第6章 2.1 随机变量（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦“随机变量”核心知识点，通过奥运射击环数、掷骰子点数等实例引入，引导学生从具体现象中抽象出随机变量概念，再通过列举取球次数、卡片数字和等结果，学习用随机变量表示事件，构建从具体到抽象再到应用的完整学习支架。 该资料以情境化问题链驱动学习，如射击环数等实例培养学生用数学眼光观察现实世界，通过概念辨析、延伸探究（如乒乓球比赛局数）发展数学思维，用符号（X,ξ）表示事件体现数学语言表达。课中助力教师引导学生逻辑推理，课后通过分层练习（单选、多选、解答题）帮助学生巩固概念、查漏补缺。

2.1　随机变量 学习目标　1.通过具体实例，了解随机变量的概念.2.了解随机变量与函数的区别与联系.3.能列出随机变量的取值所表示的事件. 导语 在奥运射击运动中，运动员射击一次，可能出现命中0环，命中1环……命中10环等结果，若用X来表示他一次射击所命中的环数，则X为随机变量. 一、随机变量的概念 问题　下述现象有哪些共同特点？ (1)某人在射击训练中，射击一次，命中的环数X是1，2，3，…，10中的某一个数； (2)抛掷一颗骰子，向上的点数Y是1，2，3，4，5，6中的某一个数； (3)新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女.如果将男婴用0表示，女婴用1表示，那么抽查的结果Z是0和1中的某一个数. 提示　上述现象中的X，Y，Z，实际上是把每个随机试验的样本点都对应一个确定的实数，即在试验结果(样本点)与实数之间建立了一个对应关系. 知识梳理 在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示.在这个对应关系下，数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量.随机变量常用字母X，Y，ξ，η等来表示. 例1　判断下列各个量是否为随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被抽出卡片的号数； (2)抛两枚骰子，出现的点数之和； (3)体积为8 cm3的正方体的棱长. 解　(1)被抽取卡片的号数可能是1，2，…，10，出现哪种结果是随机的，是随机变量. (2)抛两枚骰子，出现的点数之和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，共11种结果，出现哪种结果都是随机的，因此是随机变量. (3)正方体的棱长为定值，不是随机变量. 反思感悟　随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值. 跟踪训练1　指出下列哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由. (1)某人射击一次命中的环数； (2)掷一枚质地均匀的骰子，出现的点数； (3)某个人的属相随年龄的变化. 解　(1)某人射击一次，可能命中的所有环数是0，1，…，10，而且出现哪一个结果是随机的，因此命中的环数是随机变量. (2)掷一枚骰子，出现的结果是1点，2点，3点，4点，5点，6点中的一个，且出现哪一个结果是随机的，因此出现的点数是随机变量. (3)一个人的属相在他出生时就确定了，不随年龄的变化而变化，因此属相不是随机变量. 二、列举随机现象的结果 例2　写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果. (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和. 解　(1)设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…11，{X＝i}表示“前(i－1)次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，3，4，…，11”. (2)设所取卡片上的数字之和为X， 则X＝3，4，5，6，7. {X＝3}表示“取出标有1，2的两张卡片”； {X＝4}表示“取出标有1，3的两张卡片”； {X＝5}表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”； {X＝6}表示“取出标有2，4的两张卡片”； {X＝7}表示“取出标有3，4的两张卡片”. 延伸探究1　若本例(2)中条件不变，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量Y，请问Y有哪些取值？ 其中{Y＝2}表示什么含义？ 解　Y的所有可能取值有1，2，3. {Y＝2}表示“取出标有1，3或2，4的两张卡片”. 延伸探究2　甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用X表示需要比赛的局数，写出X所有可能的取值，并写出表示的试验结果. 解　根据题意可知X的可能取值为4，5，6，7. {X＝4}表示“共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局”； {X＝5}表示“在前4局中有1人输了一局，后一局此人胜出”； {X＝6}表示“在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出”； {X＝7}表示“在前6局中，两人打平，最后一局有1人胜出”. 反思感悟　解答用随机变量表示随机试验的结果问题的关键点和注意点 (1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果. (2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果. 三、用随机变量表示事件 例3　(课本例2)　连续抛掷一枚均匀的硬币2次，用X表示这2次抛掷中出现正面的次数，则X是一个随机变量.分别说明下列集合所代表的随机事件： (1){X=0}；　(2){X=1}； (3){X≤1}；　(4){X>0}. 解　(1){X=0}表示使得随机变量对应于0的那些结果组成的事件，即2次都是出现反面.