第3章 3.1.2 椭圆的几何性质（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件聚焦椭圆的几何性质，涵盖范围、对称性、顶点、离心率等核心内容。以维也纳金色大厅椭圆顶棚的声学现象导入，通过观察椭圆标准方程图形，引导学生从范围、对称性、特殊点逐步探究，搭建从椭圆方程到几何性质的认知支架。 其亮点在于以问题驱动探究，结合几何直观与推理能力，如通过“0圆1扁”类比助记离心率影响椭圆扁圆程度，例题与跟踪训练注重分类讨论（如焦点位置不确定时的方程求解）。学生能深化对性质与方程联系的理解，提升数学思维，教师可借助系统知识梳理与分层练习提高教学效率。

3.1.2 椭圆的几何性质 第3章　圆锥曲线与方程 <<< 1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义. 2.能利用椭圆的简单性质求椭圆的方程. 3.会求椭圆的离心率. 学习目标 奥地利维也纳金色大厅的顶棚设计为椭圆面，舞台在这个椭圆面的一个焦点处.当乐队在舞台上演奏时，椭圆面顶棚会把声音反射到椭圆面的另一个焦点处汇聚，因此在这个焦点处的听众就感到还有另外一个乐队存在(其实什么都没有).所以能产生很好的听觉效果.其实这就是利用了本节课要学习的椭圆的几何性质，那么椭圆还有什么其他的几何性质呢？ 导 语 一、椭圆的几何性质 二、利用几何性质求椭圆的标准方程 课时对点练 三、求椭圆的离心率 随堂演练 内容索引 椭圆的几何性质 一 提示　范围：－a≤x≤a，－b≤y≤b；对称性：对称轴为x轴，y轴，对称中心为原点； 顶点：A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b). 观察椭圆＝1(a>b>0)的形状，你能从 图上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？ 问题1 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0) 范围 _______________________ _______________________ －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 知识梳理 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 对称性 对称轴为________，对称中心为_______ 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长B1B2＝___，长轴长A1A2＝___，短半轴长等于___，长半轴长等于__ 焦点 ___________________ ____________________ 焦距 F1F2＝___ 坐标轴 原点 2b 2a b a F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) 2c 提示　离心率e＝，假设a固定，当e→0时，c→0，因为a2＝c2＋b2，则 b→a，所以离心率越小，椭圆就越圆.当e→1时，c→a，则b→0，所以离心率越大，椭圆就越扁.可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆. 椭圆的离心率是如何影响椭圆的扁圆程度的？ 问题2 提示　可以.e＝. 已知的值能求出离心率吗？ 问题3 1.定义：焦距与长轴长的比____叫作椭圆的________，记为e. 2.性质：离心率e的范围是________.当e越接近于1时，椭圆______；当e越接近于___时，椭圆就越接近于圆. 离心率 (0，1) 越扁 0 知识梳理 (1)椭圆的焦点一定在它的长轴上. (2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. (4)离心率也可以表示为e＝. 注 意 点 <<< 12 　　 (课本例1)求椭圆＝1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐 标和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆. 例 1 13 根据椭圆的方程＝1，得a＝5，b＝3，c＝＝4， 所以椭圆的长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，离心率e＝， 焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)， 顶点为A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－3)，B2(0，3). 将方程变形为y＝±，根据y＝算出椭圆在第一象 限内的几个点的坐标(如下表所示)： 解 x 0 1 2 3 4 5 y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0 14 先描点画出在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图). 解 15 　　 设椭圆方程mx2＋4y2＝4m(m>0)的离心率为，试求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标及顶点坐标. 例 1 16 椭圆方程可化为＝1. ①当0<m<4时，a＝2，b＝，c＝， ∴e＝， ∴m＝3，∴b＝，c＝1， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别是4，2， 焦点坐标为F1(－1，0)，F2(1，0)， 顶点坐标为A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－)，B2(0，). 解 17 ②当m>4时，a＝，b＝2， ∴c＝， ∴e＝，解得m＝， ∴a＝，c＝， ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为，4， 焦点坐标为F1，F2， 顶点坐标为A1，A2，B1(－2，0)，B2(2，0). 解 18 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质. 