心率反映了椭圆的扁圆程度.那么,双曲线的离心率与开口大小有关系吗?怎样反映这种关系? 因为 <m></m> ,所以 <m></m> 越大, <m></m> 也越大, 即渐近线 <m></m> 的斜率的绝对值越大,这时双曲线的开口就越大, 因此离心率 <m></m> 可以用来表示双曲线开口的大小. 新知学习 作者编号:32200 问题2:渐近线相同的双曲线是同一条双曲线吗? 渐近线相同的双曲线有无数条,不一定是同一条双曲线,但它们实轴长与虚轴长的比值相同. 问题3:实轴长与虚轴长相等的双曲线的离心率和渐近线分别是什么? 离心率为e=,渐近线方程为y= x. 新知学习 作者编号:32200 例1 求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程、离心率. 新知学习 作者编号:32200 归纳总结 由双曲线的标准方程求几何性质的一般步骤 作者编号:32200 例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为. (2)与双曲线有共同的渐近线,且经过点M(3,-2). 解:(1)由题意设所求双曲线的标准方程为1(), 且2b=8,e=, 从而b=4,c=a,又c2=a2+b2,得a2=9, 故所求双曲线的标准方程为1. 新知学习 作者编号:32200 (2)由题意设所求双曲线的标准方程为 ( ≠0), ∵点M(3,-2)在双曲线上,∴ ,即 =-2, ∴双曲线的标准方程为1. (2)与双曲线有共同的渐近线,且经过点M(3,-2). 新知学习 作者编号:32200 归纳总结 (1)根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程,一般用待定系数法转化为解方程(组),但要注意焦点的位置,从而正确选择方程的形式. (2)与双曲线1具有相同渐近线的双曲线方程可设为 ( ≠0). 由双曲线的性质求双曲线的标准方程 作者编号:32200 例3 已知双曲线C的顶点为A1,A2,虚轴的一个端点为B,且 BA1A2是一个等边三角形,求双曲线C的离心率. 解:设O为坐标原点,则A1A2的中点为O,且|OA1|=a,|BO|=b. 由 BA1A2是等边三角形可知|BO|=|OA1|,因此 ∴c=2a,从而e= 又∵c2=a2+b2=a2+(a)2=4a2, 新知学习 作者编号:32200 1.双曲线=1的左焦点与右顶点之间的距离等于( ) A.6 B.8 C.9 D.10 2.实轴长为2,虚轴长为4的双曲线的标准方程是( ) A.x2-=1 B.y2-=1 C.=1或=1 D.x2-=1或y2-=1 B D 当堂检测 作者编号:32200 3.已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率是,则a=( ) A. B.4 C.2 D. 4.已知双曲线C:=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C 的方程为( ) A.=1 B.=1 C.=1 D.=1 D A 当堂检测 作者编号:32200 回顾本节课,回答下列问题: (1)双曲线的几何性质; (2)常见的双曲线的求法有哪些? 课堂小结 作者编号:32200 EVCapture4.2.2软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制,www.ieway.cn 解:将方程x2-3y2+12=0化为标准方程-=1, ∴a2=4,b2=12,∴a=2,b=2,∴c===4. ∴双曲线的实轴长2a=4,虚轴长2b=4, 焦点坐标为F1(0,-4),F2(0,4),顶点坐标为A1(0,-2),A2(0,2), 渐近线方程为y= x,离心率e=2. $