第7章 再练一课(范围：§1～§3)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦统计案例核心，以题载法构建“概念辨析-图表分析-定量计算-实际应用”的完整方法体系，强化数据观念与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相关关系与回归分析|10题（单选1/3/4/5、多选7/8、填空11/12、解答13/14）|函数关系与相关关系辨析、散点图直观判断相关性、最小二乘法求回归方程、样本相关系数意义解读|从相关关系概念生成，到图表分析（散点图），再到定量计算（回归方程参数），最终实现预测应用，形成“定性-定量-应用”逻辑链| |独立性检验|5题（单选2/6、多选9、填空10、解答15）|列联表数据补全技巧、卡方统计量计算步骤、关联性判断标准|从列联表构建，到卡方值计算，再到基于临界值的关联性推断，体现“数据整理-统计推断-结论应用”的推理过程|

再练一课(范围：§1~§3) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.下列两个变量之间的关系是相关关系的为(　　) A.匀速直线运动的物体运动的时间与位移 B.学生的成绩和体重 C.路上酒后驾驶的人数和交通事故发生的多少 D.水的体积和重量 答案　C 解析　由匀速直线运动的物体运动的时间与位移的关系公式知，是确定的函数关系，故A不正确；学生的成绩和体重没有什么关系，故B不正确；路上酒后驾驶的人数会影响交通事故发生的多少，但不是唯一因素，它们之间有相关性，故C正确；由水的体积和重量的关系公式知，是确定的函数关系，故D不正确. 2.如图2×2列联表中a，b的值分别为(　　) X Y Y1 Y2 总计 X1 c a e X2 23 d 48 总计 b 78 121 A.54，43 B.53，43 C.53，42 D.54，42 答案　B 解析　由2×2列联表可知，d＝48－23＝25，b＝121－78＝43，a＝78－d＝78－25＝53. 3.根据如下样本成对数据： X 3 4 5 6 7 8 Y 4 2.5 －0.5 0.5 －2 －3 得到的线性回归方程为Y＝X+，则(　　) A.>0，<0 B.>0，>0 C.<0，>0 D.<0，<0 答案　A 解析　根据题意，画出散点图. 根据散点图，知两个变量为负相关，且回归直线与y轴的交点在y轴正半轴，所以>0，<0. 4.设两个变量X和Y之间具有线性相关关系，它们的样本相关系数是r，Y关于X的回归直线的斜率是，纵轴上的截距是，那么必有(　　) A.与r的符号相同 B.与r的符号相同 C.与r的符号相反 D.与r的符号相反 答案　A 解析　因为当>0时，两变量正相关，此时r>0；当<0时，两变量负相关，此时r<0. 5.近日我国相关企业研究表明，随着锂离子电池充放电循环次数的增加，电池内阻增大，可用容量和能量衰减，削弱了电动汽车的续航里程.相关科研团队利用数学建模的方法构建锂离子电池充放电循环次数X(单位：百次)与锂离子电池性能指数Y(0≤Y≤100)的回归模型，通过实验得到部分数据如下表. 充放电循环次数X 3 4 5 6 电池性能指数Y 91 88 82 79 由上表中的数据求得线性回归方程为Y＝X+，则计算可得等于(　　) A.8.2 B.4.2 C.－8.2 D.－4.2 答案　D 解析　由＝4.5， ＝85， 且xiyi＝1 509，＝32+42+52+62＝86， 故＝－4.2. 6.两个分类变量X和Y，值域分别为{X1，X2}和{Y1，Y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c+d＝35，若X与Y有关系的可信程度为90%，则c等于(　　) A.8 B.5 C.6 D.7 答案　B 解析　列2×2列联表如下. Y X X1 X2 总计 Y1 10 21 31 Y2 c d 35 总计 10+c 21+d 66 当c＝5时， χ2＝≈3.024>2.706， 所以c＝5时，X与Y有关系的可信程度为90%，而其余的值c＝8，c＝6，c＝7皆不满足，故选B. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.变量X，Y的n个样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)及其线性回归方程Y＝X+，下列说法正确的有(　　) A.样本相关系数r的绝对值越接近1，表示X，Y的线性相关程度越强 B.|r|的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好 C.偏差的平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好 D.若xi，yi，则点(，)一定在回归直线Y＝X+上 答案　ABD 解析　由样本相关系数的意义可知，当r的绝对值|r|越接近1时，两个随机变量的线性相关性越强，说明模型的拟合效果越好，故选项A，B正确；拟合效果的好坏是由偏差的平方和来体现的，偏差的平方和越大，说明拟合效果越差，故选项C错误；点(，)一定在回归直线上，故选项D正确. 8.每年3，4月间，成批白天鹅从地中海沿岸、南亚等温暖的地方来到天山中部广袤的巴音布鲁克草原.