反 思 感 悟 19 (多选)已知椭圆C的两个焦点坐标分别为(－2，0)，(2，0)，离心率为e，则 A.e越接近于0，则C就越接近于圆 B.e越接近于1，则C就越接近于圆 C.若C经过点，则C的长轴长为2 D.若e＝，则C的长半轴长为8 跟踪训练 1 √ √ 20 由椭圆的性质可知，e越接近于0，椭圆就越接近于圆；e越接近于1，椭圆就越扁平，故A正确，B错误； 若C经过点，则由椭圆的定义可知C的长轴长2a＝＝2，故C正确； 由已知得，c＝2，则a＝4，长半轴长为4，故D错误. 解析 21 二 利用几何性质求椭圆的标准方程 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)椭圆过点(3，0)，离心率e＝； 例 2 23 若焦点在x轴上，则a＝3， ∵e＝，∴c＝， ∴b2＝a2－c2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为＝1. 若焦点在y轴上，则b＝3， ∵e＝，解得a2＝27. ∴椭圆的方程为＝1. ∴所求椭圆的方程为＝1或＝1. 解 24 (2)经过点M(1，2)，且与椭圆＝1有相同的离心率. 25 方法一　由题意知e2＝1－， 所以，即a2＝2b2， 设所求椭圆的方程为＝1或＝1. 将点M(1，2)代入椭圆方程得 ＝1或＝1，解得b2＝或b2＝3. 故所求椭圆的方程为＝1或＝1. 解 26 方法二　设所求椭圆方程为＝k1(k1>0)或＝k2(k2>0)， 将点M的坐标代入可得＝k1或＝k2，解得k1＝，k2＝， 故， 即所求椭圆的标准方程为＝1或＝1. 解 27 利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 (1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论)； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数， 列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝等. (2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件求所要确定的椭圆的标准方程可能有两个. 反 思 感 悟 28 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是； 跟踪训练 2 设椭圆的标准方程为 ＝1(a>b>0)或＝1(a>b>0). 由已知得2a＝10，a＝5，e＝，∴c＝4. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. ∴椭圆的标准方程为＝1或＝1. 解 29 (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 30 依题意可设椭圆的标准方程为 ＝1(a>b>0). 如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)， 且OF＝c，A1A2＝2b，2c＝6， ∴c＝b＝3，∴a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的标准方程为＝1. 解 31 求椭圆的离心率 三 设椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C 上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为　　　　.  例 3 33 方法一　由题意可设PF2＝m，结合条件可知PF1＝2m，F1F2＝m， 故离心率e＝. 方法二　由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c， 将x＝c代入椭圆方程解得y＝±， 所以PF2＝.又由∠PF1F2＝30°可得F1F2＝PF2，故2c＝· (a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e， 解得e＝或e＝－(舍去). 解析 34 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求C的离心率. 延伸探究1 35 在△PF1F2中， ∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°， ∴∠F1PF2＝60°， 设PF1＝m，PF2＝n， F1F2＝2c，m＋n＝2a， 则在△PF1F2中，有， ∴， ∴e＝. 解 36 若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围. 延伸探究2 由题意知c>b，∴c2>b2. 又b2＝a2－c2， ∴c2>a2－c2，即2c2>a2，∴e2＝>， ∴e>，又0<e<1， ∴椭圆C的离心率的取值范围为. 解 37 求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解. (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的齐次关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围. 反 思 感 悟 38 1.知识清单： (1)椭圆的简单几何性质. (2)由椭圆的几何性质求标准方程. (3)求椭圆的离心率. 2.方法归纳：分类讨论、方程法(不等式法). 3.常见误区：忽略椭圆离心率的范围及长轴长与a的关系. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是 A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为 D.离心率为 √ 由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＝1， 所以a＝，b＝，c＝， 所以长轴长2a＝1，焦距2c＝， 离心率e＝. 解析 √ 1 2 3 4 2.焦点在x轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是 A.＝1 B.＋y2＝1 C.＝1 D.x2＋＝1 √ 依题意，得a＝2，a＋c＝3，故c＝1，b＝ ＝1. 解析 1 2 3 4 3.