第1章 直线与方程 章末复习课（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（苏教版）

该高中数学课件系统梳理了直线与方程的核心知识，涵盖直线方程的五种形式、两直线的平行与垂直判定、交点与距离问题及坐标法应用，通过表格比较方程形式与适用范围、分类归纳平行垂直判定方法，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“知识梳理-例题解析-跟踪训练”模式，如通过坐标法证明等腰三角形性质培养逻辑推理能力，设计分层练习如基础求直线方程与综合距离计算提升数学运算素养，助力学生巩固知识，教师可精准开展复习教学。

第1章　直线与方程 <<< 章末复习课 知识网络 一、直线方程的求法及应用 二、两直线的平行与垂直 三、两直线的交点与距离问题 四、坐标法的应用 内容索引 直线方程的求法及应用 一 1.直线方程的五种形式的比较 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y－y0＝k(x－x0) (x0，y0)是直线上一点，k是斜率 不垂直于x轴的直线 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴的直线 两点式 (x1≠x2，y1≠y2) (x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个点 直线不垂直x轴和y轴 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 截距式 ＝1(a≠0， b≠0) a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点 一般式 Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0) A，B，C为系数 任何情况 (1)求方程时，往往应用前四种形式，在呈现最后结果时，如果没有特殊要求，就写成一般式. (2)直线化成一般式时，有如下约定：①一般按含x项、含y项、常数项的顺序排列；②x项的系数为正；③x，y的系数和常数项一般互质，若有除1之外的公约数需要化简约分. 2.通过求直线方程，提升了学生逻辑推理、数学运算的核心素养. 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0，1)，B(3，2). (1)若C点坐标为(1，0)，求AB边上的高所在的直线方程； 例 1 ∵A(0，1)，B(3，2)，∴kAB＝， 由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率为k＝－3， ∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)， 化为一般式可得3x＋y－3＝0. 解 8 (2)若点M(1，1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程. ∵M(1，1)为AC的中点，A(0，1)，∴C(2，1)， ∴kBC＝＝1， ∴边BC所在直线方程为y－1＝x－2， 化为一般式可得x－y－1＝0. 解 9 求直线方程的一种重要方法就是待定系数法.运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要. 反 思 感 悟 10 已知△ABC的顶点A(6，1)，AB边上的中线CM所在的直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0.求： (1)顶点C的坐标； 跟踪训练 1 由题意知AC边上的高所在直线斜率为， 故AC边所在的直线的斜率为－2，则它的方程为y－1＝－2(x－6)， 即2x＋y－13＝0. 由 故点C的坐标为 解 11 (2)直线BC的方程. 设B(m，n)，则M 把M的坐标代入直线方程2x－y－5＝0， 把点B的坐标代入直线方程x－2y－5＝0， 可得解得故点B 再用两点式求得直线BC的方程为，化简为46x－41y－43＝0. 解 12 二 两直线的平行与垂直 1.判断两条直线平行的方法 (1)①若两条直线l1，l2的斜率都存在，将它们的方程都化成斜截式.如l1： y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则⇔l1∥l2. ②若两条直线l1，l2的斜率都不存在，将方程化为l1：x＝x1，l2：x＝x2，则x1≠x2⇔l1∥l2. (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，由A1B2－A2B1＝0得到l1∥l2或l1，l2重合，排除两直线重合，就能判定两直线平行. 2.判断两直线垂直的方法 方法一： 方法二：若两条直线的方程均为一般式：l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. (1)已知直线l1：x＋2ay－1＝0和直线l2：(3a－1)x－ay＋1＝0，则 “a＝”是“l1∥l2”的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 例 2 √ 16 若l1∥l2，则2a(3a－1)－1×(－a)＝a(6a－1)＝0，解得a＝或a＝0， 当a＝时，则l1：3x＋y－3＝0，l2：3x＋y－6＝0，满足l1∥l2，符合题意； 当a＝0时，则l1：x－1＝0，l2：x－1＝0，两直线重合，不符合题意. 综上所述，l1∥l2等价于a＝ 所以“a＝”是“l1∥l2”的充要条件. 解析 17 (2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是　　　　.  将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0， 得a＝－·＝－×2＝－1，∴l1⊥l2. 解析 垂直 18 一般式方程下两直线的平行与垂直： 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不全为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不全为0)，则l1∥l2⇔ A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 反 思 感 悟 19 (1)若直线mx＋ny＋2＝0平行于直线x－2y＋5＝0，且在y轴上的截距为1，则m，n的值分别为 A.1和2 B.－1和2 C.1和－2 D.－1和－2 跟踪训练 2 由已知得直线mx＋ny＋2＝0过点(0，1)，则n＝－2，又因为两直线平行， 所以－，解得m＝1. 解析 √ (2)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为　　　　.  －3 20 两直线的交点与距离问题 三 1.两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题. 2.两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养. (1)若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为 A.－1 B.5 C.－1或5 D.－3或3 例 3 ∵点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是， ∴，即|a－2|＝3， 解得a＝－1或a＝5，∴实数a的值为－1或5. 解析 √ 23 (2)过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程. 设l1与l的交点为A(a，8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上， 将点B的坐标代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0， 解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上， 所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 解 24 反 思 感 悟 25 (1)设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为 A.2 B C.2 D 跟踪训练 3 根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根， 可得a＋b＝－1，ab＝－2， ∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3， 由已知得这两条直线互相平行， 故两条直线之间的距离d＝ 解析 √ 26 (2)已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则这样的直线l的条数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ 27 方法一　由 即直线l过点(1，2).设点Q(1，2)，因为PQ＝>2，所以满足条件的直线l有2条.故选C. 方法二　依题意，设经过直线l1与l2交点的直线l的方程为2x＋3y－8＋λ(x－2y＋3)＝0(λ∈R)，即(2＋λ)x＋(3－2λ)y＋3λ－8＝0.由题意得 ＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或，代入 得直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0，故选C. 解析 28 坐标法的应用 四 1.平面几何中的证明题很多可以用坐标法证明，其基本思想是这样的：首先将几何证明中的点的坐标用符号来表示，然后将几何条件转化为代数求解问题，再对给定的符号用具体的数值来代替，从而达到证明的目的. 2.用坐标法证明几何问题，可以提升学生逻辑推理和数学运算核心素养. 建立适当的直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 例 4 31 设△ABC是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴， 过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示. 设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则C(－a，0). 直线AB的方程为＝1，即bx＋ay－ab＝0. 直线BC的方程为＝1，即bx－ay＋ab＝0. 设底边AC上任意一点为P(t，0)(－a≤t≤a)， 过P作PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F， 则点P到直线AB的距离为PE＝， 证明 32 点P到直线BC的距离为PF＝， PE＋PF＝ 又点A到直线BC的距离为h＝ 因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 证明 33 利用坐标法证明几何问题的思路 (1)建立平面直角坐标系； (2)设出各点的坐标； (3)列出代数等式，并化简； (4)验证结论成立. 反 思 感 悟 34 如图，△ABD和△BCE是在直线AC同侧的两个等边三角形，试用坐标法证明：AE＝CD. 跟踪训练 4 35 如图所示，以B点为坐标原点，取AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，如图， 设△ABD和△BCE的边长分别为a和c. 则A(－a，0)，C(c，0)，E，D， 由距离公式，得 AE＝， CD＝， 所以AE＝CD. 证明 36 第1章　直线与方程 <<< $