第3章 再练一课(范围：§4)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 聚焦空间向量在立体几何中的应用，通过多样化题型构建“向量运算—几何问题转化—坐标法求解”的逻辑体系，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间向量应用|单选6+多选3+填空3+解答3|结合正方体、长方体等模型，通过建系转化线面垂直、距离、夹角等问题为向量运算|从向量垂直/平行判定到距离、夹角计算，形成“概念—运算—应用”的完整链条，体现推理能力与空间观念|

再练一课(范围：§4) [分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知向量＝(1，2，3)，＝(2，λ，3)，＝(4，2，k)，若OA⊥平面ABC，则λ＋k的值是(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　易得＝(1，λ－2，0)，＝(3，0，k－3)，若OA⊥平面ABC，则⊥，⊥，即·＝1＋2(λ－2)＝0，·＝3＋3(k－3)＝0，所以λ＝，k＝2，故λ＋k＝. 2.已知直线l过定点A(2，3，1)，且n＝(0，1，1)为其一个方向向量，则点P(4，3，2)到直线l的距离为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　＝(－2，0，－1)，||＝，，则点P到直线l的距离 d＝. 3.在大小为的二面角的一个平面内有一点P，若点P到棱的距离为8，则点P到另一个平面的距离为(　　) A. B.2 C.3 D.4 答案　D 解析　作PA，PB分别垂直于棱与另一个面，A，B为垂足，连接AB，如图，在Rt△PAB中，∠PBA＝，∠PAB＝，PA＝8，PB＝8×＝4. 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，AB＝3，点F在线段C1D1上，且D1F＝1，则异面直线CD与BF的夹角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，3，0)，B(2，3，0)，F(0，1，2)，∴＝(0，3，0)，＝(－2，－2，2). ∴|cos〈，〉|＝， ∴异面直线CD与BF的夹角的余弦值为. 5.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，AC与BD交于点O，点M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为(　　) A.(1，1，1) B. C. D. 答案　C 解析　连接OE(图略).设点M的坐标为(x，y，1)， 因为AC∩BD＝O，所以O， 又E(0，0，1)，A(，，0)， 所以， ＝(x－，y－，1)， 因为AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面BDE∩平面ACEF＝OE，所以OE∥AM，又OA∥EM，所以四边形OAME为平行四边形，所以， 所以⇒ 所以点M的坐标为. 6.已知平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，直线l是平面x－3y＋7＝0与4y＋2z＋1＝0的交线，则直线l与平面α的夹角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　∵平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，∴平面α的一个法向量为m＝(3，－5，1)，同理，可得平面x－3y＋7＝0的一个法向量为a＝(1，－3，0)，平面4y＋2z＋1＝0的一个法向量为b＝(0，4，2).设平面x－3y＋7＝0与平面4y＋2z＋1＝0的交线的方向向量d＝(x，y，z)，则取y＝1，则d＝(3，1，－2)，设直线l与平面α的夹角为θ，则sin θ＝|cos〈m，d〉|＝. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列结论中，正确的是(　　) A.若两条不重合的直线l1，l2的一个方向向量分别是a＝(2，3，－1)，b＝(－2，－3，1)，则l1∥l2 B.若直线l的一个方向向量是a＝(1，－1，2)，平面α的一个法向量是u＝(6，4，－1)，则l⊥α C.若两个不同的平面α，β的一个法向量分别是u＝(2，2，－1)，v＝(－3，4，2)，则α⊥β D.若直线l的一个方向向量是a＝(0，3，0)，平面α的一个法向量是u＝(0，－5，0)，则l∥α 答案　AC 解析　对于A，由题意知，b＝－a，所以a∥b，即l1∥l2，故A正确；对于B，若直线l的一个方向向量是a＝(1，－1，2)，平面α的一个法向量是u＝(6，4，－1)，则a·u＝1×6－1×4＋2×(－1)＝0，所以a⊥u，即l∥α或l⊂α，故B错误；对于C，因为u·v＝0，所以α⊥β，故C正确；对于D，因为u＝－a，所以u∥a，即l⊥α，故D错误. 8.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，长方体的高为2，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC.则下列结论正确的是(　　) A.EF⊥A1D B.EF∥BD1 C.异面直线EF与CD的夹角的余弦值为 D.二面角E－AC－D的平面角的正切值为 答案　BCD 解析　以，，为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)， E，F， A1(1，0，2)， 则＝(－1，－1，2)， ，＝(－1，0，－2)， ＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，0)，＝(0，－1，0). 因为·＋0－＝－1≠0， 所以A不正确； 因为＝3，且与不在同一条直线上，所以EF∥BD1，B正确； 因为，所以C正确； ，＝(－1，1，0)，设平面EAC的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则不妨取x＝1， 则y＝1，z＝1，故m＝(1，1，1)， 又平面ACD的一个法向量为n＝(0，0，1)， 由图知二面角E－AC－D的平面角为锐角，设为θ， 所以cos θ＝|cos〈m，n〉|＝， 所以sin θ＝， 则tan θ＝，D正确. 9.将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使平面ABD与平面BCD的夹角为90°，下列四个结论正确的是(　　) A.AC⊥BD B.△ACD是等边三角形 C.直线AB与平面BCD所成的角为 D.AB与CD所成的角为 答案　ABD 解析　如图所示，以BD的中点O为坐标原点，分别以OD，OA，OC所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 设正方形ABCD的边长为，则D(1，0，0)，B(－1，0，0)，C(0，0，1)，A(0，1，0)， 所以＝(0，－1，1)，＝(2，0，0)，·＝0，故AC⊥BD，A正确； 又||＝，||＝，||＝， 所以△ACD为等边三角形，B正确； 易知为平面BCD的一个法向量， |cos〈，〉|＝ ＝. 