第1章 再练一课(范围：§1.2)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何应用，通过练习题系统覆盖线面平行证明、面面角及线面角计算等核心内容，以基础向量运算为导入，构建从概念到综合应用的学习支架。 其亮点在于结合正方体、四棱锥等具体模型，通过建立坐标系和向量运算，培养学生数学眼光（空间观念）、数学思维（逻辑推理）与数学语言（符号表达），解析步骤详尽，助力学生提升解题能力，教师可直接用于课堂练习与讲解。

再练一课(范围：§1.2) 第一章　空间向量与立体几何 <<< 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B A A B AC BC 题号 9 10 11 　12 答案 ABD 2－ 　 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(2，0，2)，E(1，2，0)， D(0，0，0)，C(0，2，0)，F(0，0，1)， 则＝(2，0，2)，＝(1，2，0)，＝(0，－2，1)， 设平面A1DE的法向量为n＝(a，b，c)， 则取n＝(－2，1，2)， 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴·n＝(0，－2，1)·(－2，1，2)＝0， 又CF⊄平面A1DE，∴CF∥平面A1DE. (2)＝(0，2，0)是平面A1DA的法向量， ∴|cos〈n，〉|＝， 即平面A1DE与平面A1DA所成角的余弦值为. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC， 平面ABDE∩平面ABC＝AB， DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC. ∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC. 如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系. ∵AC＝BC＝4，∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，E(4，0，4)， 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴＝(－4，4，0)，＝(4，0，4). ∴|cos〈〉|＝， ∴异面直线AB与CE所成角的大小为. (2)由(1)知O(2，0，2)，D(0，4，2)，M(2，2，0)， ∴＝(0，4，2)，＝(－2，4，0)，＝(－2，2，2). 设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)， 则由 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2，1，1). 设直线CD与平面ODM所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝， ∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)∵AE⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，∴AE⊥A1D. ∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，∴A1D⊥AD1. ∵AE∩AD1＝A，AE，AD1⊂平面AED1， ∴A1D⊥平面AED1. ∵D1E⊂平面AED1，∴D1E⊥A1D. (2)以D为坐标原点， DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 假设在棱AB上存在点E(1，t，0)(0≤t≤2)， 使得AD1与平面D1EC所成的角为， A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)， ＝(－1，0，1)，＝(0，－2，1)，＝(1，t－2，0)， 设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 取y＝1，得n＝(2－t，1，2)， ∴sin， 整理得t2＋4t－9＝0， 解得t＝－2或t＝－2－(舍去)， ∴在棱AB上存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为， 此时AE＝－2. 一、单项选择题 1.设直线l的方向向量为u＝(－2，2，t)，平面α的法向量为v＝(6，－6，12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于 A.4 B.－4 C.2 D.－2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意得，u∥v，∴，即t＝－4. 解析 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别是棱DD1和线段BC1上的动点，则满足与AD1垂直的直线MN A.有且仅有1条 B.有且仅有2条 C.有且仅有3条 D.有无数条 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设正方体棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D1(0，0，1)， 设M(0，0，a)，N(x，1，1－x)，0≤a≤1，0≤x≤1， 所以＝(x，1，1－x－a)，＝(－1，0，1)， 若AD1⊥MN，则·＝－x＋1－x－a＝0， 即2x＝1－a(0≤x≤1，0≤a≤1)，方程有无数组解. 解析 3.如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为棱CC1的中点，则直线B1M与平面A1D1M所成角的正弦值是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(1，0，1)，D1(0，0，1)， M，B1(1，1，1)， ＝(－1，0，0)，， ， 设平面A1D1M的法向量为m＝(x，y，z)， 则⇒ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令y＝1，可得z＝2，所以m＝(0，1，2)， 设直线B1M与平面A1D1M所成的角为θ， sin θ＝. 解析 4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2，2，2)，M(1，1，0)，D1(0，0，2)，N(1，0，0)， ∴＝(－1，－1，－2)，＝(1，0，－2)， ∴|cos〈〉|＝. 解析 5.在三棱锥P－ABC中，PC⊥底面ABC，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，∠PBC＝45°，则点C到平面PAB的距离是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法一　建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(0，4，0)，P(0，4，4)， ∴＝(0，4，4)， ＝(4，0，0)，＝(0，0，－4). 设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)， 则 令y＝，则z＝－1，∴m＝(0，，－1)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴点C到平面PAB的距离为. 方法二　∵PC⊥底面ABC， ∴PC⊥AB，又AB⊥AC，且PC∩AC＝C， PC，AC⊂平面PAC， ∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥PA， ∵AC＝AB＝4，∴BC＝4， ∴PC＝4，PB＝8， 在Rt△PAB中，PA＝＝4， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令点C到平面PAB的距离为d， ∵VP－ABC＝VC－PAB， ∴××4×4×4××4×4×d， ∴d＝. 解析 6.如图，在空间四边形ABCD中，AB＝BD＝DA＝4，BC＝CD＝2.设直线AB与直线CD所成的角为α，当二面角A－BD－C的大小在上变化时，cos α的最大值为 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设E是BD的中点，连接AE，EC，如图所示， 由题意，得AE⊥BD，EC⊥BD， ∴∠AEC就是二面角A－BD－C的平面角， 在Rt△AEB中，AB＝4，EB＝2， ∴EA＝＝2. 在Rt△BEC中，BC＝2，EB＝2， ∴EC＝＝2， 设∠AEC＝β， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则cos α＝|cos〈〉|＝ ＝ ＝ ＝， ∵β∈，∴cos β∈， 故当cos β＝－时，cos α有最大值，为. 解析 二、多项选择题 7.下列结论中，正确的是 A.若两条不重合的直线l1，l2的一个方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2， －3，1)，则l1∥l2 B.若直线l的一个方向向量是a＝(1，－1，2)，平面α的一个法向量是u＝(6，4， －1)，则l⊥α C.若两个不同的平面α，β的一个法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4， 2)，则α⊥β D.若直线l的一个方向向量是a＝(0，3，0)，平面α的一个法向量是u＝(0，－5， 0)，则l∥α 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 对于A，由题意知，b＝－a，所以a∥b，即l1∥l2，故A正确； 对于B，若直线l的一个方向向量是a＝(1，－1，2)，平面α的一个法向量是u＝(6，4，－1)，则a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以a⊥u，即l∥α或l⊂α，故B错误； 对于C，因为u·v＝0，所以α⊥β，故C正确； 对于D，因为u＝－a，所以u∥a，即l⊥α，故D错误. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在棱DC上运动(不与顶点重合)，则点B到平面AD1P的距离可以是 A.1 B. C.2 D.3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则D(0，0，0)，A(3，0，0)， B(3，3，0)，D1(0，0，3)， 设P(0，t，0)(0<t<3)， 所以＝(－3，t，0)，＝(－3，0，3)， ＝(0，3，0)， 设n＝(x，y，z)为平面AD1P的法向量， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则 令y＝3，可得n＝(t，3，t)， 则点B到平面AD1P的距离d＝， 因为0<t<3，所以2t2＋9∈(9，27)， 所以d∈(，3). 解析 9.如图，已知二面角α－l－β的棱l上有A，B两点，C∈α，AC⊥l，D∈β，BD⊥l，且AC＝AB＝BD＝1，则下列说法正确的是 A.·＝1 B.当二面角α－l－β的大小为60°时，CD＝ C.若CD＝，则CD与AB所成的角的余弦值是 D.若CD＝，则二面角C－BD－A的余弦值为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在二面角α－l－β中，C∈α，D∈β，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC＝AB＝BD＝1， 对于A，·＝()· ··＝1，A正确； 对于B，由二面角α－l－β的大小为60°， 得〈〉＝60°， 则||＝ 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝，B正确； 对于C，由选项A知，·＝1，则CD与AB所 成的角的余弦值为，C错误； 对于D，如图，过A作AE∥BD，且使AE＝1，连接CE，则四边形ABDE是正方形，有DE∥AB，DE＝1，AE⊥AB，而AE∩AC＝A，AE，AC⊂平面ACE，则AB⊥平面ACE，又CE⊂平面ACE，因此AB⊥CE，即DE⊥CE，由CD＝，得CE＝＝1，则△ACE为等边三角形， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 取AE中点H，连接CH，取BD中点F，连接HF，CF，则CH⊥AE，即CH⊥BD，HF⊥BD，又CH∩HF＝H，CH，HF⊂平面CFH，则BD⊥平面CFH，又CF⊂平面CFH，则BD⊥CF，因此∠CFH为二面角C－BD－A 的平面角，又HF＝1，CH＝，CF＝， 显然HF2＋CH2＝CF2，即CH⊥HF， 则cos∠CFH＝， 即二面角C－BD－A的余弦值为，D正确. 解析 三、填空题 10.在棱长为3的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段DD1上靠近D1的三等分点，F为线段BB1上靠近B的三等分点，则直线FC1到平面AB1E的距离 为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系， 则A(3，0，0)，E(0，0，2)，F(3，3，1)，C1(0，3，3)，B1(3，3，3)， 所以＝(－3，0，2)，＝(－3，0，2)，所以，AE∥FC1， 而AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，故FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离即为点F到平面AB1E 的距离. 