已知椭圆的离心率为，焦点是(－3，0)和(3，0)，则该椭圆的方程为 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 由题意知c＝3，， 则a＝6，∴b2＝a2－c2＝27， ∴椭圆的方程为＝1. 解析 √ 1 2 3 4 4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为　　　　.  不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，B为椭圆的上顶点. 依题意可知，△BF1F2是正三角形. ∵在Rt△OBF2中，OF2＝c， BF2＝a，∠OF2B＝60°， ∴cos 60°＝，即椭圆的离心率e＝. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 答案 CD D A ACD C ABD 题号 7 8 11 12 13 答案 ＝1 BD C C 题号 14 15 答案 28 2(答案不唯一，在(0，2)内的任何数都可以) 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得a＝2，×2c×2b＝4， 即bc＝2， 又c2＝a2－b2， 解得b＝c＝， 所以椭圆C的标准方程为＝1，离心率e＝. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有OA＝OF2，即b＝c. 所以a＝c，e＝. (2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由＝2， 解得x＝，y＝－. 代入＝1， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 得＝1，即＝1，解得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝2， 所以椭圆的方程为＝1. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由已知椭圆＝1，即＝1，则a＝，b＝3， 则c＝， 所以焦距2c＝3，离心率e＝＝5， 所以该椭圆的焦距为素数，离心率的倒数也为素数，该椭圆为“朴素椭圆”. (2)椭圆＝1(0<m<36)的焦距为2， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 离心率e＝， 若存在实数m，使得椭圆＝1(0<m<36)为“朴素椭圆”， 则2均为素数， 又0<2<12，所以2＝2，3，5，7，11， 即＝1，， 则＝6，4，，这些数都不是素数， 所以不存在实数m，使得椭圆＝1(0<m<36)为“朴素椭圆”. 基础巩固 1.(多选)为使椭圆＝1的离心率为，正数m的值可以是 A.1 B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 当0<m<2时，焦点在x轴上，此时a2＝2，b2＝m， 所以c2＝a2－b2＝2－m，所以e2＝， 解得m＝，符合题意； 当m>2时，焦点在y轴上，此时a2＝m，b2＝2， 所以c2＝a2－b2＝m－2， 所以e2＝，解得m＝，符合题意. 故正数m的值可以是. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，A为上顶点，则 △AF1F2的面积为 A.6 B.15 C.6 D.3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由椭圆方程＝1得 A(0，3)，F1(－，0)，F2(，0)， ∴F1F2＝2. ∴F1F2·yA＝×2×3＝3. 解析 3.(2023·新高考全国Ⅰ)设椭圆C1：＋y2＝1(a>1)，C2：＋y2＝1的离心 率分别为e1，e2.若e2＝e1，则a等于 A. B. C. D. √ 由e2＝e1，得＝3， 因此＝3×，而a>1， 所以a＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(多选)已知椭圆C：16x2＋25y2＝400，则关于椭圆C下列叙述正确的是 A.椭圆C的长轴长为10 B.椭圆C的两个焦点分别为(0，－3)和(0，3) C.椭圆C的离心率等于 D.若过椭圆C的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于P，Q，则PQ＝ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 由题意知椭圆的标准方程为＝1， 则a＝5，b＝4，∴c＝3.长轴长为2a＝10，A正确； 两焦点为(3，0)，(－3，0)，B错误； 离心率为e＝，C正确； 将x＝3或x＝－3代入椭圆方程得 16×32＋25y2＝400， 解得y＝±，∴PQ＝，D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设F1，F2是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上 一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形 ⇒PF2＝F2F1⇒2＝2c ⇒e＝. 解析 6.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则 A.a－c＝m＋R B.a＋c＝n＋R C.2a＝m＋n D.b＝ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵地球的中心是椭圆的一个焦点，结合图形可得 ∴ (*).故A，B正确； 由(*)，可得2a＝m＋n＋2R，故C不正确； 由(*)，可得(m＋R)(n＋R)＝a2－c2. ∵a2－c2＝b2，∴b2＝(m＋R)(n＋R)， ∴b＝，故D正确. 解析 7.若椭圆＝1(a>b>0)的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由△F1F2M的周长为16， 得2a＋2c＝16， ① 由离心率为， ② 又a2＝b2＋c2， ③ 由①②③解得a＝5，b＝4. ∴椭圆C的方程为＝1. 解析 ＝1 8.