所以AB与平面BCD所成的角为，C错误； 又|cos〈，〉|＝. 所以AB与CD所成的角为，D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.在空间直角坐标系中，已知点A(4，2，0)，B(1，3，3)，点E是线段AB上的一点，且AE＝AB，则点E的坐标为　　　　　　　. 答案　 解析　设点E的坐标为(x1，y1，z1).由题意可知＝(－3，1，3)，且，所以(x1－4，y1－2，z1)＝(－3，1，3). 即解得 所以点E的坐标为. 11.如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，则点D到平面ACE的距离为　　　　　. 答案　 解析　取AB的中点O，连接OE.以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系(其中z轴平行于BC)， 则A(0，－1，0)，E(1，0，0)，D(0，－1，2)，C(0，1，2)，则＝(0，0，2)，＝(1，1，0)，＝(0，2，2). 设平面ACE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令y＝1，则x＝－1，z＝－1，∴n＝(－1，1，－1). 故点D到平面ACE的距离 d＝. 12.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，动点M在线段CC1上，动点P在平面A1B1C1D1上，且AP⊥平面MBD1，则线段BP长度的取值范围是　　　　　　　　. 答案　[1，] 解析　以DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. 由正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1， 可得A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1). 设P(a，b，1)，M(0，1，t)(0≤t≤1)， 则＝(a－1，b，1)，＝(－1，－1，1)，＝(0，－1，1－t)， 因为AP⊥平面MBD1，BD1，MD1⊂平面MBD1， 所以AP⊥BD1，AP⊥MD1， 则解得 所以＝(t，1－t，1)， 所以＝(0，－1，0)＋(t，1－t，1)＝(t，－t，1)， 所以||＝， 因为0≤t≤1， 故||的取值范围是[1，]. 四、解答题(共37分) 13.(12分)如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点. (1)求直线FC1到直线AE的距离；(6分) (2)求直线FC1到平面AB1E的距离.(6分) 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 则B1(1，1，1)，E， F，C1(0，1，1)， A(1，0，0). (1)因为，， 所以∥，即AE∥FC1， 所以点F到直线AE的距离即为直线FC1到直线AE的距离. 取u＝，又. 所以，·u＝， 所以直线FC1到直线AE的距离为 . (2)因为AE∥FC1，所以FC1∥平面AB1E， 所以直线FC1到平面AB1E的距离等于C1到平面AB1E的距离. ＝(1，0，0)，＝(0，1，1)，设平面AB1E的法向量为n＝(x，y，z)，则 即 取z＝2，可得n＝(1，－2，2)， 所以C1到平面AB1E的距离为， 所以直线FC1到平面AB1E的距离为. 14.(12分)如图，在多面体ABC－A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝AB，，二面角A1－AB－C是直二面角.求证： (1)A1B1⊥平面AA1C；(6分) (2)AB1∥平面A1C1C.(6分) 证明　(1)因为二面角A1－AB－C是直二面角， 四边形A1ABB1为正方形， 所以AA1⊥平面BAC. 因为AB＝AC，BC＝AB， 所以∠CAB＝90°， 即CA⊥AB， 所以AB，AC，AA1两两互相垂直. 以A为原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设AB＝2，则A(0，0，0)，B1(0，2，2)， A1(0，0，2)，C(2，0，0)，C1(1，1，2). (1)＝(0，2，0)， 易得平面AA1C的一个法向量为n＝(0，1，0). 因为＝2n，所以∥n. 所以A1B1⊥平面AA1C. (2)＝(0，2，2)，＝(1，1，0)，＝(2，0，－2)， 设平面A1C1C的一个法向量为m＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，则y＝－1，z＝1，即m＝(1，－1，1). 所以·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， 所以⊥m，又AB1⊄平面A1C1C， 所以AB1∥平面A1C1C. 15.(13分)(2024·全国甲卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝，FB＝2，M为AD的中点. (1)证明：BM∥平面CDE；(4分) (2)求二面角F－BM－E的正弦值.(9分) (1)证明　因为BC∥AD，BC＝2， AD＝4，M为AD的中点， 所以BC∥MD，BC＝MD， 所以四边形BCDM为平行四边形， 所以BM∥CD， 又因为BM⊄平面CDE，CD⊂平面CDE， 所以BM∥平面CDE. (2)解　如图所示，作BO⊥AD交AD于O，连接OF， 因为四边形ABCD为等腰梯形，BC∥AD，AD＝4， AB＝BC＝2，所以CD＝2， 结合(1)可知四边形BCDM为平行四边形， 可得BM＝CD＝2，又AM＝2， 所以△ABM为等边三角形， O为AM的中点，所以OB＝， 又因为四边形ADEF为等腰梯形， M为AD的中点，EF＝2， 所以EF＝MD，EF∥MD， 所以四边形EFMD为平行四边形， FM＝ED＝AF＝， 所以△AFM为等腰三角形， △ABM与△AFM底边上中点O重合， 则OF⊥AM，OF＝＝3， 因为OB2＋OF2＝FB2， 所以OB⊥OF， 所以OB，OD，OF两两垂直， 以O为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则F(0，0，3)，B(，0，0)，M(0，1，0)，E(0，2，3)， ＝(－，1，0)，＝(－，0，3)， ＝(－，2，3)， 设平面BFM的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 平面EMB的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则即 令x1＝，得y1＝3，z1＝1， 即m＝(，3，1)， 则 即 令x2＝，得y2＝3，z2＝－1， 即n＝(，3，－1)， 所以cos〈m，n〉＝， 则sin〈m，n〉＝， 故二面角F－BM－E的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $