第1章 1.1.2 空间向量基本定理（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦空间向量基本定理，涵盖共线向量、共面向量定理及推论，通过平面向量基本定理推广设问，以问题链搭建从二维到三维的学习支架，衔接前后知识逻辑。 其亮点在于结合斜三棱柱、长方体等几何模型，通过例题与跟踪训练培养学生推理能力和运算能力，知识梳理结构化呈现定理及注意点，帮助学生构建空间向量知识体系。学生能提升空间观念与逻辑思维，教师可获得系统教学资源，提高教学效率。

1.1.2 空间向量基本定理 第一章　 §1.1　空间向量及其运算 <<< 1.了解共线向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法. 2.理解共线向量基本定理和共面向量定理及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题. 3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念. 学习目标 我们学过的平面向量基本定理可以概括为给出一组二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，给出一组三维的基底，是否可以生成空间中的所有向量.通过今天的学习，我们一起去寻找答案. 导 语 一、共面向量定理 二、空间向量基本定理 课时对点练 三、空间向量基本定理的应用 随堂演练 内容索引 共面向量定理 一 提示　共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa，它适用于空间向量. 平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb，它适用于空间向量. 共线向量基本定理和平面向量基本定理的内容是什么？它们适用于空间向量吗？ 问题1 1.共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在 的实数λ，使得 . 2.共面向量定理： (1)平面向量基本定理：如果平面内两个向量a与b ，则对该平面内任意一个向量c，存在 的实数对(x，y)，使得c＝ . (2)共面向量定理：如果两个向量a，b ，则向量a，b，c共面的充要条件是，存在 的实数对(x，y)，使c＝ . (3)共面向量定理的推论：如果A，B，C三点 ，则点P在平面ABC内的充要条件是，存在 的实数对(x，y)，使＝ . 唯一 b＝λa 不共线 xa＋yb 不共线 xa＋yb 不共线 唯一 唯一 唯一 x＋y 知识梳理 (1)与共线，则A，B，C，D四点不一定共线. (2)若P，A，B，C四点共面，对于空间中的任意一点O，有＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝1，反之亦成立. 注 意 点 <<< 8 　(课本例1)如图所示，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1中，在𝐴𝐶1上和𝐵𝐶上分别有一点𝑀和𝑁，且 ，a，c共面. 例 1 ＝k＝kb＋kc， ＝a＋k＝a＋k(－a＋b)＝(1－k)a＋kb，所以 ＝(1－k)a＋kb－kb－kc＝(1－k)a－kc. a，c共面. 证明 9 　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求证：向量，，共面. 例 1 10 因为M在BD上，且BM＝BD， . . ＝ ＝. . 证明 11 证明空间向量共面或四点共面的方法 (1)向量共面：设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合，即若p＝xa＋yb，则向量p，a，b共面. (2)四点共面：证明空间四点P，M，A，B共面的等价结论 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1). 反 思 感 悟 12 　如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面. 跟踪训练 1 13 ＝a＝b＝c， ＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a， 又AN∶NC＝2∶1，∴b＋c)， ∴b＋c)－a ＝b－a)＋ ∴. ∵三向量有相同的起点A1，∴A1，B，N，M四点共面. 证明 14 二 空间向量基本定理 提示　如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则. 又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＋zk. 在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知， 存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj. 从而＋zk＝xi＋yj＋zk. 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p 能否用i，j，k表示呢？ 问题2 提示　假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x'，y'，z')，使得p＝x'i＋y'j＋z'k，则x'i＋y'j＋z'k＝xi＋yj＋zk. 不妨设x'≠x，则(x'－x)i＝(y－y')j＋(z－z')k. 两边同除以(x'－x)，得i＝j＋k. 由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾.所以有序实数组(x，y，z)是唯一的. 请证明有序实数组的唯一性. 问题3 空间向量基本定理 如果空间中的三个向量a，b，c ，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. (1)xa＋yb＋zc＝0⇔x＝y＝z＝0. (2)表达式xa＋yb＋zc称为向量a，b，c的 或 . (3)如果三个向量a，b，c不共面，则它们的线性组合 能生成所有的空间向量，空间向量的一组基底记为 .此时a，b，c都称为 ；如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式. 不共面 线性组合 线性表达式 xa＋yb＋zc {a，b，c} 基向量 知识梳理 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一组基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同. (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念. (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. 注 意 点 <<< 19 　(1)已知{e1，e2，e3}是空间的一组基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基底. 例 2 20 . 则存在实数λ，μ＝λ＋μ ∴e1＋2e2－e3 ＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3， ∵e1，e2，e3不共面， ∴ 解 21 ∴ ∴. 解 22 (2)如图，四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点.试用基底{a，b，c}表示向量，，，. 23 连接BO ＝c－b－a)＝－a－b＋c. ＝－a＋＝－a＋ ＝－a－b＋c. ＝－a＋c＋－c＋b)＝－a＋b＋c. a. 