已知椭圆＝1(a>b>0)，P为椭圆上一动点(不含左、右端点)，左、右端点分别为A，B，kAP·kBP≤－，则离心率e的取值范围为　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设P(x0，y0)，x0≠±a，A(－a，0)，B(a，0)，∵点P在椭圆上， ∴＝1，∴(a2－). kAP·kBP＝×＝－， 由题意可知，－≤－≥≤，则e＝∈. 解析 9.已知椭圆C：＝1(a>b>0)经过点A(－2，0)且两个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4，求椭圆C的标准方程和离心率. 由题意可得a＝2，×2c×2b＝4， 即bc＝2， 又c2＝a2－b2， 解得b＝c＝， 所以椭圆C的标准方程为＝1，离心率e＝. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭 圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B. (1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形， 所以有OA＝OF2，即b＝c. 所以a＝c，e＝. 解 (2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的标准方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知A(0，b)，F2(1，0)， 设B(x，y)，由＝2， 解得x＝，y＝－. 代入＝1， 得＝1，即＝1，解得a2＝3， 又c2＝1，所以b2＝2， 所以椭圆的方程为＝1. 解 11.(多选)F，A分别为椭圆的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是6，且 cos∠OFA＝，则椭圆的标准方程为 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当焦点在x轴上时， cos∠OFA＝. 因为2a＝6，所以a＝3，c＝2， 所以b2＝a2－c2＝9－4＝5.所以椭圆方程为＝1， 同理，当焦点在y轴上时，椭圆方程为＝1. 解析 12.椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃厚度忽略不计)，在玻璃杯倾斜的过程中(杯中的水不能溢出)，杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，此时椭圆长轴长为＝6(厘米)，短轴长为6厘米， ∴椭圆的离心率e＝， ∴e的取值范围是. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2π，过点F1的直线交C于点A，B，且△ABF2的周长为8，则C的标准方程为 A.＋y2＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为△ABF2的周长为8， 所以AB＋AF2＋BF2＝8，所以AF1＋BF1＋AF2＋BF2＝8，即(AF1＋AF2)＋(BF1＋BF2)＝8， 由椭圆的定义可知，AF1＋AF2＝2a，BF1＋BF2＝2a，所以2a＋2a＝8，解得a＝2， 由题意可得abπ＝2π，解得b＝， 因为椭圆的焦点在x轴上， 所以C的标准方程为＝1. 解析 14.如图，把椭圆＝1的长轴AB八等分，过每个 分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F的值为　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 设椭圆的另一个焦点为F'， 由椭圆的几何性质可知P1F＝P7F'， ∴P1F＋P7F＝P7F'＋P7F＝2a， 同理可得P2F＋P6F＝P3F＋P5F＝2P4F＝2a，又a＝4， 故P1F＋P2F＋P3F＋…＋P7F＝7a＝28. 解析 15.阿基米德是古希腊著名的物理学家和数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭 圆C：＝1(a>b>0)的面积为6π，点P在椭圆C上，且P与椭圆上、下 顶点连线的斜率之积为－.记椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，则 △PF1F2的面积可能为　 　　　　　. (写出满足条件的一个值)  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2(答案不唯一，在(0，2)内的任何数都可以) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由椭圆C：＝1(a>b>0)的面积为6π，得πab＝6π，解得ab＝6，① 设点P(x0，y0)，显然x0≠0， 由＝1，得－b2＝－， 椭圆C的上、下顶点坐标分别为(0，b)，(0，－b)， 则·＝－＝－， 即， ② 联立①②，解得a＝3，b＝2，半焦距c＝， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 △PF1F2的面积×2c×|y0|＝|y0|， 而y0∈(－2，2)且y0≠0， 因此∈(0，2)， 所以△PF1F2的面积可能为2. 解析 16.若一个椭圆的焦距为素数(素数又叫质数，即大于1，只能被1和本身整除的自然数)，且离心率的倒数也为素数，则称这样的椭圆为“朴素椭圆”. (1)证明：椭圆＝1为“朴素椭圆”； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知椭圆＝1，即＝1，则a＝，b＝3， 则c＝， 所以焦距2c＝3，离心率e＝＝5， 所以该椭圆的焦距为素数，离心率的倒数也为素数，该椭圆为“朴素椭圆”. 证明 (2)是否存在实数m，使得椭圆＝1(0<m<36)为“朴素椭圆”？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 椭圆＝1(0<m<36)的焦距为2， 离心率e＝， 若存在实数m，使得椭圆＝1(0<m<36)为“朴素椭圆”， 则2均为素数， 又0<2<12，所以2＝2，3，5，7，11， 即＝1，， 则＝6，4，，这些数都不是素数， 所以不存在实数m，使得椭圆＝1(0<m<36)为“朴素椭圆”. 解 第3章　圆锥曲线与方程 <<< $