章末检测试卷4 (第5章 计数原理 )（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 本单元卷聚焦高中数学计数原理（第五章），通过生活情境（如社团活动、排队问题）与文化素材（赵爽弦图涂色），分层考查排列组合、二项式定理等核心知识，适配单元复习，提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|排列组合应用（第3题）、二项式系数（第2题）|结合课间练习方案等生活情境，基础与能力题结合| |多项选择|3/18|排列与组合辨析（第9题）、二项式展开式（第10题）|设置部分选对得分机制，考查概念辨析能力| |填空题|3/15|逆序数新定义（第13题）、4×4方格选法（第14题）|融入创新题型，考察数学抽象与逻辑推理| |解答题|5/77|再生数计数（第15题）、数字排列与分类讨论（第18题）|综合应用排列组合、二项式定理，强调分类分步思想|

章末检测试卷四(第五章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.若＝18，则m等于(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 答案　D 解析　由＝m(m－1)(m－2)(m－3)＝18·，得m－3＝3，m＝6. 2.在的二项展开式中，x7的系数为(　　) A.－10 B.10 C.－5 D.5 答案　A 解析　的二项式通项为Tk+1＝·(x2)5－k·(－2)kx10－3k，令10－3k＝7，解得k＝1，故x7的系数为(－2)1＝－10. 3.小明在某一天中有七个课间休息时段，为准备“小歌手”比赛，他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌，但他希望任意两个练习的时间段之间都有至少两个课间休息，则小明一共有　　　　　　种练习的方案(　　) A.31 B.18 C.21 D.33 答案　B 解析　七个课间编号为1，2，3，4，5，6，7，如果仅有一个课间练习，则每个课间都可以，有7种方案；若有两个课间练习，选法有{1，4}，{1，5}，{1，6}，{1，7}，{2，5}，{2，6}，{2，7}，{3，6}，{3，7}，{4，7}，共10种方案；若有三个课间练习，选法为{1，4，7}，共1种，故共有7+10+1＝18(种)练习的方案. 4.5名大人带2个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法有(　　) A.种 B.种 C.种 D.(－4)种 答案　A 解析　先排大人，有种排法，去掉头尾后，有4个空位，再分析小孩，用插空法，将2个小孩插在4个空位中，有种排法，由分步乘法计数原理可知，有种不同的排法. 5.设(2－x)5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，那么的值为(　　) A.－ B.－ C.－ D.－1 答案　A 解析　令x＝1，可得a0+a1+a2+a3+a4+a5＝1，再令x＝－1，可得a0－a1+a2－a3+a4－a5＝35.两式相加除以2求得a0+a2+a4＝122，两式相减除以2可得a1+a3+a5＝－121.故＝－. 6.现有高一新生中的五名同学打算参加“地理行知社”“英语ABC”“篮球之家”“生物研启社”四个社团.若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“生物研启社”，则不同的参加方法的种数为(　　) A.72 B.108 C.180 D.216 答案　C 解析　根据题意分析可得，必有2人参加同一社团. 首先分析甲，甲不参加“生物研启社”，则有3种情况， 再分析其他4人，若甲与另外1人参加同一个社团，则有·＝24(种)情况； 若甲是单独1个人参加一个社团，则有·＝36(种)情况. 则除甲外的4人有24+36＝60(种)参加方法. 故不同的参加方法的种数为60×3＝180. 7.设a，b，m(m>0)均为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)，如9和21被6除得的余数都是3，则记9≡21(mod 6).若a≡b(mod 8)，且a＝·2+·22+…+·220，则b的值可以是(　　) A.2 022 B.2 023 C.2 024 D.2 025 答案　D 解析　依题意，a＝·2+·22+…+·220＝(1+2)20＝910＝(8+1)10＝·810+·89+·88+…+·8+，展开式共11项，其中前10项均能被8整除，最后一项为1， 则a被8除得的余数是1，2 022，2 023，2 024，2 025被8除得的余数分别为6，7，0，1， 因此b的值可以是2 025. 8.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择.则不同的涂色方法种数是(　　) A.48 B.54 C.72 D.108 答案　C 解析　如图所示，设“赵爽弦图”ABCD为①区，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形分别为②，③，④，⑤区. 第一步给①区涂色，有4种涂色方法； 第二步给②区涂色，有3种涂色方法； 第三步给③区涂色，有2种涂色方法； 第四步给④区涂色，若④区与②区同色，则⑤区有2种涂色方法； 若④区与②区不同色，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法. 由分类、分步计数原理可得共有4×3×2×(2+1×1)＝72(种)涂色方法. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列问题属于排列问题的是(　　) A.从10个人中选2人分别去种树和扫地 B.从10个人中选2人去扫地 C.从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队 D.从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算 答案　AD 解析　根据题意，依次分析选项： 对于A，从10个人中选2人分别去种树和扫地，选出的2人有分工的不同，是排列问题； 对于B，从10个人中选2人去扫地，与顺序无关，是组合问题； 对于C，从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，是组合问题； 对于D，从数字5，6，7，8中任取两个不同的数作幂运算，顺序不一样，计算结果也不一样，是排列问题. 10.已知展开式中各项的二项式系数之和为16，则展开式中(　　) A.各项的系数之和为－1 B.存在常数项－32 C.各项的系数中最大的是24 D.含x的无理项有三项 答案　BCD 解析　∵的二项式系数之和为16， ∴2n＝16，解得n＝4，∴展开式的通项为Tk+1＝x4－k(－2)k＝(－2)k. 对于A，令x＝1，则各项的系数之和为(1－2)4＝1， A错误； 对于B，令＝0，解得k＝3， ∴存在常数项(－2)3＝－32，B正确； 对于C，＝x4－8+24－32+16， ∴各项的系数中最大的是24，C正确； 对于D，当k＝1，2，4时，对应的项为含x的无理项，D正确. 11.传承红色文化，宣扬爱国精神，某中学国旗队在高一年级招收新成员，现有小明、小红、小华等6名同学新入方阵参加队列训练，则下列说法正确的是(　　) A.6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则不同的站法种数为120 B.6名同学站成一排，小明、小红两人相邻，则不同的排法种数为240 C.6名同学站成一排，小明、小红两人不相邻，则不同的排法种数为480 D.6名同学平均分成三组到三种不同的队列进行训练(每组成员训练内容相同且每种训练必须有人参加)，则有540种不同的安排方法 答案　ABC 解析　6名同学站成一排，小明、小红、小华必须按从左到右的顺序站位，则有＝120(种)，故A正确； 小明、小红两人相邻共有2种排法，将两人看作一个元素，与其他4人组成5个元素全排列，有2＝240(种)排法，故B正确； 6人站成一排，小明、小红两人不相邻，先将除小明、小红外的4人进行全排列，有＝24(种)排法，再将小明、小红两人插空，有＝20(种)排法，则共有24×20＝480(种)不同的排法，故C正确； 6名同学平均分成三组到三种不同的队列进行训练(每组成员训练内容相同且每种训练必须有人参加)，则有＝90(种)，故D错误. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若(1+x)6展开式中x2的系数为30，则m＝　　　　. 答案　1 解析　(1+x)6展开式通项为Tk+1＝xk， 则xk＝mxk+mxk－2， ∴m+m＝30，解得m＝1. 13.对于各数互不相等的整数数组(i1，i2，i3，…，in)(n是不小于3的正整数)，若对于任意的p，q∈，当p<q时，有ip>iq，则称ip，iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组中的逆序有“2与1”“4与3”“4与1”“3与1”，所以整数数组的“逆序数”等于4.若各数互不相等的整数数组的“逆序数”是2，则的“逆序数”是　　　. 答案　13 解析　在各数互不相等的整数数组(i1，i2，…，in)(n是不小于3的正整数)中任取2个数， 这2个数要么“顺序”，要么“逆序”(当p<q时，有ip>iq)，因此“顺序数”与“逆序数”的和为， 各数互不相等的整数数组(a1，a2，a3，a4，a5，a6)的“逆序数”是2，则其“顺序数”为－2＝13， 显然数组(a6，a5，a4，a3，a2，a1)的“逆序数”等于数组(a1，a2，a3，a4，a5，a6)的“顺序数”， 所以(a6，a5，a4，a3，a2，a1)的“逆序数”是13. 14.(2024·新高考全国Ⅱ)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有　　　　种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是　　　　. 答案　24　112 解析　由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2×1＝24(种)选法； 先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4.再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大.故选中方格中的4个数之和的最大值为21+33+43+15＝112. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)把n个正整数全排列后得到的数叫作“再生数”，“再生数”中最大的数叫作最大再生数，最小的数叫作最小再生数. (1)求1，2，3，4的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；(5分) (2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.(8分) 解　(1)1，2，3，4的再生数的个数为＝24，其中最大再生数为4 321，最小再生数为1 234. (2)需要考查5个正整数中相同数的个数. 若5个正整数各不相同，则有＝120(个)再生数； 若有2个正整数相同，则有＝60(个)再生数； 若有3个正整数相同，则有＝20(个)再生数； 若有4个正整数相同，则有＝5(个)再生数； 若5个正整数全相同，则有1个再生数. 16.(15分)某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加研讨会. (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？(3分) (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(4分) (3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？(4分) (4)医疗队中至少有1名内科医生和1名外科医生，有多少种选法？(4分) 解　(1)只需从其他18人中选3人即可，共有＝816(种)选法. (2)只需从其他18人中选5人即可，共有＝8 568(种)选法. (3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加.则共有＝6 936(种)选法. (4)方法一　(直接法)至少有1名内科医生和1名外科医生的选法可分4类： 1内4外；2内3外；3内2外；4内1外. 所以共有 ＝14 656(种)选法. 方法二　(间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是内科医生和5名都是外科医生的选法种数所得的结果即为所求，即共有－()＝14 656(种)选法. 17.(15分)已知展开式中的第2项和第3项的系数相等. (1)求n的值；(5分) (2)求展开式中所有二项式系数的和；(4分) (3)求展开式中所有的有理项.(6分) 解　二项式展开式的通项为Tk+1＝xn－k(k＝0，1，2，…，n). (1)由展开式中的第2项和第3项的系数相等，得 ·，即·n＝·， 又n∈N+，解得n＝5. (2)展开式中所有二项式系数的和为 +…+＝25＝32. (3)二项展开式的通项为 Tk+1＝(k＝0，1，2，…，5). 当k＝0，2，4时，对应项是有理项， 所以展开式中所有的有理项为 T1＝x5＝x5，T3＝x2＝x2， T5＝x－1＝. 18.(17分)用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数. (1)在组成的三位数中，求所有偶数的个数；(5分) (2)在组成的三位数中，若十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；(6分) (3)在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数.(6分) 解　(1)将组成的三位数中所有偶数分为两类， ①若个位数为0，则共有＝12(个)符合题意的三位数； ②若个位数为2或4，则共有2×3×3＝18(个)符合题意的三位数. 故共有12+18＝30(个)符合题意的三位数. (2)将这些“凹数”分为三类： ①若十位上的数字为0，则共有＝12(个)符合题意的“凹数”； ②若十位上的数字为1，则共有＝6(个)符合题意的“凹数”； ③若十位上的数字为2，则共有＝2(个)符合题意的“凹数”. 故共有12+6+2＝20(个)符合题意的“凹数”. (3)将符合题意的五位数分为三类： ①若两个奇数数字在万位和百位上，则共有＝12(个)符合题意的五位数； ②若两个奇数数字在千位和十位上，则共有＝8(个)符合题意的五位数； ③若两个奇数数字在百位和个位上，则共有＝8(个)符合题意的五位数. 故共有12+8+8＝28(个)符合题意的五位数. 19.(17分)已知展开式的二项式系数之和为256. (1)求n的值；(4分) (2)若展开式中常数项为，求m的值；(6分) (3)若(x+m)n的展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况.(7分) 解　(1)由二项式系数之和为2n＝256，可得n＝8. (2)设常数项为第(k+1)项，则 Tk+1＝x8－kmkx8－2k， 令8－2k＝0，即k＝4， 则m4＝，解得m＝±. (3)易知m>0，设第(k+1)项系数最大， 则 化简可得≤k≤. 由于只有第6项和第7项系数最大， 所以即 所以m＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $