第1章 再练一课(范围：§1.1)（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何§1.1内容，涵盖向量概念、坐标运算、共面判定及夹角模长计算等核心知识点，通过练习题从基础概念（如向量定义、坐标对称）逐步过渡到综合应用（如四点共面证明、线段长求解），构建递进式学习支架。 其亮点在于以详细解析为载体，通过逻辑推理（如第13题向量分解证共面）和坐标表达（如第15题建系求线段长）培养数学思维与数学语言，助力学生提升运算能力与空间观念，教师可借助分层练习及规范解析优化教学，提升课堂效率。

再练一课(范围：§1.1) 第一章　空间向量与立体几何 <<< 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A A A C AB AB 题号 9 10 11 　12 答案 BD a－b＋c 　 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1) ＝ ＝ ＝＝ 所以A，E，C1，F四点共面. (2) 13. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝－ ＝ ＝－ 所以x＝－1，y＝1，z＝ 所以x＋y＋z＝. 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)设b＝(x，y，z)， ∴b＝(2，－1，2)或b＝(－2，－1，－2). (2)∵向量b与向量d＝ 14. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴b＝(2，－1，2). 又∵a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)， ∴a－b＝(0，2，－4)，2b＋3c＝(1，－2，7)， ∴(a－b)·(2b＋3c)＝－32， 且|a－b|＝2|2b＋3c|＝3 ∴a－b与2b＋3c夹角的余弦值为 cos〈a－b，2b＋3c〉＝＝－. 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)连接BD，交AC于点O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD. 以Ox轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示.设底面边长为a，则高SO＝a， 于是O(0，0，0)，S DC 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ·＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD. (2)因为BC＝2， 所以B0，0)，S(0，0D(－0，0). 由中点坐标公式，可得P 15. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以||＝ 即线段BP. 一、单项选择题 1.下列命题中为真命题的是 A.向量与的长度相等 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于选项B，其终点构成一个球面； 对于选项C，空间向量可以用有向线段表示，但不是有向线段； 对于选项D，向量a与向量b不相等，它们的模可能相等. 解析 2.空间直角坐标系中，已知点P(3，－2，－5)，点Q与点P关于zOx平面对称，则点Q的坐标是 A.(－3，2，5) B.(3，－2，5) C.(3，2，－5) D.(－3，－2，－5) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 空间直角坐标系中，点P(3，－2，－5)， 因为点Q与点P关于zOx平面对称， 所以点Q的坐标是(3，2，－5). 解析 3.在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z轴的距离为 A. B.3 C. D. √ 在空间直角坐标系中，点M(1，2，3)到z. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知向量a＝(－1，1，2)，b＝(2，－1，0)，则a在b上的投影的数量为 A.－ B. C.－ D. √ a在b上的投影的数量为 |a|cos〈a，b〉＝＝－. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于 A.5 B. C.4 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝λ ＝(0，4，－3＝(0，4λ，－3λ). 又∵＝(4，－5，0)，∴＝(－4，4λ＋5，－3λ). ·＝0，得λ＝－ ∴∴||＝5. 解析 6.如图，圆台的轴截面ABCD为等腰梯形，AD＝CD＝AB＝2，E为的 中点，F为母线BC的中点，则和所成角的正切值为 A. B. C. D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设圆台的上底面圆心为M，下底面圆心为O，过点C作CN⊥AB于点N， 则OM＝CN＝ ＝ 连接OE，因为EOE⊥AB，以O为原点，分别以OE，OB，OM所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(0，－2，0)，C(0，1E(2，0，0)，F 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝(0，3 cos＝ θ，θ∈[0，π]， 可得tan θ＝. 解析 二、多项选择题 7.已知M(1，2，3)，N(2，3，4)，P(－1，2，－3)，若||＝3||且∥，则Q点的坐标为 A.(2，5，0) B.(－4，－1，－6) C.(3，4，1) D.(－3，－2，－5) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 设Q(x，y，z＝(x＋1，y－2，z＋3＝(1，1，1)， ∴ ∴Q点的坐标为(－4，－1，－6)或(2，5，0). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，2，－2)，B(0，1，1)，下列结论正确的有 A.＝(－1，－1，3) B.若m＝(2，1，1)，则m⊥ C.点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1，－2，2) D.||＝ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵A(1，2，－2)，B(0，1，1)，∴＝(－1，－1，3)，故A正确； ||＝D错误； 若m＝(2，1，1)，则m·＝2×(－1)＋1×(－1)＋1×3＝0，则m⊥B正确； 点A关于xOy平面对称的点的坐标为(1，2，2)，故C错误. 解析 9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为1，点P为B1D1上一点且·＝ 1，则等于 A. B. C. D.1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图所示建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，B(1，1，0)， 设点P(a，a，1)， ∴＝(a－1，a，1)， ＝(a－1，a－1，1)， ∴·＝(a－1)2＋a(a－1)＋1＝1， 解得a＝1或a＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当a＝1时，点P在B1处，∴＝1， 当a＝P为D1B1的中点，∴. 解析 三、填空题 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD的中点， 若＝a，＝b，＝c，则＝　　　 　(用a，b，c表示). 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a－b＋c 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由E为PD的中点知， ＝－ ＝－ ＝－＋ ＝－a－b＋c. 解析 11.如图，设边长为2的正方形ABCD的中心为O，过点O作平面ABCD的垂 线VO，VO＝2，E为VO的中点，则与夹角的余弦值为　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 如图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz， 则B(1，1，0)，E(0，0，1)， V(0，0，2)，C(－1，1，0)， ＝(－1，－1，2)， ＝(1，－1，1)， 故cos＝ . 解析 12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点P在线段AC1上(不含端点). 若∠BPD是锐角，则线段C1P长度的取值范围为　　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，A(2，0，0 ＝(2，－2，－2)， ＝λλ∈(0，1)， ＝(2λ，－2λ，－2λ)，则P(2λ，2－2λ，2－2λ)， ＝(－2λ，2λ－2，2λ－2)， ＝(2－2λ，2λ，2λ－2)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为∠BPD是锐角， ·＝12λ2－16λ＋4>0， 解得λ>1或λ<λ∈(0，1)， 所以λ∈||＝2 所以||＝λ||∈. 解析 四、解答题 13.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝ ＝ ＝＝ 所以A，E，C1，F四点共面. 证明 (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ＝－ ＝ ＝－ 所以x＝－1，y＝1，z＝ 所以x＋y＋z＝. 解 14.已知向量a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)，若向量b同时满足下列三个条件：①a·b＝－1；②|b|＝3；③b与c垂直. (1)求向量b的坐标； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设b＝(x，y，z)， ∴b＝(2，－1，2)或b＝(－2，－1，－2). 解 (2)若向量b与向量d＝共线，求向量a－b与2b＋3c夹角的余弦值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵向量b与向量d＝ ∴b＝(2，－1，2). 又∵a＝(2，1，－2)，c＝(－1，0，1)， ∴a－b＝(0，2，－4)，2b＋3c＝(1，－2，7)， ∴(a－b)·(2b＋3c)＝－32， 且|a－b|＝2|2b＋3c|＝3 ∴a－b与2b＋3c夹角的余弦值为 cos〈a－b，2b＋3c〉＝＝－. 解 15.如图，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD的中点，试用向量法解决下面的问题. (1)求证：AC⊥SD； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 连接BD，交AC于点O，连接SO，由题意知SO⊥平面ABCD. 以Ox轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示.设底面边长为a，则高SO＝a， 于是O(0，0，0)，SD C 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ·＝0，故OC⊥SD，从而AC⊥SD. 证明 (2)若BC＝2，求线段BP的长. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为BC＝2， 所以B0，0)，S(0，0D(－0，0). 由中点坐标公式，可得P 所以||＝ 即线段BP. 解 第一章　空间向量与立体几何 <<< $