第2章 再练1课(范围：§2.6～§2.8)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦抛物线与双曲线的几何性质及应用，通过典型例题衔接定义与标准方程，搭建从基础求解到综合应用的学习支架，如从焦点距离求方程到中点弦问题，再到光学性质实际应用。 其亮点在于以逻辑推理（数学思维）为主线，通过点差法、定义法等规范解题步骤，结合抛物线光学性质（数学眼光）培养应用意识，符号表达准确（数学语言）。学生能提升解题能力，教师可直接用于分层教学，提高效率。

再练一课(范围： §2.6~§2.8) 第二章　平面解析几何 <<< 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C A C A C CD BC 题号 9 10 11 　12 答案 BC 　 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)因为点A(4，m)在抛物线C上， 所以|AF|＝m＋＝5， 又因为0<p<6，解得p＝2， 故抛物线C的标准方程为x2＝4y. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 所以＝4(y1－y2)， 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 即(x1－x2)(x1＋x2)＝4(y1－y2)， 因为MN的中点为P(1，2)，所以x1＋x2＝2， 则，故直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y－2＝(x－1)， 即x－2y＋3＝0. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)由双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为且a＝1， 可得c＝，∴b＝1. ∴双曲线C：x2－y2＝1. 可得双曲线的渐近线方程为y＝±x. (2)设经过点P的直线方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴ 解得1<k<. ∴MN的中点为， ∴线段MN的中垂线方程为y＋＝－， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令x＝0得截距t＝>2. 即线段MN的中垂线l在y轴上的截距t的取值范围是(2，＋∞). 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)由抛物线的定义得|PF|＝y0＋. 由题意得 ∴抛物线的方程为x2＝12y. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知点F(0，3)， ∴直线l的方程为x＋y－3＝0. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由可得y2－10y＋9＝0， 则y1＋y2＝10，y1y2＝9， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＝y1＋y2＋p＝10＋6＝16， 则不妨取y1＝1，y2＝9， 则点A，B的坐标分别为(2，1)，(－6，9). 设点M的坐标为(t，－3)， 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则＝(2－t，4)，＝(－6－t，12)， 则·＝(2－t)(－6－t)＋4×12＝3， 解得t＝－或－3. 又点M到直线l的距离d＝， 故d＝， 当d＝时，△MAB的面积S＝d·|AB|＝28； 当d＝时，△MAB的面积S＝d·|AB|＝36. 一、单项选择题 1.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为 A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 双曲线的渐近线方程为y＝±x， 因为双曲线C的离心率为. 两边平方，即＝6，又a2＋b2＝c2， 所以＝1＋＝6. 解得. 故双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 解析 2.已知抛物线C：x2＝6y，直线l与C交于A，B两点，若弦AB的中点为(1，4)，则直线l的斜率为 A.－ B.3 C. D.－3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝6y1－6y2，整理得. 因为弦AB的中点为(1，4)，所以， 即直线l的斜率为. 解析 3.已知双曲线＝1(m>0)的两条渐近线为l1，l2，过双曲线右焦点F 且垂直于x轴的直线交l1，l2分别于点P，Q，O为坐标原点，若△OPQ的 面积为，则m等于 A.1 B. C. D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由双曲线方程得其渐近线方程为y＝±x， 由题知PQ⊥x轴且过右焦点F，令x＝c，得y＝±c，∴|PQ|＝c. 则△OPQ的面积S＝|PQ||OF|＝c2＝，解得c2＝5. ∵双曲线＝1(m>0)，∴c2＝4m＋m＝5，解得m＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面)的反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2＝8x，平行于x轴的光线从点M(12，2)射出，经过C上的点A反射后， 再从C上的另一点B射出，则|MB|等于 A.6 B.8 C.2 D.29 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由M(12，2)，可得点A的纵坐标为2， 设A(m，2)，则4＝8m，解得m＝， 由题意知反射光线经过抛物线y2＝8x的焦点(2，0)， 所以直线AB的方程为y－0＝(x－2)， 整理可得y＝－(x－2)， 由消去y整理得2x2－17x＋8＝0， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得x1＝，x2＝8，则y2＝－(x2－2)＝－8， 所以B(8，－8)，所以|MB|＝＝2. 解析 5.已知双曲线C：＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C的右支上一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积为 A. B. C.2 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵在双曲线C：＝1中，a＝3，b＝4，c＝5， ∴F1(－5，0)，F2(5，0)，|F1F2|＝10. ∵|PF2|＝|F1F2|＝， ∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋. ∴在△PF1F2中，cos∠PF1F2＝， ∴sin∠PF1F2＝， ∴△PF1F2的面积为××10×. 解析 6.已知双曲线C：x2－＝1，O为坐标原点，若直线y＝x＋2与双曲线C的两条渐近线分别交于点A，B，则△OAB内切圆的半径等于 A.－1 B.2－ C.2－ D.－1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 双曲线C：x2－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x， 联立 同理联立 不妨设A(＋1，3＋)，B(1－，3－)， 则|OA|＝2(＋1)，|OB|＝2(－1)，|AB|＝2， 点O到直线y＝x＋2的距离d＝， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设△OAB内切圆的半径为r， 则S△OAB＝|AB|·d＝(|OA|＋|OB|＋|AB|)r， 即2×＝[2(＋1)＋2(－1)＋2]r， 解得r＝2－. 解析 二、多项选择题 7.已知O是平面直角坐标系的原点，抛物线C：y＝x2的焦点为F，P，Q 两点在抛物线C上，下列说法正确的是 A.若|PF|＝5，则点P的坐标为(4，4) B.直线y＝x－1与抛物线C不相切 C.点P到直线y＝x－2的距离的最小值为 D.若P，F，Q三点共线，则·＝－3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 由y＝x2，得x2＝4y，则焦点为F(0，1)，设P(x，y)，若|PF|＝5，由抛 物线的定义得，y＋1＝5，解得y＝4，则点P的坐标为(4，4)或(－4，4)，故A错误； 联立直线与抛物线方程消去y得x2－4x＋4＝0，得Δ＝0，所以 直线y＝x－1与抛物线C相切，故B错误； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为直线y＝x－1与C相切，又直线y＝x－1与直线y＝x－2平行，所以两 平行直线间的距离即点P到直线y＝x－2的最小距离，所求距离为，故C正确； 抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，易知直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方 程为y＝kx＋1，不妨设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得x2－4kx －4 ＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋1)(kx2＋1)＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝－4(1＋k2)＋4k2＋1＝－3，故D正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C的左支相交于P，Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|＝3|PF2|，则 A.|PQ|＝4a B.3 C.双曲线C的渐近线方程为y＝±x D.直线PQ的斜率为4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由4|PQ|＝3|PF2|，设|PQ|＝3m，|PF2|＝4m，由PQ⊥PF2，得|QF2|＝5m， 则|PF1|＝4m－2a，|QF1|＝5m－2a，而|PF1|＋|QF1|＝|PQ|，解得m＝，因此|PF1|＝，|QF1|＝， 对于A，|PQ|＝2a，A错误； 对于B，显然＝2，则3，B正确； 对于C，令|F1F2|＝2c，在△PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，得＝4c2， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则c2＝a2，b2＝c2－a2＝a2，即，因此双曲线C的渐近线方程为y＝±x，C正确； 对于D，由tan∠PF1F2＝＝4，结合对称性， 图中P，Q位置可互换， 则直线PQ的斜率为±4，D错误. 解析 9.已知双曲线C：－x2＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，上、下焦 点分别为F1，F2，则 A.双曲线C的方程为－x2＝1 B.双曲线C的离心率为2 C.若点A(x0，y0)为双曲线C上支上的任意一点，P(2，0)，则|PA|＋|AF2|的 最小值为2 D.若点M(2，t)为双曲线C上支上的一点，则△MF1F2的内切圆面积为2π 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，双曲线C：－x2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±ax，则a＝， 于是双曲线C的方程为3y2－x2＝1，A错误； 对于B，双曲线C的离心率e＝＝2，B正确； 对于C，F1，F2，|PA|＋|AF2|＝|PA|＋|AF1|＋2a≥|PF1|＋＝＝2， 当且仅当点A为线段PF1与双曲线上支的交点时，取等号，C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于D，由点M(2，t)在双曲线上支上，得t＝ |F1F2|·2， △MF1F2的周长为|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝， 设△MF1F2的内切圆半径为r，则×r＝，解得r＝， 因此△MF1F2的内切圆面积为，D错误. 解析 三、填空题 10.双曲线x2－ky2＝1的一个焦点是(2，0)，则k＝　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 将双曲线方程x2－ky2＝1化为x2－＝1，依题意，1＋＝4，所以k＝. 解析 11.在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝ 2，则顶点A的轨迹方程为　　　　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以BC的中点为原点O，BC为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， E，F分别为边AB，AC上的切点，则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|， 所以|AB|－|AC|＝|BD|－|CD|＝2<4， 所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)， 且a＝，c＝2，所以b＝， 所以顶点A的轨迹方程为＝1(x>). 解析 12.倾斜角为锐角的直线经过抛物线C：y2＝12x的焦点F，且与C交于A，B两点，Q为线段AB的中点，P为C上一点，若|PF|＋|PQ|的最小值为8，则这条直线的斜率为　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 抛物线C：y2＝12x的焦点F(3，0)，准线方程为x＝－3， 显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB的方程为x＝ty＋3(t≠0)， 由消去x并整理得y2－12ty－36＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y1＋y2＝12t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋6＝12t2＋6， 因此线段AB的中点Q的横坐标xQ＝6t2＋3， 过P作准线x＝－3的垂线，垂足为D'，过Q作准线x＝－3的垂线，垂足为D， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由抛物线的定义可得|PF|＋|PQ|＝|PD'|＋|PQ|≥|QD'|≥|QD|＝6t2＋3＋3＝6t2＋6， 当且仅当点P是线段QD与抛物线C的交点时，取等号， 因为|PF|＋|PQ|取得的最小值为8， 所以6t2＋6＝8，解得t＝±， 而直线AB的倾斜角为锐角，则t＝， 所以直线AB的斜率为. 解析 四、解答题 13.已知抛物线C：x2＝2py(0<p<6)的焦点为F，点A(4，m)在抛物线C上，且＝5. (1)求抛物线C的标准方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为点A(4，m)在抛物线C上， 所以|AF|＝m＋＝5， 又因为0<p<6，解得p＝2， 故抛物线C的标准方程为x2＝4y. 解 (2)直线l与抛物线C交于M，N两点，若线段MN的中点为P(1，2)，求直线l的方程. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 所以＝4(y1－y2)， 即(x1－x2)(x1＋x2)＝4(y1－y2)， 因为MN的中点为P(1，2)，所以x1＋x2＝2， 则，故直线l的斜率为， 所以直线l的方程为y－2＝(x－1)， 即x－2y＋3＝0. 解 14.已知双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为. (1)求此双曲线的渐近线方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为且a＝1， 可得c＝，∴b＝1. ∴双曲线C：x2－y2＝1. 可得双曲线的渐近线方程为y＝±x. 解 (2)若经过点P(0，－1)的直线与双曲线C的右支交于不同两点M，N，求线段MN的中垂线l在y轴上的截距t的取值范围. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设经过点P的直线方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立 消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0， ∴ 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得1<k<. ∴MN的中点为， ∴线段MN的中垂线方程为y＋＝－， 令x＝0得截距t＝>2. 即线段MN的中垂线l在y轴上的截距t的取值范围是(2，＋∞). 解 15.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点P(6，y0)到焦点F的距离|PF|＝2y0. (1)求抛物线C的方程； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由抛物线的定义得|PF|＝y0＋. 由题意得 ∴抛物线的方程为x2＝12y. 解 (2)过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点M为抛物线C的准线上一点，且·＝3，求△MAB的面积. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知点F(0，3)， ∴直线l的方程为x＋y－3＝0. 由可得y2－10y＋9＝0， 则y1＋y2＝10，y1y2＝9， ∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝＝y1＋y2＋p＝10＋6＝16， 则不妨取y1＝1，y2＝9， 则点A，B的坐标分别为(2，1)，(－6，9). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设点M的坐标为(t，－3)， 则＝(2－t，4)，＝(－6－t，12)， 则·＝(2－t)(－6－t)＋4×12＝3， 解得t＝－或－3. 又点M到直线l的距离d＝，故d＝， 当d＝时，△MAB的面积S＝d·|AB|＝28； 当d＝时，△MAB的面积S＝d·|AB|＝36. 解 第二章　平面解析几何 <<< $