所以{X=0}表示“2次都是出现反面”. (2){X=1}表示“恰有1次出现正面”. (3){X≤1}表示“至多1次出现正面”. (4){X>0}表示“至少1次出现正面”. 例3　盒中有9个正品和3个次品零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为ξ. (1)写出ξ的所有可能取值； (2)写出{ξ＝0}，{ξ＝1}，{ξ＝2}，{ξ＝3}所表示的事件. 解　(1)根据题意，可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3. (2){ξ＝0}表示“第一次取得正品”. {ξ＝1}表示“第一次取得次品，第二次取得正品”. {ξ＝2}表示“前两次取得次品，第三次取得正品”. {ξ＝3}表示“前三次取得次品，第四次取得正品”. 反思感悟　解决这类题的关键是明确事件所表示的含义. 跟踪训练2　用X表示10次射击中命中目标的次数，分别说明下列集合所代表的随机事件： (1){X＝8}；(2){1<X≤9}；(3){X≥1}；(4){X<1}. 解　(1){X＝8}表示“10次射击中恰好命中目标8次”； (2){1<X≤9}表示“10次射击中命中目标次数不少于2次，不超过9次”； (3){X≥1}表示“10次射击中至少命中目标1次”； (4){X<1}表示“10次射击都没有命中目标”. 1.知识清单：随机变量的概念、特征. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：随机变量的取值不明确. 1.(多选)给出下列四个命题正确的是(　　) A.某次数学期中考试后，其中一个考场30名考生中做对选择题第7题的人数是随机变量 B.黄河每年的最大流量是随机变量 C.某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量 D.方程x2－2x－3＝0的根的个数是随机变量 答案　ABC 解析　选项ABC对应的量都是随机的实数，故正确；选项D中方程x2－2x－3＝0的根有2个，是确定的，不是随机变量. 2.投掷两枚硬币，不是随机变量的为(　　) A.掷硬币的个数 B.正面向上的个数 C.反面向上的个数 D.正面向上和反面向上的个数之差的绝对值 答案　A 解析　掷硬币的个数为2，不是随机变量；正面向上的个数为0，1，2，是随机变量；反面向上的个数为0，1，2，是随机变量；正面向上和反面向上的个数之差的绝对值为0，2，是随机变量. 3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则{X＝1}表示　　　　　　　　　　　. 答案　所选3人中有1名女生 4.在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考试规则如下：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是　　　　　　　　. 答案　300，100，－100，－300 解析　可能有回答全对，两对一错，两错一对，全错四种结果，相应得分为300分，100分，－100分，－300分. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.下列变量中，不是随机变量的是(　　) A.一射击手射击一次命中的环数 B.标准大气压下，水沸腾时的温度 C.抛掷两颗骰子，所得点数为1的颗数 D.某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数 答案　B 解析　因为标准大气压下，水沸腾时的温度是一个常量，所以B不是随机变量；其余选项均是随机变量. 2.袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量X，则X的所有可能取值是(　　) A.1，2，…，5 B.1，2，…，10 C.2，3，…，10 D.1，2，…，6 答案　C 解析　第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任意一个，两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10. 3.抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果为(　　) A.第一枚6点，第二枚2点 B.第一枚5点，第二枚1点 C.第一枚1点，第二枚6点 D.第一枚6点，第二枚1点 答案　D 解析　由“X≥5”知，第一枚掷出点数与第二枚掷出点数之差不小于5. 4.袋中装有10个红球、5个黑球.每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止.若抽取的次数为X，则表示“放回5个红球”事件的是(　　) A.{X＝4} B.{X＝5} C.{X＝6} D.{X≤5} 答案　C 解析　因为“放回5个红球”表示前5次摸到的都是黑球，第6次摸到红球，所以X＝6. 5.(多选)一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌(大王和小王)，从中任取4张，则下列选项中是随机变量的是(　　) A.所取牌数 B.所取正牌和大王的总数 C.这副扑克牌中正牌数 D.取出的副牌的个数 答案　BD 解析　对于A，所取牌数为4，是一个常数，不是随机变量，所以A错误； 对于B，4张牌中所取正牌和大王的总数可能为3，4，所以是随机变量，所以B正确； 对于C，这副扑克牌中正牌数为52，是一个常数，不是随机变量，所以C错误； 对于D，4张牌中所取出的副牌的个数可能为0，1，2，所以是随机变量，所以D正确. 6.(多选)甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局.用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示的可能结果是(　　) A.甲赢三局 B.甲赢两局、输一局 C.甲赢一局、输两局 D.甲、乙平局三次 答案　CD 解析　甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，故{ξ＝3}有两种情况，即甲赢一局、输两局或甲、乙平局三次. 7.(5分)甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为X，则X的可能取值为　　　　. 答案　0，1，2，3 解析　甲在3次射击中，可能一次未中，也可能中1次，2次，3次. 8.(5分)已知Y＝2X为随机变量，Y的取值为1，2，3，…，10，则X的取值为　　　　　　　　　　　　. 答案　，1，，2，，3，，4，，5 解析　由Y＝2X知，X为Y的一半，所以X的取值为，1，，2，，3，，4，，5. 9.(10分)某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件次品、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过.若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内得分为X，写出X的可能取值并写出每个取值所表示的事件. 解　X的可能取值为0，1，2. {X＝0}表示“在两天检查中均发现了次品”； {X＝1}表示“在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品”； {X＝2}表示“在两天检查中均没有发现次品”. 10.(10分)一个袋中装有除颜色外完全相同的5个白球和5个黑球，从中任取3个，抽到白球的个数为X，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果如何都加上6分，最终得分为Y. (1)求X的所有可能取值；(3分) (2)求最终得分Y的可能取值；(3分) (3)若P(X>2)＝，求P(Y≤16).(4分) 解　(1)由题意得，X可能取值为0，1，2，3. (2)由题意可得Y＝5X+6，而X可能的取值为0，1，2，3，所以Y对应的值为5×0+6，5×1+6，5×2+6，5×3+6.即Y的可能取值为6，11，16，21. (3)因为X>2，所以Y＝5X+6>16， 所以P(Y>16)＝P(X>2)＝， 所以P(Y≤16)＝1－P(Y>16)＝1－. 11.抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有可能的取值为(　　) A.0≤ξ≤5，ξ∈N B.－5≤ξ≤0，ξ∈Z C.1≤ξ≤6，ξ∈N D.－5≤ξ≤5，ξ∈Z 答案　D 解析　第一枚的最小值为1，第二枚的最大值为6，差为－5.第一枚的最大值为6，第二枚的最小值为1，差为5.故ξ的取值范围是－5≤ξ≤5，ξ∈Z. 12.某人进行射击，共有10发子弹，若击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则{ξ＝10}表示的试验结果是(　　) A.第10次击中目标 B.第10次未击中目标 C.前9次未击中目标 D.第9次击中目标 答案　C 解析　由题意知，{ξ＝10}表示“前9次未击中目标，第10次击中目标或未击中目标”. 13.(5分)袋中装有除颜色外，质地、大小完全相同的4个小球，其中有1个红球、3个白球，从中任意取出1个观察颜色，取后不放回，如果取出的球的颜色是红色，则停止取球.如果是白色，则继续取球，直到取到红球时停止，记停止时的取球次数为ξ，则ξ所有可能取值的集合为　　　　　　　　　，ξ＝2的意义为　　　　　　　　　　　　　　. 答案　{1，2，3，4}　第一次取到白球，第二次取到红球，并且停止取球 解析　若第一次取到红球，则停止取球，此时ξ＝1；若第一次取到白球，第二次取到红球，则停止取球，此时ξ＝2； 若第一次和第二次都取到白球，第三次取到红球，则停止取球，此时ξ＝3； 若前3次都取到白球，则第四次必取到红球，则停止取球，此时ξ＝4； 综上所述，ξ所有可能取值的集合为{1，2，3，4}.ξ＝2的意义为第一次取到白球，第二次取到红球，并且停止取球. 14.(5分)一用户在打电话时忘记了最后3个号码，只记得最后3个数两两不同，且都大于5.于是他随机拨最后3个数(两两不同)，设他拨到正确号码所用的次数为X，随机变量X的可能值有　　　　个. 答案　24 解析　后3个数是从6，7，8，9四个数中取3个组成的，共有＝24(个). 15.(多选)有5名运动员参加乒乓球比赛，每2名运动员都要比赛1场并决出胜负.设第i位运动员共胜xi场，负yi场(i＝1，2，3，4，5)，则下列说法正确的是(　　) A.x1+x2+x3+x4+x5＝y1+y2+y3+y4+y5 B.++++++++ C.x1+x2+x3+x4+x5为定值，与各场比赛的结果无关 D.++++为定值，与各场比赛结果无关 答案　ABC 解析　共有5名运动员，每2名运动员都要比赛1场并决出胜负，故共有＝10(场)比赛，故所有运动员胜的场数与负的场数相等，且为10场， 即x1+x2+x3+x4+x5＝y1+y2+y3+y4+y5＝10，故A，C正确； 对第i位运动员来说，共参加4场比赛，故xi+yi＝4， 所以＝(xi+yi)(xi－yi)＝4(xi－yi)， 假设++++ ＝++++， 则()+…+()＝0， 即4(x1－y1)+…+4(x5－y5)＝0， 又x1+x2+x3+x4+x5＝y1+y2+y3+y4+y5，故B正确； 当每个运动员都胜两场时，＝20， 而当第一名运动员全输第二名运动员全赢且其他运动员各胜2场时，＝28，故D错误. 16.(12分)在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ＝|x－2|+|y－x|.写出随机变量ξ可能的取值，并说明随机变量ξ所表示的随机试验的结果. 解　因为x，y可能的取值为1，2，3， 所以0≤|x－2|≤1，0≤|x－y|≤2，所以0≤ξ≤3， 所以ξ的可能取值为0，1，2，3. 用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量ξ取各值的意义为 {ξ＝0}表示“两次抽到卡片编号都是2，即(2，2)”. {ξ＝1}表示“(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)”. {ξ＝2}表示“(1，2)，(3，2)”. {ξ＝3}表示“(1，3)，(3，1)”. 学科网（北京）股份有限公司 $