又＝(－3，0，2)，＝(0，3，3)， 设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故取z＝3，则n＝(2，－3，3)， 又＝(3，3，－1)，故点F到平面AB1E的距离d＝. 解析 11.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当平面PEC与平面DEC所成角的大小为时，AE＝　　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2－ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设AE＝a(0≤a≤2)， 以D为坐标原点， 以DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则D(0，0，0)，E(1，a，0)，C(0，2，0)，P(0，0，1)， 可得＝(1，a，－1)，＝(0，2，－1)， 设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则 令y＝1，得x＝2－a，z＝2，所以m＝(2－a，1，2)， 又平面DEC的一个法向量为＝(0，0，1)， 则|cos〈m，〉|＝， 解得a＝2－或a＝2＋(舍去)， 所以AE＝2－. 解析 12.在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝1，AD＝2，PA＝2，点M在线段PC上运动，则点M到AB距离的最小值为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0，0，2)，C(1，2，0)， 设＝λ，M(x，y，z)，λ∈[0，1]， 则(x，y，z－2)＝λ(1，2，－2)， ∴即M(λ，2λ，2－2λ)， ∴＝(λ，2λ，2－2λ)， 直线AB的单位方向向量为u＝(1，0，0)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴M到AB的距离为 ＝ ＝2， ∴当λ＝. 解析 四、解答题 13.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点. (1)求证：CF∥平面A1DE； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(2，0，2)，E(1，2，0)，D(0，0，0)，C(0，2，0)，F(0，0，1)， 则＝(2，0，2)，＝(1，2，0)，＝(0，－2，1)， 设平面A1DE的法向量为n＝(a，b，c)， 则取n＝(－2，1，2)， ∴·n＝(0，－2，1)·(－2，1，2)＝0， 又CF⊄平面A1DE，∴CF∥平面A1DE. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)求平面A1DE与平面A1DA所成角的余弦值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝(0，2，0)是平面A1DA的法向量， ∴|cos〈n，〉|＝， 即平面A1DE与平面A1DA所成角的余弦值为. 解 14.如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥ AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的 中点 (1)求异面直线AB与CE所成角的大小； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC， 平面ABDE∩平面ABC＝AB， DB⊂平面ABDE，∴DB⊥平面ABC. ∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC. 如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线 为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系. ∵AC＝BC＝4，∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，E(4，0，4)， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴＝(－4，4，0)，＝(4，0，4). ∴|cos〈〉|＝， ∴异面直线AB与CE所成角的大小为. 解 (2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)知O(2，0，2)，D(0，4，2)，M(2，2，0)， ∴＝(0，4，2)，＝(－2，4，0)，＝(－2，2，2). 设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)， 则由 令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2，1，1). 设直线CD与平面ODM所成的角为θ， 则sin θ＝|cos〈n，〉|＝， ∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为. 解 15.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动. (1)求证：D1E⊥A1D； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵AE⊥平面AA1D1D，A1D⊂平面AA1D1D，∴AE⊥A1D. ∵在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，∴A1D⊥AD1. ∵AE∩AD1＝A，AE，AD1⊂平面AED1， ∴A1D⊥平面AED1. ∵D1E⊂平面AED1，∴D1E⊥A1D. 证明 (2)在棱AB上是否存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为？若存在，求出AE的长；若不存在，说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 假设在棱AB上存在点E(1，t，0)(0≤t≤2)， 使得AD1与平面D1EC所成的角为， A(1，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)， ＝(－1，0，1)，＝(0，－2，1)，＝(1，t－2，0)， 设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)， 解 则 取y＝1，得n＝(2－t，1，2)， ∴sin， 整理得t2＋4t－9＝0， 解得t＝－2或t＝－2－(舍去)， ∴在棱AB上存在点E使得AD1与平面D1EC所成的角为， 此时AE＝－2. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 第一章　空间向量与立体几何 <<< $