第6章 4.2 超几何分布（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦超几何分布核心知识点，前承二项分布（有放回抽样），通过对比不放回抽样情境引入，构建“概念辨析-分布列求解-均值计算”的学习支架，涵盖定义、特征、概率公式及均值公式。 以问题链驱动学习，结合产品检验、学生干部选拔等实例，引导学生用数学眼光观察抽样差异，用数学思维辨析超几何分布特征，课中例题助教师突破重难点，课后练习供学生巩固，提升应用能力。

4.2　超几何分布 学习目标　1.通过具体实例，了解超几何分布的概念与特征.2.会求超几何分布的概率及分布列.3.掌握超几何分布的均值的求解方法. 导语 若盒子中有4个白球和3个黑球，有放回地抽取3个球，则抽到黑球的个数X满足二项分布，当不放回地抽取3次时，X的分布列又有怎样的规律呢？这就是我们这节课研究的内容. 一、超几何分布的概念 问题1　已知在10件产品中有4件次品，分别采取放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X＝2时对应的概率. 提示　若采用放回抽样，X服从二项分布，即X~B(3，0.4)，P(X＝2)＝×0.42×0.6＝0.288. 若采用不放回抽样，那么各次试验条件就不同了，不是伯努利试验类型，此时，只能用古典概型求解，首先，从这10件产品中任取3件，共有种取法；X的可能取值为0，1，2，3.其中，“X＝2”表示“任取的3件产品中含2件次品”，故事件“X＝2”的概率为P(X＝2)＝＝0.3. 知识梳理 一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么 P(X＝k)＝，max{0，n－(N－M)}≤k≤min{n，M}，其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N+. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. 注意点： (1)超几何分布的特点：不放回抽样. (2)超几何分布的实质是古典概型. 例1　(多选)下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是(　　) A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 答案　ACD 解析　由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选ACD. 反思感悟　判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点 (1)总体是否可分为两类明确的对象(多类对象可转化为两类对象). (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 跟踪训练1　(多选)一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量，其中服从超几何分布的是(　　) A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的最小号码 C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分 D.X表示取出的黑球个数 答案　CD 解析　由超几何分布的概念知CD符合. 二、超几何分布的分布列 例2　某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，4名女生，从中选出4人参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数.求X的分布列. 解　依题意，随机变量X服从超几何分布， 所以P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3，4). 所以P(X＝0)＝， P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， P(X＝4)＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 反思感悟　(1)在产品抽样检验中，如果采用的是不放回抽样，则抽到的次品数服从超几何分布. (2)如果随机变量X服从超几何分布，只需代入公式即可求得相应概率，关键是明确随机变量X的所有取值. 跟踪训练2　为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设事件A为“选出的4人中恰好有2名种子选手，且这2名种子选手来自不同协会”，求事件A发生的概率； (2)设随机变量X为选出的4人中种子选手的人数，求X的分布列. 解　(1)由题意可得P(A)＝. (2)随机变量X的可能取值为1，2，3，4， 则P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， P(X＝4)＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 三、超几何分布的均值 问题2　计算例2中的EX，你能发现服从超几何分布的随机变量的均值与n，M，N有关系吗？ 提示　若X服从超几何分布，则EX＝. 知识梳理 超几何分布的均值：一般地，当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝. 例3　(课本例4)　从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛： (1)求所选3人都是男生的概率； (2)求所选3人中恰有1名女生的概率； (3)求所选3人中至少有1名女生的概率； (4)设所选3人中女生的人数为X，求X的分布列及EX. 解　依题意知从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，共有种选法，且每一种选法都是等可能的. (1)所选3人都是男生的概率为=. (2)所选3人中恰有1名女生的概率为=. (3)所选3人中至少有1名女生的概率为=. (4)依题意知X服从参数为6，2，3的超几何分布，其分布列为 P(X=k)=(k=0，1，2)，如表： X 0 1 2 P 根据均值的定义，可知 EX=0×+1×+2×=1. 例3　某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表.表中部分数据不清楚，只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为. 专业 性别 中文 英语 数学 体育 男 n 1 m 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同). (1)求m，n的值； (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； (3)设ξ为选出的3名同学中是女生或专业为数学的人数，求随机变量ξ的分布列、均值. 解　(1)设事件A为“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”， 由题意，可知数学专业的同学共有(1+m)名， 则P(A)＝， 解得m＝3. 因为m+n+6＝10，所以n＝1. (2)设事件B为“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”， 则P(B)＝. (3)方法一　由题意，可知这10名同学中是女生或专业为数学的人数为7，ξ的可能取值为0，1，2，3. P(ξ＝0)＝， P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 均值Eξ＝0×+1×+2×+3×. 方法二　由题意知随机变量ξ服从参数为n＝3，M＝7，N＝10的超几何分布， 故Eξ＝. 反思感悟　求超几何分布均值的步骤 (1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值. (2)利用超几何分布的均值公式求解. 跟踪训练3　2024年7月26日第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，为了保证奥运赛事的顺利组织和运行，以及做好文化交流、信息咨询、观众引导等多方面的工作，每项比赛都需要若干名志愿者参加服务，每名志愿者可服务多个项目.100米跨栏、200米、400米、800米、1 500米、5 000米比赛在法兰西体育场举行. (1)志愿者汤姆可以在以上6个项目中选择3个参加服务，求汤姆在选择200米服务的条件下，选择1 500米服务的概率； (2)为了调查志愿者参加服务的情况，从仅参加1个项目的志愿者中抽取了10名同学，其中6名参加5 000米服务，4名参加800米服务.现从这10名同学中随机选取3名同学做进一步调查.将其中参加800米服务的人数记作X，求随机变量X的分布列和均值. 解　(1)设“汤姆选择的3个服务中有200米服务”为事件A， “汤姆选择的3个服务中有1 500米服务”为事件B， 则P(A)＝，P(AB)＝， 所以P(B|A)＝. (2)X的值可能为0，1，2，3，且P(X＝0)＝， P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， P(X＝3)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以EX＝0×+1×+2×+3×. 1.知识清单：超几何分布的概念及特征. 2.方法归纳：类比. 3.常见误区：判断随机变量是不是超几何分布. 1.(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　) A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B.从3台甲型冰箱和2台乙型冰箱中任取2台，记X表示所取的2台冰箱中甲型冰箱的台数 C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 答案　ABD 解析　依据超几何分布模型定义可知，ABD中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布. 2.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设取出红球的个数为X，易知X服从超几何分布. ∴P(X＝2)＝. 3.有10个游戏币，其中3个是假币，从中任取两个，若X表示取得假币的个数，则P(X<2)等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，所以P(X<2)＝+. 4.袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则得分的均值为　　　　. 答案　1.5 解析　用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布，且N＝10，M＝3，n＝5，于是EX＝＝1.5. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为(　　) A.N＝15，M＝7，n＝10 B.N＝15，M＝10，n＝7 C.N＝22，M＝10，n＝7 D.N＝22，M＝7，n＝10 答案　A 解析　根据超几何分布概率模型得N＝15，M＝7，n＝10. 2.在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　记X为2张中的中奖数，则P(X＝2)＝. 3.2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚/套，巢湖是继《太湖》(5枚/套)、《鄱阳湖》(3枚/套)、《洞庭湖》(4枚/套)后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从以上特种邮票中各取1套得到15枚邮票，再从中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为X，则EX等于(　　) A. B. C.1 D. 答案　A 解析　依题意，X的可能取值有0，1，2， 则P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝， 则EX＝0×+1×+2×. 4.下列说法错误的有(　　) A.若随机变量X的均值EX＝4，则E(2X－1)＝7 B.若随机变量Y的方差DY＝3，则D(2Y+5)＝6 C.将一枚质地均匀的硬币抛掷3次，记正面向上的次数为X，则X服从二项分布 D.从7名男生、3名女生共10名学生中随机选取5名学生，记选出女生的人数为X，则X服从超几何分布 答案　B 解析　对于A，因为E(2X－1)＝2EX－1＝2×4－1＝7，故A正确； 对于B，因为D(2Y+5)＝4DY＝4×3＝12，故B错误； 对于C，根据二项分布的概念可知随机变量X服从B，故C正确； 对于D，根据超几何分布的概念可知随机变量X服从超几何分布，故D正确. 5.盒中有10个螺丝钉，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取4个，则概率是的事件为(　　) A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的 C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的 答案　C 解析　设“X＝k”表示“取出的螺丝钉恰有k个是好的”， 则P(X＝k)＝(k＝1，2，3，4).所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，所取螺丝钉恰有2个是好的概率为. 6.在10个排球中有6个正品，4个次品，从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，由超几何分布的概率计算公式可知，当0个正品4个次品时，P＝，当1个正品3个次品时，P＝，所以正品数比次品数少的概率为+. 7.