第5章 习题课 二项式定理的综合应用（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦二项式定理的综合应用，在熟练掌握二项式定理基础上，系统梳理两个二项式积与三项展开式的特定项求解、展开式中系数最大（小）值的确定、利用二项式定理解决整除（余数）问题，形成从基础定理到综合应用的学习支架。 资料以“8^2024天后是星期几”的现实问题为导语，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过“双通法”“转化法”等策略培养数学思维，如例3将2027^30转化为(7k+4)^30求余数。课中例题解析与反思感悟助力教师高效授课，课后课时对点练帮助学生查漏补缺，提升应用意识与实践能力。

习题课　二项式定理的综合应用 学习目标　1.熟练掌握二项式定理.2.能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.3.掌握二项展开式中系数最大(小)问题.4.能利用二项式定理解决整除(余数)问题. 导语 假如今天是星期一，7天后是星期几？16天后是星期几？82 024天后是星期几？怎样准确快速地得到答案？ 一、两个二项式积与三项展开式问题 例1　(1)已知(1+ax)(1+x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 答案　D 解析　由二项式定理得(1+x)5展开式的通项为Tk+1＝·xk，所以(1+ax)(1+x)5展开式中含x2的项的系数为·a＝5，所以a＝－1. (2)的展开式中的常数项是　　　　. 答案　 解析　方法一　原式＝， ∴展开式的通项为(k1＝0，1，2，…，5). 当k1＝5时，T6＝()5＝4， 当0≤k1<5时，的展开式的通项为 T ＝(k2＝0，1，2，…，5－k1). 令5－k1－2k2＝0，即k1+2k2＝5. ∵0≤k1<5且k1∈Z，∴或 ∴常数项为4××××()3＝4+20. 方法二　原式＝·[(x+)2]5＝·(x+)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x+)10的展开式中含x5项的系数，即)5. ∴所求的常数项为. 反思感悟　求解两个二项式积的问题时，分别对每个二项展开式进行分析，找到构成展开式中特定项的组成部分，分别求解再相乘，求和即得；求解三项展开式时，应根据式子的特点，转化为二项式(或二项式积)来解决. 跟踪训练1　(1)(x－y)(x+y)8展开式中x2y7的系数为　　　　.(用数字作答) 答案　－20 解析　由二项式通项可知，含x2y7的项可表示为x·xy7－y·x2y6，故(x－y)(x+y)8展开式中x2y7的系数为＝8－28＝－20. (2)在(x2+x+y)5的展开式中，x5y2的系数为　　　　. 答案　30 解析　方法一　(x2+x+y)5＝[(x2+x)+y]5， 含y2的项为T3＝(x2+x)3y2， 而(x2+x)3中含x5的项为x4x＝x5， 所以x5y2的系数为＝30. 方法二　(x2+x+y)5为5个x2+x+y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可得含x5y2的项，所以x5y2的系数为＝30. 二、系数的最值问题 例2　已知展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项. 解　由已知得＝79， 即n2+n－156＝0. 解得n＝－13(舍去)或n＝12. 设Tk+1项的系数最大， ∵(1+4x)12， 由 解得9.4≤k≤10.4. 又∵1≤k≤11，k∈N，∴k＝10. ∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T11＝··410·x10＝16 896x10. 反思感悟　求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)、解不等式(组)的方法求解.一般地，如果第(k+1)项的系数最大，则与之相邻两项第k项，第(k+2)项的系数均不大于第(k+1)项的系数，由此列不等式组可确定k的范围，再依据k的范围来确定k的值，即可求出最大项. 跟踪训练2　(2024·全国甲卷)二项式的展开式中，各项系数的最大值是　　　　. 答案　5 解析　二项展开式的通项为 Tk+1＝xk， 0≤k≤10且k∈Z， 设展开式中第k+1项系数最大， 则⇒ 即≤k≤， 又k∈Z，故k＝8， 所以展开式中系数最大的项是第9项， 且该项系数为＝5. 三、整除和余数问题 例3　(1)试求2 02730除以7的余数. 解　2 02730＝(289×7+4)30＝(289×7)30+(289×7)29×4+…+(289×7)×429+430， ∵其展开式中除末项为430外，其余的各项均含有7这个因数， ∴2 02730除以7的余数与430除以7的余数相同. 又∵430＝(22)30＝260＝(23)20＝820＝(7+1)20 ＝720+719+718+…+7+， 其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有7这个因数， ∴430除以7的余数为1，即2 02730除以7的余数为1. (2)求证：32n+2－8n－9(n∈N+)能被64整除. 证明　32n+2－8n－9＝(8+1)n+1－8n－9 ＝8n+1+8n+…+－8n－9 ＝8n+1+8n+…+82+(n+1)×8+1－8n－9 ＝8n+1+8n+…+82. ① ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除. 反思感悟　利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系. 跟踪训练3　求证：2n+2·3n+5n－4(n∈N+)能被25整除. 证明　原式＝4·6n+5n－4＝4(5+1)n+5n－4 ＝4(·5n+·5n－1+…+)+5n－4 ＝4(·5n+·5n－1+…+·52)+4·51+4+5n－4 ＝4(·5n+·5n－1+…+·52)+20n+4+5n－4 ＝4(·5n+·5n－1+…+·52)+25n. 以上各项均为25的整数倍， 故2n+2·3n+5n－4能被25整除. 1.知识清单： (1)两个二项式积与三项展开式问题. (2)系数的最值问题. (3)整除与余数问题. 2.方法归纳：双通法. 3.常见误区：项、项数、二项式系数、系数等概念的辨析. 1.(x2+2)展开式中的常数项为(　　) A.25 B.－25 C.5 D.－5 答案　B 解析　展开式的通项为 Tk+1＝x6－k(－1)kx6－2k. 令6－2k＝－2或6－2k＝0， 分别解得k＝4或k＝3. 所以(x2+2)展开式的常数项为 1×+2×(－1)3＝15－40＝－25. 2.(1－2x)5的展开式中系数最大的项是(　　) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 答案　C 解析　由题意得，二项式通项为Tk+1＝·(－2)kxk，要使系数最大，k必须取偶数，即k＝0，2，4，对应的系数分别为1，40，80， 故当k＝4时，展开式中的第5项系数最大. 3.(x+y+3)5展开式中不含y的各项系数之和为(　　) A.25 B.35 C.45 D.55 答案　C 解析　由(x+y+3)5＝[(x+3)+y]5，则展开式的通项为Tk+1＝(x+3)5－kyk， 当k＝0时，不含y的项， T1＝(x+3)5＝(x+3)5， 令x＝1，可得不含y的各项系数之和为45. 4.230－3除以7的余数为 　　　　. 答案　5 解析　230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7+1)10－3 ＝710+79+…+7+－3 ＝7×(79+78+…+)－2. 又∵余数不能为负数(需转化为正数)， ∴230－3除以7的余数为5. 课时对点练 [分值：80分] 一、单项选择题(每小题5分，共25分) 1.(x2+2)展开式中的常数项是(　　) A.－3 B.－2 C.2 D.3 答案　D 解析　展开式的通项为 Tk+1＝(－1)k＝(－1)k. 令10－2k＝2或10－2k＝0，解得k＝4或k＝5. 故(x2+2)展开式中的常数项是 (－1)4×+2×(－1)5×＝3. 2.(x3－2x2+x)3的展开式中x6的系数为(　　) A.－1 B.1 C.－20 D.20 答案　C 解析　(x3－2x2+x)3＝x3(x－1)6，因此所求x6的系数即为(x－1)6的展开式中x3的系数， 由二项式定理知系数为(－1)3＝－20. 3.1.026的近似值为(精确到0.01)(　　) A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.20 答案　B 解析　1.026＝(1+0.02)6＝1+×0.02+×0.022+×0.023+…+0.026≈1+0.12+0.006≈1.13. 4.(1+x)8(1+y)4展开式中x2y2的系数是(　　) A.56 B.84 C.112 D.168 答案　D 解析　在(1+x)8展开式中含x2的项为x2＝28x2，(1+y)4展开式中含y2的项为y2＝6y2，所以x2y2的系数为28×6＝168. 5.设n∈N+，则1n80+1n－181+1n－282+1n－383+…+118n－1+108n除以9的余数为(　　) A.0 B.8 C.7 D.2 答案　A 解析　因为1n80+1n－181+1n－282+1n－383+…+118n－1+108n＝(1+8)n＝9n，所以除以9的余数为0. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 6.已知展开式中的倒数第三项的系数为45，则(　　) A.n＝9 B.二项式系数最大的项为第6项 C.系数最大的项为第6项 D.含x3的项是第6项 答案　BC 解析　的二项式通项为 Tk+1＝·， 所以倒数第三项的系数为，故＝45，即＝45，所以＝45， 所以(n－10)(n+9)＝0，得n＝10或n＝－9(舍).故A不正确； 因为n＝10，所以展开式共有11项，所以二项式系数最大的项为第6项，故B正确； 因为展开式中各项的系数与该项的二项式系数相等，所以系数最大的项为第6项，故C正确； 因为n＝10，所以展开式的通项为Tk+1＝， 令＝3，得k＝6，所以含x3的项是第k+1＝6+1＝7项，故D不正确. 7.对于二项式(n∈N+)，以下判断正确的有(　　) A.存在n∈N+，使展开式中有常数项 B.对任意n∈N+，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N+，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N+，使展开式中有x的一次项 答案　AD 解析　的展开式的通项为 Tr+1＝·3r·，r＝0，1，2，…，n， 的展开式的通项为Tk+1＝·x4k－n，k＝0，1，2，…，n. 则二项式(n∈N+)的展开式的通项为·3r···x4k－n， 未知数x的次数为+4k－n＝－+4k， 令－+4k＝0，即3r+n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×3×＝75，故展开式中有常数项，且常数项不为0，故A正确，B错误； 令－+4k＝1，即3r+n+2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组解，此时，·3r···x4k－n＝×30×x3××x－2＝6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 8.已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为0，则(　　) A.n＝9 B.的展开式中的有理项有5项 C.的展开式中偶数项的二项式系数和为512 D.(7－a)n除以9余8 答案　ABD 解析　因为第4项与第7项的二项式系数相等，所以，由组合数的性质知n＝9，故A正确； 因为的展开式的各项系数之和为0，令x＝1，得(1+a)9＝0，所以a＝－1， 所以的展开式的通项为 Tk+1＝(－1)k. 令18－k为整数，得k＝0，2，4，6，8， 所以展开式中的有理项有5项，故B正确； 展开式中偶数项的二项式系数和为+…+＝28＝256，故C错误； 因为n＝9，a＝－1，则(7－a)n＝(7+1)9＝89＝(9－1)9＝99－98+…+9－1＝9(98－97+…+－1)+8， 所以(7－a)n除以9余8，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.(1+x+y)5的展开式中含x2y2的项的系数为　　　. 答案　30 解析　(1+x+y)5表示5个多项式(1+x+y)相乘，展开式中含x2y2的项是上述5个多项式中取2个用x，余下3个中再取2个用y，最后1个用1相乘的积，因此该项为x2·y2·1＝30x2y2， 所以(1+x+y)5的展开式中含x2y2的项的系数为30. 10.设a∈N，且0≤a<13，若512 024+a能被13整除，则a＝　　　　. 答案　12 解析　因为512 024+a＝(52－1)2 024+a＝522 024－522 023+522 022－…－521+1+a能被13整除，所以1+a能被13整除，又a∈N，且0≤a<13，故a＝12. 四、解答题(共27分) 11.(13分)用二项式定理证明1110－1能被100整除. 证明　1110－1＝(10+1)10－1 ＝1010+109+108+…+10+－1 ＝1010+109+108+…+102 ＝100(108+107+106+…+1)， 显然上式括号内的数是正整数， 所以1110－1能被100整除. 12.(14分)求(+3x2)5的展开式中系数最大的项. 解　设展开式中第(k+1)项的系数最大， 又Tk+1＝)5－k(3x2)k＝3k， 则 ⇒ ⇒≤k≤. 又因为1≤k≤4，k∈N，所以k＝4， 所以展开式中第5项系数最大， T5＝34＝405. 学科网（北京）股份有限公司 $