第1章 1.2.2 空间中的平面与空间向量（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间平面与空间向量，核心内容包括平面法向量的概念及求法、利用法向量证明线面与面面平行垂直、三垂线定理及其逆定理。导语从直线方向向量过渡，以“二面角构造困难”为问题支架，衔接前后知识，引导学生用向量表示平面。 其亮点在于通过问题链（如“点M的集合构成什么图形”）培养数学眼光，用待定系数法求法向量、向量证明位置关系发展数学思维，以向量语言精确表达空间关系体现数学语言。结合正方体等实例讲练结合，帮助学生掌握方法，也为教师提供系统教学素材。

1.2.2 空间中的平面与空间向量 第一章　 §1.2　空间向量在立体几何中的应用 <<< 1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量. 2.会利用直线的方向向量及平面的法向量证明直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直. 3.掌握三垂线定理及其逆定理并会运用. 学习目标 同学们，通过前面的学习，我们发现，直线的方向向量极大地方便了我们判断与证明空间直线的位置关系以及求两直线的夹角，但空间还有很多和平面有关的位置关系，记得我们当初用几何法求二面角的时候，构造二面角的平面角何其艰难，如果说能用空间向量来表示空间平面，这个问题是不是更容易一些，让我们先来看一下如何用空间向量表示空间平面. 导 语 一、求平面的法向量 二、利用法向量证明空间中的位置关系 课时对点练 三、三垂线定理及其逆定理 随堂演练 内容索引 求平面的法向量 一 提示　如图. 容易看出，如果任取两点M1，M2(M1，M2和A三点不共线)，且·n＝0，·n＝0，则n⊥α(α为A，M1，M2所在平面)， 设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的集合构成什么图形？ 问题1 由直线与平面垂直的判定定理可知，在平面α内的任一点M都满足·n＝0，又知满足条件·n＝0的所有点M都在平面α内，这就说明，我们可以用·n＝0表述通过空间内任一点并且与一个向量垂直的平面，我们把·n＝0通常称为一个平面的向量表示式，其中把非零向量n称为平面α的法向量. 提示　一般地，如果题目中有已知的线面垂直关系，则该直线的方向向量即为平面的法向量；否则要利用待定系数法求平面的法向量. 如何求平面的法向量？ 问题2 1.平面的法向量 (1)定义：如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个 向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面α ，则称n为平面α的一个____ ，也称n与平面α垂直，记作 . (2)性质：①如果直线l垂直平面α，则直线l的任意一个 都是平面α的一个 . ②如果n是平面α的一个法向量，则对任意实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，而且平面α的任意两个法向量都 . 非零 垂直 法 向量 n⊥α 方向向量 法向量 平行 知识梳理 ③如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任意一点B，向量一定与向量n垂直，即·n＝ ，从而可知平面α的位置可由n和A唯一确定. 2.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的一个法向量为n＝(x，y，z). (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组. 0 (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量. (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. (2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 注 意 点 <<< 11 　如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系. (1)求平面ABCD的一个法向量； 例 1 12 以点A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)， B(0，1，0)，C(1，1，0)， D，S(0，0，1). ∵SA⊥平面ABCD， ∴＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量. 解 13 (2)求平面SAB的一个法向量； ∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB， ∴AD⊥平面SAB， ∴是平面SAB的一个法向量. 解 14 (3)求平面SCD的一个法向量. 15 在平面SCD中，，＝(1，1，－1). 设平面SCD的一个法向量是n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥，∴ 得方程组∴ 令y＝－1，得x＝2，z＝1，∴n＝(2，－1，1). ∴n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量(答案不唯一). 解 16 求平面的一个法向量的方法 (1)平面垂线的方向向量法，证明一条直线为一个平面的垂线，则这条直线的一个方向向量即为所求. (2)待定系数法求平面的法向量. 反 思 感 悟 17 　如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 跟踪训练 1 18 因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直. 如图，以A为坐标原点，的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Axyz， 则D(0，，0)，E， B(1，0，0)，C(1，，0)， 于是＝(1，，0). 设n＝(x，y，z)为平面ACE的一个法向量， 解 19 则 所以 令y＝－1，则x＝z＝. 所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，). (答案不唯一). 