为保护这些白天鹅，某动物保护机构研究了这时期5个区域每公顷草原上白天鹅的平均只数Y与每公顷草原上白天鹅的天敌的平均只数X之间的对应数据，如表所示： X 10 15 20 25 30 Y 11 10 8 6 5 根据表中的数据计算得线性回归方程为Y＝X+14.4，则以下结论正确的是(　　) A.Y与X负相关 B.回归直线一定经过点(25，6) C.估计当白天鹅的天敌每公顷平均只数为5时，白天鹅每公顷平均只数大约为13 D.当X＝25时，偏差的绝对值最小 答案　AC 解析　由表格数据可知，随着X的增加，Y随之减少，所以Y与X负相关，A正确； 因为＝20，＝8，故回归直线Y＝X+14.4必过点(20，8)，不一定过点(25，6)，B错误； 由8＝×20+14.4，解得＝－0.32，所以线性回归方程为Y＝－0.32X+14.4， 所以当X＝5时，Y＝12.8≈13，C正确； 偏差如下： 当X＝10时，11－11.2＝－0.2； 当X＝15时，10－9.6＝0.4； 当X＝20时，8－8＝0； 当X＝25时，6－6.4＝－0.4； 当X＝30时，5－4.8＝0.2， 故当X＝20时，偏差的绝对值最小，D错误. 9.某大学为了解学生对学校食堂服务的满意度，随机调查了50名男生和50名女生，每名学生对食堂的服务给出满意或不满意的评价，得到如下表所示的列联表，经计算χ2≈4.762，则下列说法错误的是(　　) 性别 满意度 满意 不满意 男 30 20 女 40 10 A.该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为 B.调研结果显示，该学校男生比女生对食堂服务更满意 C.依据独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价有差异 D.依据独立性检验，认为男、女生对该食堂服务的评价没有差异 答案　ABD 解析　对于A，该学校男生对食堂服务满意的概率的估计值为=，故A错误；对于B，该学校女生对食堂服务满意的概率的估计值为=>，故B错误；因为χ2≈4.762>3.841，所以认为男、女生对该食堂服务的评价有差异，故C正确，D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.某高校有10 000名学生，其中女生3 000名，男生7 000名.为调查爱好体育运动是否与性别有关，用分层随机抽样的方法抽取120名学生，制成独立性检验的2×2列联表，则a－b＝　　　　.(用数字作答)  是否爱好体育运动 性别 男 女 总计 爱好体育运动 a 9 不爱好体育运动 28 b 总计 120 答案　29 解析　根据分层随机抽样原理，计算抽取男生120×＝84(人)，女生120×＝36(人)， 所以a＝84－28＝56，b＝36－9＝27， 所以a－b＝56－27＝29. 11.若对甲、乙、丙3组不同的成对数据作线性相关性检验，得到这3组成对数据的样本相关系数依次为0.93，0.42，－0.95，则线性相关程度最强的一组是　　　　.(填甲、乙、丙中的一个) 答案　丙 解析　两个变量y与x的一元线性回归模型中，它们的样本相关系数|r|越接近于1，这个模型的两个变量线性相关程度就越强，在甲、乙、丙中，所给的数值中－0.95的绝对值最接近于1，所以丙的线性相关程度最强. 12.某产品在某零售摊位上的零售价X(单位：元)与每天的销售量Y(单位：个)的统计资料如表所示： X 16 17 18 19 Y 50 44 41 31 由上表可得线性回归方程Y＝X+中的＝－6，则＝　　　　，据此模型预计零售价定为15元，每天的销售量为　　　　个. 答案　146.5　56.5 解析　由题意知＝17.5，＝41.5， 代入线性回归方程得＝146.5， 所以线性回归方程为Y＝－6X+146.5， 当X＝15时，Y＝146.5－15×6＝56.5. 四、解答题(共37分) 13.(12分)PM2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物(也称可入肺颗粒物).为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM2.5的数据如表所示： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量X(万辆) 50 51 54 57 58 PM2.5的浓度Y (微克/立方米) 69 70 74 78 79 (1)请根据表格数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出散点图；(4分) (2)根据表格数据，用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程Y＝X+；(5分) (3)若周六同一时间的车流量是25万辆，试根据(2)中求出的线性回归方程预测此时PM2.5的浓度为多少(保留整数).(3分) 解　(1)散点图如图. (2)因为＝54， ＝74. (xi－)(yi－)＝(－4)×(－5)+(－3)×(－4)+3×4+4×5＝64， (xi－)2＝(－4)2+(－3)2+32+42＝50， 所以＝1.28， ＝74－1.28×54＝4.88， 故Y关于X的线性回归方程为Y＝1.28X+4.88. (3)当X＝25时，Y＝1.28×25+4.88＝36.88≈37，所以可以预测此时PM2.5的浓度约为37微克/立方米. 14.(12分)某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2023年连续六个月(5~10月)的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示. (1)由折线图可以看出，可用一元线性回归模型拟合月利润Y(单位：百万元)与月份代码X之间的关系，求Y关于X的线性回归方程Y＝X+，并据此预测该公司2024年4月份的利润；(6分) (2)甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有A，B两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新型材料的不稳定性会导致材料损坏的时间不同，现对A，B两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到如下频数统计表，若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？(用频率估计概率)(6分) 　　　使用寿命 材料类型　　 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B 10 30 40 20 100 参考数据：＝91，xiyi＝371. 参考公式：， . 解　(1)由折线图可知成对数据(x，y)共有6组，即(1，11)，(2，13)，(3，16)，(4，15)，(5，20)，(6，21).计算可得， ×(1+2+3+4+5+6)＝3.5， ×(11+13+16+15+20+21)＝16. ∴＝2， ＝16－2×3.5＝9， ∴月利润Y关于月份代码X的线性回归方程为Y＝2X+9， 当X＝12时，Y＝2×12+9＝33. 故预测甲公司2024年4月份的利润为33百万元. (2)由题意知，A型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1， ∴A型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数＝1×0.2+2×0.35+3×0.35+4×0.1＝2.35. B型号的新型材料可使用1个月，2个月，3个月，4个月的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2， ∴B型号的新型材料对应产品的使用寿命的平均数＝1×0.1+2×0.3+3×0.4+4×0.2＝2.7. ∵<， ∴甲公司的负责人应该采购B型号的新型材料. 15.(13分)某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调查.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间[0，30]内，按[0，5)，[5，10)，[10，15)，[15，20)，[20，25)，[25，30]分成6组，其频率分布直方图如图所示. (1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；(3分) (2)将网购消费金额不少于20千元的人称为网购迷，补全下面的2×2列联表，试问是否为网购迷与性别有关系吗？(4分) 网购人群类别 性别 男 女 总计 网购迷 20 非网购迷 45 总计 100 (3)调查显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示： 网购总 次数 支付宝 支付次数 银行卡 支付次数 微信 支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为ξ，求ξ的均值.(6分) 附：χ2＝. 解　(1)依题意， 因为0.01×5+0.02×5+0.04×5＝0.35<0.5， 而0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×5＝0.65>0.5， 所以中位数位于[15，20)之间， 所以中位数为15+＝17.5. (2)提出假设H0：是否为网购迷与性别无关. 依题意，消费金额不少于20千元的频率为 0.04×5+0.03×5=0.35， 所以网购迷人数为100×0.35=35， 非网购迷的人数为100-35=65. 所以补全2×2列联表如下. 网购人群类别 性别 男 女 总计 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 总计 60 40 100 所以χ2=≈6.593. 因为6.593>5.024，所以我们认为H0不成立，即认为是否为网购迷与性别有关. (3)根据统计数据，甲使用支付宝的概率为，乙使用支付宝的概率为，甲、乙两人在下周内各自网购2次，两人采用支付宝支付的次数之和ξ的所有可能的取值为0，1，2，3，4. P(ξ＝0)＝×， P(ξ＝1)＝×××+×××， P(ξ＝2)＝×+×××××+×， P(ξ＝3)＝×××+×××， P(ξ＝4)＝×. 所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 所以ξ的均值Eξ＝+2×+3×+4×. 学科网（北京）股份有限公司 $