(5分)某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人.现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝　　　　. 答案　 解析　易知P(X＝1)＝. 8.(5分)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的均值为，则口袋中白球的个数为　　　. 答案　3 解析　设从口袋中取2个球，取到白球个数为ξ，设口袋中白球个数为M，则ξ服从参数为N＝7，M，n＝2的超几何分布， ∴Eξ＝， ∴M＝3. 9.(10分)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(7分) (2)他能及格的概率.(3分) 解　(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X， X的可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 则P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)， P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)他能及格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)+P(X＝3)＝+. 10.(14分)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下： 分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91. 分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89. (1)求抽取的这20位客户评分的25%分位数；(5分) (2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和均值.(9分) 解　(1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94. 因为20×25%＝5， 所以抽取的这20位客户评分的25%分位数为＝75. (2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分； 分公司B中75分以下的有62分，70分，73分， 所以上述不满意的客户共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人. 所以X的所有可能取值为1，2，3. P(X＝1)＝， P(X＝2)＝， P(X＝3)＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P X的均值 EX＝1×+2×+3×. 11.已知在10件产品中存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ＝1)＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A.10% B.20% C.30% D.40% 答案　B 解析　设10件产品中有x件次品， 则P(ξ＝1)＝， 所以x＝2或x＝8. 因为次品率不超过40%，所以x＝2， 所以这10件产品的次品率为＝20%. 12.已知随机变量X的概率满足P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3，4，则下列说法错误的是(　　) A.P(X＝2)＝ B.EX＝ C.甲每次射击命中的概率为0.6，甲连续射击10次的命中次数X满足此分布列 D.一批产品共有10件，其中6件正品，4件次品，从10件产品中不放回地随机抽取4件，抽到的正品的件数X满足此分布列 答案　C 解析　对于A，P(X＝2)＝，A正确； 对于B，方法一　EX＝0×P(X＝0)+1×P(X＝1)+2×P(X＝2)+3×P(X＝3)+4×P(X＝4) ＝+2×+3×+4×+2×+3×+4×. 方法二　由题意得X服从超几何分布，且N＝10，M＝6，n＝4，则EX＝，B正确； 对于C，由每次射击相互独立，选项服从二项分布，而题干中X服从超几何分布，C错误； 对于D，由超几何分布的定义知，D正确. 13.(多选)一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是(　　) A.P(X＝1)＝ B.X+Y＝4 C.EX>EY D.EZ＝ 答案　BD 解析　由条件可知，袋子中有6个黑球，4个白球，又共取出4个球，所以X+Y＝4，故B正确； X的可能取值为0，1，2，3，4， P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝2)＝，P(X＝3)＝， P(X＝4)＝，故A错误； Y的可能取值为0，1，2，3，4，且P(Y＝0)＝P(X＝4)，P(Y＝1)＝P(X＝3)，P(Y＝2)＝P(X＝2)，P(Y＝3)＝P(X＝1)，P(Y＝4)＝P(X＝0)， 则EX＝，EY＝，所以EX<EY，故C错误； Z的可能取值为4，5，6，7，8，且P(Z＝4)＝P(X＝0)，P(Z＝5)＝P(X＝1)，P(Z＝6)＝P(X＝2)，P(Z＝7)＝P(X＝3)，P(Z＝8)＝P(X＝4)， 所以EZ＝，故D正确. 14.(5分)50张彩票中只有2张中奖票，今从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，n至少为　　　　　. 答案　15 解析　用X表示中奖票数， P(X≥1)＝+>0.5⇒+>， ∴+>， 解得15≤n≤84，n∈N+. 又n≤50，∴15≤n≤50，n∈N+， ∴n至少为15. 15.(15分)在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件产品中任取3件，求： (1)取出的3件产品中一等品件数为X的分布列；(7分) (2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.(8分) 解　(1)由于从10件产品中任取3件的样本点总数为，从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的样本点数为，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P(X＝k)＝，k＝0，1，2，3. ∴随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3. 由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1∪A2∪A3， 又P(A1)＝， P(A2)＝P(X＝2)＝， P(A3)＝P(X＝3)＝. ∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)＝P(A1)+P(A2)+P(A3)＝++. 学科网（北京）股份有限公司 $