第五章 计数原理（一）讲义-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第五章 计数原理 一、基本计数原理 1、分类加法原理 各类之间互不影响 2、分步乘法原理 各步之间互不影响 正确地分类和分布是学好本章的关键 【例】p158 B-1 “渐升数”是指每一位数字都比其左边的数字大的正整数，如236，那么三位渐升数有多少个？ 二、排列问题 排列数公式： 规定 常用组合数： 【例】p163 例4 现有红黄蓝3种颜色的旗子各一面，如果用它们其中的若干面挂在一个旗杆上发出信号，那么一共可以组成多少种信号？ 【例】p164 A-4 从4种不同颜色的旗子（每种颜色的旗子至少3面）中，选出3面排成一排作为一种信号，共能组成多少种信号？ 三、组合问题 组合数公式： 规定 性质： 【注】只选不排，没有顺序，但是如果分堆会重复（分堆会出现顺序） 【例】p169 A-4 从1，3，5，7，9中任取3个数字，从2，4，6，8中任取2个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？ 【例】B-1 若甲乙丙丁四个公司承包8项工程，其中甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙丁公司各承包2项，共有多少种承包方法？ 【例】某校乒乓球队有男运动员10名和女运动员9名，若要选出男女运动员各3名参加三场混合双打比赛（每名运动员只限参加一场比赛），共有多少种方法？ 四、二项式定理 （一）二项式定理: （等式右侧称为二项展开式） 可简写成 二项式系数： 是指各项的系数 二项式通项：第项为： 【例】求中的系数 【例】求中的系数 （二）二项式系数的性质 1、 排列组合问题方法总结 一、逐分法——有序分配 分步计数 例:将12名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有( )种。 二、叠幂法——重复问题 【例】把6名实习生分配到7个车间，共有多少种不同的分法。 三、隔板法——相同元素 隔板是为了分组 【例】10名三好学生名额分配到7个班级，每个班级至少有一个名额，有多少种不同分配方案 四、捆绑法——相邻问题 【例】A、B、C、D、E五人站成一排，如果AB必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有 。 五、插空法——不相邻问题 【例】一个晚会的节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？ 六、倍缩法——定序问题 除法/只选 每种选对应一种顺序 【例】题目: 10人身高各不相等,排成前后排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法? 七、优先排法——特殊位置 【例】有0，1，2，3，4，5，可以组成没有重复的五位奇数的个数为。 八、先选后排法——选排问题 【例】四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一个空盒的有多少种？（提示：先选球再选盒） 九、先分堆后排列（区分三） 分堆包括：整体均分 部分均分 不等分组。均分的情况由于组别不特定，故会出现重复。分清楚谁选谁 【善用基本计数原理】 【例】新冠肺炎侵袭，某医院派出5名医生支援A，B，C三个国家，派往每个国家至少一名医生，共有多少种安排方式。 十、排除定位法——相邻颜色涂色 分成用了3/4种颜色，先确定前几块颜色 【例】如图，一个地区分为5个行政区，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？ 十一、对立法 正难则反 至少有一名，至多有n名 【例】从2名女生，4名男生种选3人参加科技比赛，且至少有1名女生入选，则不同的选法共有多少种？ 十二、先转化后隔板再逐分法 【例】小明同学去文具店购买文具,现有四种不同样式的笔记本可供选择(可以有笔记本不被选择),单价均为一元一本,小明只有8元钱且要求全部花完,则不同的选购方法共有( )【分类；元素相同不能用4的8次方】 十三、先整体后局部——集团问题 【例】计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画, 4幅油画, 5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为。【捆绑、优先排】 十四、线排策略——环排问题 【无首尾之分】 【例】8人围桌而坐，共有多少种坐法？ 一、选择题 1、现提供4种不同颜色给如图中5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同涂色的方法种数为( ) A.36 B.48 C.72 D.96 2、为促进中学生综合素质全面发展，某校开设了5个社团，甲、乙、丙三名同学每人只报名参加1个社团，则不同的报名方式共有( ). A.60种 B.120种 C.125种 D.243种 3、我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅衣发展.某校高一新生中的5名同学打算参加“春晖文学社