解 20 二 利用法向量证明空间中的位置关系 提示　线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；线面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直；面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 请同学们写出线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理. 问题3 1.直线与平面平行、垂直的判定 如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则 n∥v⇔ ； n⊥v⇔ ，或 . l⊥α l∥α l⊂α 知识梳理 2.两平面平行、垂直的判定 如果n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，则 n1⊥n2⇔ ； n1∥n2⇔ ，或 . α1⊥α2 α1∥α2 α1与α2重合 角度1　向量法证明平行问题 　已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； 例 2 25 建立如图所示的空间直角坐标系. 则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1). 设平面ADE的一个法向量是n1＝(x1，y1，z1)，则n1⊥，n1⊥， 即 令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2)为平面ADE的 一个法向量. 因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1. 又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE. 证明 26 ＝(2，0，0).设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量. 由n2⊥，n2⊥， 得 令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)为平 面B1C1F的一个法向量. 因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F. 证明 (2)平面ADE∥平面B1C1F. 27 证明线面、面面平行问题的方法 (1)用向量法证明线面平行：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内.②证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内.③证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内. (2)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行.当然要注意当法向量坐标中有0时，要使用n1＝λn2(λ∈R)这一形式. 反 思 感 悟 28 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，P是DD1的中点.设Q是CC1上的点. (1)当点Q在什么位置时，BQ∥平面PAO？ 跟踪训练 2 29 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为2， 则O(1，1，0)，A(2，0，0)，P(0，0，1)，B(2，2，0)，D1(0，0，2). 设Q(0，2，c)(0≤c≤2)，所以＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，1)，＝(－2，0，c). 设平面PAO的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，则y＝1，z＝2. 所以平面PAO的一个法向量为n＝(1，1，2). 解 30 若BQ∥平面PAO，则n⊥， 所以n·＝0，即－2＋2c＝0，所以c＝1， 故当Q为CC1的中点时，BQ∥平面PAO. 解 31 (2)若Q是CC1的中点，求证：平面D1BQ∥平面PAO. 32 若Q为CC1的中点，则Q(0，2，1)， 所以＝(－2，0，1)，＝(2，2，－2)， 设平面D1BQ的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则 令x2＝1，则y2＝1，z2＝2， 所以平面D1BQ的一个法向量为n2＝(1，1，2)， 又由(1)可知平面PAO的一个法向量为n1＝(1，1，2)， 所以n1＝n2，所以平面D1BQ∥平面PAO. 证明 33 角度2　向量法证明垂直问题 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.求证： (1)AE⊥CD； 例 3 34 ∵AB，AD，AP两两垂直， ∴以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系. 设PA＝AB＝BC＝1， 则P(0，0，1)，A(0，0，0)，B(1，0，0). ∵∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形， ∴C，E. 设D(0，t，0)，则. 由AC⊥CD，得·＝0， 证明 35 ∴×＝0， 解得t＝， ∴D，∴. 又∵， ∴·××＝0， ∴⊥，即AE⊥CD. 证明 36 (2)PD⊥平面ABE. 37 方法一　∵＝(1，0，0)，， ∴设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由 令y＝2，则z＝－，∴n＝(0，2，－)为平面ABE的一个法向量. ∵，∴n. ∴∥n，∴PD⊥平面ABE. 方法二　由(1)可知. 证明 38 又∵·××(－1)＝0， ∴⊥，即PD⊥AE. 又∵＝(1，0，0)，∴·＝0，∴PD⊥AB. 又AB∩AE＝A，AB，AE⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE. 证明 39 (1)用向量证明线线垂直的基本方法是把两直线的方向向量表示出来，然后证明向量的数量积等于0.也可建立适当的坐标系，然后正确求出其方向向量的坐标，再证明两个向量的数量积为0. (2)用向量法证明线面垂直，可通过证明直线的方向向量与平面的法向量平行来完成. (3)用向量法证明两平面垂直可通过证明两平面的法向量垂直来完成. 反 思 感 悟 40 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中， AB＝2，BC＝CC1＝1，E是CD的中点，F是BC的中点.求证：平面EAD1⊥平面EFD1. 跟踪训练 3 41 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，D1(0，0，1)， E(0，1，0)，F， ∴＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)， ＝(0，－1，1)，. 设平面EAD1的一个法向量是n1＝(x1，y1，z1)， 则 ∴ 证明 42 取x1＝1，则y1＝1，z1＝1， ∴n1＝(1，1，1)为平面EAD1的一个法向量. 设平面EFD1的一个法向量是n2＝(x2，y2，z2)， 则 ∴ 取x2＝2，则y2＝－1，z2＝－1， 证明 43 ∴n2＝(2，－1，－1)为平面EFD1的一个法向量. 又n1·n2＝1×2＋1×(－1)＋1×(－1)＝0， ∴n1⊥n2，∴平面EAD1⊥平面EFD1. 证明 44 三垂线定理及其逆定理 三 提示　l⊥AB.证明：设v∥l，则由⊥α且l⊂α， 可知⊥v，即·v＝0， 由l⊥A'B，则v⊥，v·＝0， 又因为＝－， 所以·v＝(－)·v＝－·v＋·v＝0，因此l⊥AB. 如图，已知AB是平面α的一条斜线且B为斜足(即AB不垂直于α，且AB∩α＝B)，设A'是A在平面α内的射影，l是平面α内的一条直线，当l⊥A'B时，你能判断l与AB之间的关系吗？ 问题4 提示　l⊥A'B. 证明：设v∥l，则由⊥α且l⊂α可知⊥v，即·v＝0.由l⊥AB，则v⊥，v·＝0， 又因为， 所以·v＝()·v＝·v＋·v＝0，因此l⊥A'B. 如图，如果将三垂线定理中的“l⊥A'B”改为“l⊥AB”，你能得到什么结论呢？ 问题5 三垂线定理 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的 垂直，则它也和这条 垂直.简记为：和射影垂直，则和斜线垂直. 三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线和这个平面的一条 垂直，则它也和这条斜线在该平面内的 垂直. 简记为：和斜线垂直，则和射影垂直. 射影 斜线 斜线 射影 知识梳理 (1)(课本例3)如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是一个正方体，求证： A1D⊥BD1. 例 4 49 连接AD1. 因为ABCD－A1B1C1D1是正方体， 所以AB⊥平面ADD1A1， 因此BD1在平面ADD1A1内的射影为AD1. 又因为ADD1A1是正方形，所以A1D⊥AD1， 因此根据三垂线定理可知A1D⊥BD1. 证明 50 (2)(课本例4)如图所示的三棱锥O－ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为△CAB的AB边上的高，求证：OD⊥AB. 因为CO⊥OA，CO⊥OB，OA∩OB＝O，所以CO⊥平面OAB.因此CD在平面OAB内的射影为OD，又因为CD⊥AB，所以根据三垂线定理的逆定理可知OD⊥AB. 证明 51 如图所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD. 例 4 52 如图，取BC的中点O，连接AO交BD于点E，连接PO. 因为PB＝PC，所以PO⊥BC. 又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC， 所以PO⊥平面ABCD，所以AP在平面ABCD内的射影为AO. 在直角梯形ABCD中， 由于AB＝BC＝2CD， 易知Rt△ABO≌Rt△BCD， 所以∠BEO＝∠OAB＋∠DBA ＝∠DBC＋∠DBA＝90°，即AO⊥BD. 由三垂线定理，得PA⊥BD. 证明 53 利用三垂线定理及其逆定理证明垂直的关键是找到平面的垂线、斜线、射影，要区分三垂线定理与三垂线定理的逆定理. 反 思 感 悟 54 如图，点P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC.若O和Q分别是△ABC和△PBC的垂心，求证：OQ⊥平面PBC. 跟踪训练4 55 如图，连接BO并延长交AC于点F， 连接BQ并延长交PC于点M，连接FM， ∵O是△ABC的垂心， ∴BC⊥AE，∵PA⊥平面ABC， 根据三垂线定理得BC⊥PE， ∴BC⊥平面PAE， ∵OQ⊂平面PAE，∴BC⊥OQ， ∵BF⊂平面ABC，∴PA⊥BF， 又BF⊥AC，AC∩AP＝A，AC，AP⊂平面APC， 证明 56 ∴BF⊥平面APC， 因此FM是BM在平面PAC内的射影， ∵BM⊥PC，据三垂线定理的逆定理， 可得FM⊥PC， 从而PC⊥平面BFM， 又OQ⊂平面BFM， ∴OQ⊥PC， ∵PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC， ∴OQ⊥平面PBC. 证明 57 1.知识清单： (1)求平面的法向量. (2)利用法向量判断线面、面面平行与垂直的关系. (3)三垂线定理及其逆定理. 2.方法归纳：数形结合、转化与化归、待定系数法. 3.常见误区：求平面的法向量不能正确赋值. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是 A.(4，2，－2) B.(2，0，4) C.(2，－1，－5) D.(4，－2，2) √ 平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β， 设平面β的法向量为(x，y，z)， 则(2，－1，1)＝λ(x，y，z)，λ≠0， 对比四个选项可知，只有D符合要求. 解析 1 2 3 4 2.已知平面α，β的一个法向量分别为a＝(－1，y，4)，b＝(x，－1，－2)且α⊥β，则x＋y的值为 A.－8 B.－4 C.4 D.8 √ 因为平面α，β的一个法向量分别为 a＝(－1，y，4)，b＝(x，－1，－2)且α⊥β， 所以a·b＝0，即－x－y－8＝0， 则x＋y＝－8. 解析 1 2 3 4 3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，则直线CE垂直于 A.AC B.BD C.A1D1 D.AA1 ∵B1D1⊥C1E， ∴由三垂线定理得B1D1⊥CE， ∵BD∥B1D1， ∴BD⊥CE. 解析 √ 1 2 3 4 4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是　　　. 平行 1 2 3 4 以C1为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 由于A1M＝AN＝， 则M，N. 又C1D1⊥平面BB1C1C， 所以＝(0，a，0)为平面BB1C1C的一个法向量. 因为·＝0，所以⊥， 又MN⊄平面BB1C1C， 所以MN∥平面BB1C1C. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D C C A ABD 题号 8 11 12 13 14 15 答案 13 C B BCD (－2，4，1)或(2，－4，－1) ABC 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)因为A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)， 所以＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， 设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量， 则有 所以x＝y＝z，不妨令x＝1，则n＝(1，1，1)， 所以平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)(答案不唯一). 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由(1)知a·n＝(3，－4，1)·(1，1，1)＝0，所以向量a＝(3，－4，1)与平面ABC平行. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)以D为原点，向量的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1. 则D(0，0，0)，A(1，0，0)， E，C1(0，1，1)，M， ＝(1，0，0)，， . 设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则⇒ 令b＝－1，则c＝2， ∴m＝(0，－1，2). ∵m·＝(0，－1，2)· ＝0＋1－1＝0， ∴⊥m. 又C1M⊄平面ADE，∴C1M∥平面ADE. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F， 得＝(1，0，0)，， 设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令y＝2，则n＝(0，2，1). ∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，∴m⊥n， ∴平面ADE⊥平面A1D1F. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设正方体棱长为a，则B(a，a，0)，D(0，0，0)，A1(a，0，a). 设E(0，a，e)(0≤e≤a). ＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)， ·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0， 所以⊥，即A1E⊥BD. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设平面A1BD，平面EBD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2). 因为＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)， 所以 取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)， n2＝. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2. 所以2－＝0，即e＝， 所以当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 基础巩固 1.若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则 A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.α∥β或α与β重合 √ 因为n＝－3m，所以m∥n，所以α∥β或α与β重合. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则平面ABC的一个单位法向量是 A. B. C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，＝(－1，1，0)，＝(－1，0，1)， 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令x＝1，得n＝(1，1，1)， 于是得与n同向的单位向量为， 与n反向的单位向量为－，D满足； 显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足. 解析 3.点P在平面ABC内的射影是O，且PA，PB，PC两两垂直，那么点O是△ABC的 A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心 √ 因为PC⊥PA，PC⊥PB，PA∩PB＝P， 所以PC⊥平面PAB，所以PC⊥AB. 又点P在平面ABC内的射影为O，连接CO， 则CO是PC在平面ABC内的射影， 由三垂线定理的逆定理可知，AB⊥CO， 同理可证AO⊥BC，即O是△ABC的垂心. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设a，b分别是两条直线a，b上的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ a⊥α，b⊥β，则a是平面α的一个法向量，b是平面β的一个法向量， 则由a⊥b得α⊥β，必要性满足，反之若α⊥β，则法向量a⊥b，充分性满足，应是充要条件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知空间直线l的方向向量是m＝(1，a＋2b，a－1)(a，b∈R)，平面α的法向量n＝(2，3，3).若l⊥α，则a＋b等于 A.2 B.3 C.5 D.4 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为l⊥α，所以m＝λn(λ≠0)， 即则a＋b＝2. 解析 6.(多选)以下命题错误的是 A.直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量b＝(1，2，1)， 则l与m垂直 B.直线l的方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)， 则l⊥α C.两个不同平面α，β的法向量分别为n1＝(2，－1，0)，n2＝(－4，2，0)， 则α∥β D.平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量b＝(1， u，t)是平面α的法向量，则t＝1 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A项，因为a·b＝1－2＋2＝1≠0， 所以a，b不垂直，所以l与m不垂直，故A错误； 对于B项，因为a·n＝－1＋1＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l⊂α，l与α不垂直，故B错误； 对于C项，因为n2＝－2n1， 所以n1∥n2，所以α∥β，故C正确； 对于D项，因为＝(－1，1，1)，＝(－2，2，1)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 向量b＝(1，u，t)是平面α的法向量， 所以 解得故D错误. 解析 7.若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1，2，1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝　　　　　　　　　.  由题意，知 即 所以a＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB＝AC＝13，BC＝10，PA＝5，则P点到BC的距离为　　.  取BC的中点E，连接AE，PE(图略)， ∵PA⊥平面ABC， ∴AE为PE在平面ABC内的射影， 又AB＝AC，∴AE⊥BC， 由三垂线定理得，PE⊥BC， 又AE＝12，PA＝5，∴PE＝13. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 9.已知A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5). (1)求平面ABC的一个法向量； 因为A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5)， 所以＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2)， 设n＝(x，y，z)为平面ABC的一个法向量， 则有 所以x＝y＝z，不妨令x＝1，则n＝(1，1，1)， 所以平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)(答案不唯一). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明：向量a＝(3，－4，1)与平面ABC平行. 由(1)知a·n＝(3，－4，1)·(1，1，1)＝0，所以向量a＝(3，－4，1)与平面ABC平行. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别为棱BB1，CD，AA1的中点.证明： (1)C1M∥平面ADE； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以D为原点，向量的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1. 则D(0，0，0)，A(1，0，0)， E，C1(0，1，1)，M， ＝(1，0，0)，， . 设平面ADE的法向量为m＝(a，b，c)， 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则⇒ 令b＝－1，则c＝2， ∴m＝(0，－1，2). ∵m·＝(0，－1，2)·＝0＋1－1＝0， ∴⊥m. 又C1M⊄平面ADE， ∴C1M∥平面ADE. 证明 (2)平面ADE⊥平面A1D1F. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，F， 得＝(1，0，0)，， 设平面A1D1F的法向量为n＝(x，y，z)， 则⇒ 令y＝2，则n＝(0，2，1). ∵m·n＝(0，－1，2)·(0，2，1)＝0－2＋2＝0，∴m⊥n， ∴平面ADE⊥平面A1D1F. 证明 11.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.则M点的坐标为 A.(1，1，1) B. C. D. √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由题意得C(0，0，0)，D(，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，1)，A(，0)， 则＝(－，0，1)，＝(，－，0)， 设M(a，a，1)，平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)， 则 令z＝，则x＝1，y＝1， 所以n＝(1，1，)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又＝(a－，a－，1)， 所以·n＝a－＋a－＝0， 解得a＝，即M. 方法二　如图，设AC与BD相交于点O，连接OE， 由AM∥平面BDE， 且AM⊂平面ACEF， 平面ACEF∩平面BDE＝OE，得AM∥OE， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又O是正方形ABCD对角线的交点， 所以M为线段EF的中点. 在空间直角坐标系中，E(0，0，1)，F(，1). 由中点坐标公式，知点M的坐标为. 解析 12.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为 A.1∶2 B.1∶1 C.3∶1 D.2∶1 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　连接AE(图略)， ∵PA⊥平面ABCD，且BF⊥PE， 由三垂线定理的逆定理可知，BF⊥AE， ∴∠EAD＝∠ABF，∴△ABF≌△DAE， ∴AF＝DE，即F为AD的中点， ∴AF∶FD＝1∶1. 方法二　建立如图所示的空间直角坐标系，  设正方形边长为1，PA＝a， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则B(1，0，0)，E， P(0，0，a).设点F的坐标为(0，y，0)， 则＝(－1，y，0)，. ∵BF⊥PE，∴·＝0，解得y＝， 即点F的坐标为. ∴F为AD的中点，∴AF∶FD＝1∶1. 解析 13.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为BC，CC1，A1D1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是 A.A1E⊥AC1 B.BF∥平面ADD1A1 C.BF⊥DG D.GE∥HF 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝2， 则A(2，0，0)，A1(2，0，2)， B(2，2，0)，D(0，0，0)，C1(0，2，2)，E(1，2，0)， F(0，2，1)，G(1，0，2)，H(0，1，2). 对于A选项，＝(－1，2，－2)，＝(－2，2，2)， 则·＝2＋4－4＝2≠0，A不正确； 对于B选项，易知平面ADD1A1的一个法向量为n＝(0，1，0)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝(－2，0，1)，因为n·＝0， 则n⊥，又因为BF⊄平面ADD1A1， 因此BF∥平面ADD1A1，B正确； 对于C选项，＝(1，0，2)， 则·＝－2＋2＝0，C正确； 对于D选项，＝(0，2，－2)，＝(0，1，－1)，故＝2，又因为GE，HF不重合，所以GE∥HF，D正确. 解析 14.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为　 　　　　　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (－2，4，1)或(2，－4，－1) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，得＝(－1，－1，2)，＝(1，0，2). 设n＝(x，y，z)，∵n与平面ABC垂直， ∴ 可得∵|n|＝， ∴，解得y＝4或y＝－4. 当y＝4时，x＝－2，z＝1； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当y＝－4时，x＝2，z＝－1. ∴n的坐标为(－2，4，1)或(2，－4，－1). 解析 15.(多选)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点.若点Q在直线B1P上，则下列结论错误的是 A.当Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD B.当Q为线段B1P上靠近点B1的三等分点时，DQ⊥平 面A1BD C.在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD D.不存在点Q，使DQ与平面A1BD垂直 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，以A1为坐标原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 易知，A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，B(1，0，1)， D，P(0，2，0)， 所以＝(1，0，1)， ＝(－1，2，0)，. 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则 取z＝－2，则x＝2，y＝1， 所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2). 假设DQ⊥平面A1BD， 且＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，λ∈R， 则. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为DQ⊥平面A1BD， 所以n＝(2，1，－2)与共线， 所以成立， 但此方程关于λ无解， 因此不存在点Q，使DQ与平面A1BD垂直， 所以选项ABC不正确，选项D正确. 解析 16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点. (1)求证：A1E⊥BD； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示. 设正方体棱长为a，则B(a，a，0)，D(0，0，0)，A1(a，0，a). 设E(0，a，e)(0≤e≤a). ＝(－a，a，e－a)，＝(－a，－a，0)， ·＝a2－a2＋(e－a)·0＝0， 所以⊥，即A1E⊥BD. 证明 (2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设平面A1BD，平面EBD的一个法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2). 因为＝(a，a，0)，＝(a，0，a)，＝(0，a，e)， 所以 取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)， n2＝. 由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2. 所以2－＝0，即e＝， 所以当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 解 第一章　 §1.2　空间向量在立体几何中的应用 <<< $