章末检测试卷2 (第2章 圆锥曲线)（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

**基本信息** 本卷为高中数学第二章圆锥曲线单元卷，覆盖抛物线、双曲线、椭圆核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，结合广州电视塔等现实情境，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|抛物线定义（第1题）、双曲线渐近线（第2题）|基础概念直接考查，强调定义理解| |多项选择|3/18|单叶双曲面截线（第9题）、双曲线几何性质（第10题）|结合科技情境，考查空间想象与多选项辨析| |填空|3/15|双曲线方程（第12题）、抛物线与双曲线综合（第13题）|开放题型与综合计算，培养创新意识| |解答题|5/77|椭圆焦点三角形（第16题）、抛物线定点问题（第19题）|综合应用与探究，强调逻辑推理与数学表达|

章末检测试卷二(第二章) [时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.抛物线y2＝6x的焦点到准线的距离是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　抛物线的焦点到准线的距离为p＝3. 2.已知双曲线－y2＝1(a>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是(　　) A.y＝±x B.y＝±x C.y＝±x D.y＝±x 答案　D 解析　∵y2＝8x的焦点是(2，0)， ∴双曲线 －y2＝1的半焦距c＝2， 又虚半轴长b＝1且a>0， ∴a＝， ∴双曲线的渐近线方程是y＝±x. 3.动点M到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点M的轨迹是(　　) A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的一支 D.抛物线 答案　D 解析　已知条件可等价于“动点M到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛物线的定义可判断，动点M的轨迹为抛物线. 4.如图所示，F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2的值为(　　) A. B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　∵△POF2是面积为的正三角形， ∴c2＝，解得c＝2. ∴P(1，)，代入椭圆方程可得＝1，与a2＝b2＋4联立解得b2＝2. 5.从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝4，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为(　　) A. B. C. D.2 答案　C 解析　设P(x0，y0)，依题意可知抛物线准线为 x＝－1， 所以x0＝4－1＝3，所以y0＝2， 所以P(3，2)，F(1，0)， 所以直线PF的斜率k＝. 6.设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　易知抛物线中p＝，焦点F， 直线AB的斜率k＝， 故直线AB的方程为y＝， 即x＝y＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得y2－3y－＝0，Δ>0， 则y1＋y2＝3，y1y2＝－， |AB|＝2|y1－y2|＝2＝12， 又O到直线AB的距离d＝·sin 30°＝， ∴S△OAB＝|AB|·d＝. 7.在椭圆＝1中，以点M为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A.－ B.－4 C.－ D.－2 答案　C 解析　设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 代入椭圆得 两式相减得 ＝0， 即＝－， 又x1＋x2＝2，y1＋y2＝1， 即＝－， 即＝－， ∴弦所在直线的斜率为－. 8.在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足＝3，且BF2经过△BF1T的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为(　　) A. B.2 C. D. 答案　C 解析　因为＝3， 所以BT∥AF2，|AF2|＝|BT|， 故A是线段BF1的一个靠近点F1的三等分点， 因为BF2经过△BF1T的内切圆圆心， 所以BF2是∠F1BT的角平分线，又BT∥AF2， 故∠AF2B＝∠ABF2，所以|AB|＝|AF2|， 所以可设|AF1|＝x，则|AB|＝|AF2|＝2x. 由双曲线的定义，得|AF2|－|AF1|＝2a， 即2x－x＝2a，解得x＝2a， 所以|AB|＝|AF2|＝4a，|BF1|＝|AB|＋|AF1|＝2x＋x＝3x＝6a. 由双曲线的定义，得|BF1|－|BF2|＝2a， 即|BF2|＝4a，所以|AB|＝|BF2|＝|AF2|＝4a， 所以△ABF2是等边三角形. 在△AF1F2中，∠F1AF2＝120°，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，|F1F2|＝2c，由余弦定理的推论， 得cos∠F1AF2＝ ＝＝－， 解得c2＝7a2，所以， 所以双曲线C的离心率为. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.如图是我国广州的新电视塔，外观优美，结构稳定，是当地重要的地标之一.该电视塔的外形是单叶双曲面，在几何学中，单叶双曲面(有时称为旋转双曲面或圆形双曲面)是通过围绕其主轴旋转双曲线而产生的表面，在空间直角坐标系中，曲面的方程为＝1(a>0，b>0，c>0)，则平面z＝1与单叶双曲面的截线可能是(注：z＝1表示点(x，y，1)组成的平面，即过点(0，0，1)且与z轴垂直的平面)(　　) A.圆 B.双曲线 C.抛物线 D.椭圆 答案　AD 解析　当z＝1时，＋1， 当a＝b时，该曲线为圆，A项正确， 当a≠b时，该曲线为椭圆，D项正确. 10.已知F1，F2分别是双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且·＝0，则下列结论正确的是(　　) A.双曲线C的渐近线方程为y＝±x B.△PF1F2的面积为1 C.F1到双曲线的一条渐近线的距离为2 D.以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1 答案　AB 解析　对于A，由x2－y2＝0得y＝±x，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x，所以A正确； 对于B，由双曲线C：x2－y2＝1， 可得a＝1，b＝1，c＝， 则F1(－，0)，F2(，0)，设P(x，y)， 则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)， 所以·＝(－－x)(－x)＋(－y)2＝0，得x2＋y2＝2， 因为点P在双曲线上， 所以x2－y2＝1，解得|y|＝， 所以△PF1F2的面积为|F1F2||y|＝×2×＝1，所以B正确； 对于C，F1(－，0)到一条渐近线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以C错误； 对于D，由于 F1(－，0)，F2(，0)，所以以F1F2为直径的圆的圆心为(0，0)，半径为，所以圆的方程为x2＋y2＝2，所以D错误. 11.已知抛物线C：x2＝4y，焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，该抛物线的准线与y轴交于点M，过点A，B作准线的垂线，垂足分别为H，G，如图所示，则下列说法正确的是(　　) A.线段AB长度的最小值为2 B.以AB为直径的圆与直线y＝－1相切 C.∠HFG＝90° D.∠AMO＝∠BMO 答案　BCD 解析　如图，取AB的中点E，作ED⊥GH，垂足为D， 当线段AB为通径时长度最小，为2p＝4，故A不正确； ∵直线y＝－1为准线， ∴|ED|＝(|AH|＋|BG|)＝|AB|， 故以AB为直径的圆与准线y＝－1相切， 故B正确； 又|BF|＝|BG|， ∴∠BFG＝∠BGF， 又BG∥FM，∴∠BGF＝∠MFG， ∴∠BFG＝∠MFG， 同理可得∠AFH＝∠MFH， 又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°， ∴∠MFG＋∠MFH＝90°， ∴FG⊥FH. 即∠HFG＝90°，故C正确； 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，直线AB的斜率存在，∴设直线AB：y＝kx＋1， 由得x2－4kx－4＝0， ∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4， kAM＋kBM＝ ＝2k＋＝2k＋2·＝0， ∴∠AMO＝∠BMO，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.渐近线方程为y＝±x的一个双曲线方程是　　　　　　　. 答案　x2－＝1(答案不唯一) 解析　设焦点在x轴上，由题意可得，取a＝1，得b＝，c＝2，则双曲线方程是x2－＝1. 13.抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线＝1的渐近线相交于A，B两点，若△ABF的周长为4，则抛物线的方程是　　　　　　　　. 答案　y2＝4x 解析　由题意得F，准线方程为x＝－， 双曲线＝1的渐近线方程为y＝±x， 在y＝±x中，令x＝－得y＝±p， 故|AB|＝p，由勾股定理得|AF|＝|BF|＝p， 故△ABF的周长为p×2＋p＝4，解得p＝2， 故抛物线的方程为y2＝4x. 14.已知椭圆C：＝1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|＝6，则△ADE的周长是　　　　　　　　. 答案　13 解析　如图，连接AF1，DF2，EF2， 因为C的离心率为， 所以， 所以a＝2c，所以b2＝a2－c2＝3c2. 因为|AF1|＝|AF2|＝a＝2c＝|F1F2|， 所以△AF1F2为等边三角形， 又DE⊥AF2，所以直线DE为线段AF2的垂直平分线， 所以|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，且∠EF1F2＝30°， 所以直线DE的方程为y＝(x＋c)， 代入椭圆C的方程＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0，Δ>0恒成立，设D(x1，y1)，E(x2，y2)， 则x1＋x2＝－，x1x2＝－， 所以|DE|＝＝6， 解得c＝， 所以a＝2c＝，所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DE|＝4a＝13. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)设F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程. 解　设PF1的中点为M，连接F2M(图略). 由|PF2|＝|F1F2|， 得F2M⊥PF1，即|F2M|＝2a. 在Rt△F1F2M中，|F1M|＝＝2b， 故|PF1|＝4b. 根据双曲线的定义有4b－2c＝2a，即2b－a＝c， 即(2b－a)2＝a2＋b2，即3b2－4ab＝0，即3b＝4a， 故双曲线的渐近线方程是y＝±x＝±x， 即4x±3y＝0. 16.(15分)椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，一条直线l经过点F1与椭圆交于A，B两点. (1)求△ABF2的周长；(6分) (2)若l的倾斜角为，求弦长|AB|.(9分) 解　(1)椭圆＝1，a＝2，b＝，c＝1， 由椭圆的定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝4， |BF1|＋|BF2|＝2a＝4， 又|AF1|＋|BF1|＝|AB|， ∴△ABF2的周长＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8. (2)由(1)可知F1(－1，0)， ∵直线l的倾斜角为， 则直线l的斜率为1，故直线l的方程为y＝x＋1. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程整理得7y2－6y－9＝0， 由根与系数的关系可知y1＋y2＝，y1y2＝－， 则由弦长公式得|AB|＝··. 17.(15分)已知双曲线E的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，并且E经过点P(2，3). (1)求双曲线E的方程；(6分) (2)过点M(0，1)的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.(9分) 解　(1)设双曲线E的方程为＝1(a>0，b>0)，则解得 所以双曲线E的方程为x2－＝1. (2)显然直线l的斜率存在， 则设直线l的方程为y＝kx＋1， 联立 得(3－k2)x2－2kx－4＝0，(*) 当3－k2＝0，即k＝或k＝－时，方程(*)只有一解，直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，此时，直线l的方程为y＝±x＋1. 当3－k2≠0，即k≠±时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 则Δ＝(－2k)2－4(3－k2)×(－4)＝0， 解得k＝±2，此时，直线l的方程为y＝±2x＋1. 综上所述，直线l的方程为y＝±x＋1或y＝±2x＋1. 18.(17分)已知过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，斜率为的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程；(8分) (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＋λ，求λ的值.(9分) 解　(1)抛物线x2＝2py的焦点为，所以直线AB的方程为y＝x＋， 由消去x得4y2－5py＋p2＝0，Δ>0恒成立， 所以y1＋y2＝， 由抛物线的定义得|AB|＝y1＋y2＋p＝9，即＋p＝9， 得p＝4，所以抛物线的方程为x2＝8y. (2)由p＝4知，方程4y2－5py＋p2＝0可化为y2－5y＋4＝0， 解得y1＝1，y2＝4，故x1＝－2，x2＝4. 所以A(－2，1)，B(4，4). 则＋λ＝(－2，1)＋λ(4，4) ＝(－2＋4λ，1＋4λ)， 故C(－2＋4λ，1＋4λ). 因为C为抛物线上一点， 所以(－2＋4λ)2＝8(1＋4λ)， 整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2. 19.(17分)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，且经过点. (1)求椭圆C的标准方程；(6分) (2)过点(1，0)作直线l与椭圆相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.(11分) 解　(1)由题意可得 解得a＝2，b＝，c＝1， 所以椭圆C的标准方程为＝1. (2)存在定点Q(4，0)，满足直线QA，QB恰好关于x轴对称，设直线l的方程为x＝my＋1， 由 联立得(4＋3m2)y2＋6my－9＝0， Δ＝(6m)2－4×(4＋3m2)×(－9)>0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，定点Q(t，0)， 由题意得t≠x1，t≠x2， 所以y1＋y2＝－，y1y2＝－， 因为直线QA，QB恰好关于x轴对称， 所以直线QA，QB的斜率互为相反数， 所以＝0， 即y1(x2－t)＋y2(x1－t)＝0， 所以y1(my2＋1－t)＋y2(my1＋1－t)＝0， 即2my1y2＋(1－t)(y1＋y2)＝0， 所以2m·＋(1－t)＝0， 即－6m(4－t)＝0，所以当t＝4时，直线QA，QB恰好关于x轴对称，即Q(4，0). 综上，在x轴上存在定点Q(4，0)，使直线QA，QB恰好关于x轴对称. 学科网（北京）股份有限公司 $