解 24 (2)(课本例2)如图所示平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，设＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量，，，. 25 ＝a＋b＋c. ＝－＝－a＋b＋c， ＝a＋b－c， ＝－＝a－b＋c. 解 26 用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基底. (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的数乘运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一组基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 反 思 感 悟 27 如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，＝－，.设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示，. 跟踪训练 2 28 连接AN. 由ABCD＝a＋b， ＝－＝－a＋b). ＝b－c， ＝b－b－c). ＝－a＋b)＋b－b－c)＝－a＋b＋c). 连接AD1. ＝－＝－a＋b)，＝b＋c， ＝－a＋b)＋b＋c＝－a＋b＋c. 解 29 空间向量基本定理的应用 三 已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以同一顶点A为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°. (1)求·； 例 3 31 ＝a＝b＝c， {a，b，c}为一组基底. ∵＝b＋c， ＝a－c， ∴·＝(b＋c)·(a－c) ＝a·b＋a·c－b·c－c2 ＝1×1×cos 60°＋1×1×cos 60°－1×1×cos 60°－1 ＝－1＝－. 解 32 (2)求的模. ∵＝a＋b＋c， ∴||2＝|a＋b＋c|2 ＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c ＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6， ∴||＝. 解 33 利用空间向量基本定理求空间向量的数量积、长度、夹角的技巧 根据条件确定基底，一般用已知的向量(向量的长度已知，夹角已知等等)作为基底，有时也可自设基底，然后用基底表示要求的向量，可证平行、垂直.可求两向量的数量积、夹角、长度. 反 思 感 悟 34 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则与所成的角为　　　. 跟踪训练3 90° 35 ＝a＝b＝c， ＝a＋b， a－b－c， ·· ＝a2－a·b－a·c＋b·a－b2－b·c＝×4－×8＝0， ⊥90°. 解析 36 1.知识清单： (1)共线向量基本定理、共面向量定理. (2)空间向量基本定理. 2.方法归纳：数形结合、转化与化归. 3.常见误区：对基底的概念理解不清，导致出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若{a，b，c}是空间的一组基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的另一组基底的向量为 A.a B.b C.c D.2a √ 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝·[(a＋b)＋(a－b)]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A； 对于选项B，b＝a＋b)－(a－b)]＝m－n，故b，m，n共面，排除B； 对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D. 解析 1 2 3 4 2.如图，已知三棱锥O－ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于 A.(b＋c－a) B.(a＋b－c) C.(a－b＋c) D.(c－a－b) √ ＝a＝b＝cc－b－a). 解析 1 2 3 4 3.对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有6＋2＋3，则 A.O，A，B，C四点共面 B.P，A，B，C四点共面 C.O，P，B，C四点共面 D.O，P，A，B，C五点共面 由6＋2＋3 ＝2 ＝2＋3 又它们有公共点P，∴P，A，B，C四点共面. 解析 √ 4.如图，已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点. 则：(1)·＝　　； 16 ＝a＝b＝c， 则|a|＝|c|＝2，|b|＝4， a·b＝b·c＝c·a＝0. ·· ＝b·＝|b|2＝42＝16. 解析 1 2 3 4 1 2 3 4 (2)·＝　　.  0 ·＝ ＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2 ＝22－22＝0. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A B C A AC ) 题号 8 11 12 13 14 　15 答案 7 BD A B 　－1 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝a＝b＝c. 因为M，N，P，Q均为所在棱的中点， b－a， a＋c， ＝－a＋b＋c. ＝λ＋μ 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则－a＋b＋c ＝λ＋μ ＝μ－λ)a＋λb＋μc， ＝2 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 . M， 所以M，N，P，Q四点共面. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝＝ ＝× ＝a＋b＋c)， × ＝b＋c)， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝b＋c)－a＋b＋c) ＝－a. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略). ＝× ＝×＋ ＝. ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ＝λ＋μ 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝λ ∴＝(1－λ－μ＋λ＋μ ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt 由空间向量基本定理，知 ＝(1－λ－μ)m＝λn＝μt， ∴＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值. 基础巩固 1.已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝，向量b＝，则与a，b不能构成空间基底的是 A. B. C. D.或 √ ∵a－b)，∴a，b共面， ∴a，b. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线， 但四点共面，且－x，则实数x的值为 A. B.－ C. D.－ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －x ＝－x ＝－x. 又∵P是空间中任意一点， A，B，C，D四点满足任意三点均不共线， 但四点共面， ∴－x－＝1，解得x＝. 解析 3.如图所示，在四面体A－BCD中，点E是CD的中点，记＝a，＝b，＝c，则等于 A.a－b＋c B.－a＋b＋c C.a－b＋c D.－a＋b＋c √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AE(图略)， ∵E是CD＝b＝c， ∴＝b＋c). ＝－ ＝a， ∴＝－a＋b＋c)＝－a＋b＋c. 解析 4.下列条件中使点M与点A，B，C一定共面的是 A. B. C.＝0 D.＝0 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C＝＝－ M，A，B，C四点共面； 对于A1－1－1＝－1≠1，不能得出 M，A，B，C四点共面； 对于B≠1，所 以M，A，B，C四点不共面； 对于D＝＝－ －3，不为1，所以M，A，B，C四点不共面. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.{e1，e2，e3}是空间的一组基底，向量a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3.若d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为 A.，－1，－ B.，1， C.－，1，－ D.，1，－ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3， 解析 6.(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝a，＝b，＝c，若，＝2，则 A.a－b＋c B.a＋b－c C.a＋b－c D.a－b＋c √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －a－b＋c，故A正确； a－b＋c，故B错误； a－b＋c－(c－b)＝a＋b－c， 故C正确； a＋b－c，故D错误. 解析 7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用，， 作为基向量，则＝　　　　　　　　 .  ∵2＝2＋2＋2 ＝ ＝ ∴. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ) 8.在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱AA'的长为3，且∠A'AB＝∠A'AD＝60°，则·＝　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 如图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'， 因为||＝||＝2，||＝3，∠A'AB＝∠A'AD＝60°，∠BAD＝90°， ·＝0·＝3×2×cos 60°＝3， ·＝· ＝||2＋··＝4＋0＋3＝7. 解析 9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别为A1D1，D1C1，AA1，CC1的中点，求证：M，N，P，Q四点共面. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝a＝b＝c. 因为M，N，P，Q均为所在棱的中点， b－a， a＋c， ＝－a＋b＋c. ＝λ＋μ 则－a＋b＋c ＝λ＋μ 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝μ－λ)a＋λb＋μc， ＝2 . M， 所以M，N，P，Q四点共面. 证明 10.如图所示，在空间四边形OABC中，D是BC的中点，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示向量. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝＝ ＝× ＝a＋b＋c)， ×＝b＋c)， ＝b＋c)－a＋b＋c) ＝－a. 解 11.(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列结论正确的是 A.a－b＋c B.＝a＋b＋c C.||＝ D.cos〈，〉＝ √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝b－a＋c，A错误； ＝a＋b＋c，B正确； ＝a＋b＋c， 则||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝6， 则||＝C错误； ·＝a·(a＋b＋c)＝a2＋a·b＋a·c＝2，则cos＝D正确. 解析 12.已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足＝x＋2y－3，则x2＋y2的最小值为 A. B. C.1 D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝x＋2y－3 ＝－x－2y＋3D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点， 所以－x－2y＋3＝1，即x＝2－2y， 则x2＋y2＝(2－2y)2＋y2＝5y2－8y＋4＝5≥ . 解析 13.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AP＝6，AD＝2，∠BAD＝∠BAP＝∠DAP＝60°，E，F分别为PB，PC上的点，且＝2，，则||等于 A.1 B. C.2 D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，连接AC ＝2， ＝ ＝ ＝－＋ ＝－ 解析 ＝－＋3 又AB＝AP＝6，AD＝2， ∠BAD＝∠BAP＝∠DAP＝60°， ··＝6×2×cos 60°＝6， ·＝6×6×cos 60°＝18，因此， ||＝ ＝ ＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，，，＝2，AC1与平面EFG交于点M，则＝　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝λ0<λ<1)， ＝3＋3 ＝3λ＋3λλ 又因为M，E，F，G四点共面， 所以3λ＋3λ＋λ＝1， 解得λ＝. 解析 15.在如图所示的平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为棱A1D1上一点，且A1N＝λA1D1.若BD⊥AN，则λ的值为　　　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 －1 ＝a＝b＝c， 则{a，b，c}构成空间的一组基底. 设AB＝1，因为BD⊥AN， ·＝0， ＝b－a， ＝c＋λb， 所以(b－a)·(c＋λb)＝0， ＋λ－＝0，所以λ＝－1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：为定值，并求出该定值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略). ＝× ＝×＋ ＝. ∵点D，E，F，M共面， ∴存在实数λ，μ＝λ＋μ 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝λ ∴＝(1－λ－μ＋λ＋μ ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt 由空间向量基本定理，知 ＝(1－λ－μ)m＝λn＝μt， ∴＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值. 证明 第一章　 §1.1　空间向量及其运算 <<< $