高中数学单元测试——第二章圆锥曲线（较难版02）

**基本信息** 高中数学第二章圆锥曲线较难版单元卷，覆盖抛物线、双曲线、椭圆核心知识，通过基础概念辨析、情境应用（如古代抛物线拱桥）及综合问题（轨迹方程、定点证明），适配单元复习，提升数学眼光（几何直观）、思维（推理运算）与语言（模型应用）素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|抛物线焦点、双曲线渐近线、椭圆离心率|基础概念辨析，如抛物线点到准线距离计算| |多选题|3/18|双曲线性质、抛物线弦中点、双纽线新定义|知识辨析与创新应用，如双纽线对称性判断| |填空题|3/15|双曲线参数范围、抛物线距离最值、椭圆与直线综合|空间观念与运算能力，如抛物线最近点求解| |解答题|5/67|曲线方程、焦点弦、中点弦、斜率定值、轨迹与定点|综合推理与模型应用，如椭圆斜率之和定值证明|

高中数学单元测试 —— 第二章 圆锥曲线（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据抛物线定义求. 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 2．（本题5分）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】先判断双曲线的焦点在轴上，再由其渐近线方程列出关于的方程求解即得. 【详解】因为方程表示双曲线，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以其渐近线方程为， 由解得. 故选：A 3．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度，得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 4．（本题5分）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【分析】由点的纵坐标及点在抛物线上得到点的横坐标，再由到准线的距离得到的值. 【详解】 如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或． 故选：D. 5．（本题5分）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】分焦点在轴上或轴上，两种情况，结合椭圆性质讨论求解即可. 【详解】因为焦距为8，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，椭圆不存在，舍去； 若椭圆的焦点在轴上，椭圆过点，则， 此时，，所以，椭圆存在， 故椭圆的焦点在轴上，标准方程为． 故选：C 6．（本题5分）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设抛物线的标准方程为，由题意可知，点在抛物线上，代入即可求得值，进而可求得抛物线的标准方程. 【详解】根据题意，设抛物线的标准方程为， 因为抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m， 所以点在抛物线上， 代入可得，解得，所以抛物线的标准方程为. 故选：B 7．（本题5分）双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】先由双曲线的渐近线方程和点斜式得到方程，再联立渐近线解出点坐标，然后由两点间距离公式求出，最后计算面积即可. 【详解】渐近线方程为， 方程为，与渐近线联立， 得，； 点到的距离 所以平行四边形OAPB的面积. 故选：A. 8．（本题5分）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解. 【详解】依题意，设，而，，    则 ， 要使最大，则在右半椭圆上，故， ，此时点位于右顶点. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 【答案】ACD 【分析】由有，逐项验证即可求解. 【详解】由有，所以双曲线的焦点在轴上，故A正确； 由，所以虚轴长为，故B错误； 由得，故C正确；由，所以，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10．（本题6分）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为4，，则（    ） A．的斜率为1 B．在轴上的截距为 C．弦中点的纵坐标为 D． 【答案】ACD 【分析】联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据中点关系求解，进而由弦长公式求解，利用抛物线焦半径公式即可求解. 【详解】易得的斜率存在，设，，， 由得，则由，得. 由，得， 所以，弦中点的纵坐标为，. 故ACD正确，B错误， 故选：ACD 11．（本题6分）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（    ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 【答案】AD 【分析】对于A，利用两点的距离公式整理方程，将关于坐标轴对称的点代入，可得答案；对于B，利用一元二次方程根的存在性，求得动点坐标的范围，结合三角形面积公式，可得答案；对于C，根据三角形三边关系，可得答案；对于D，联立方程，因式分解求方程的根，可得答案. 【详解】对于A，由， 则曲线方程为， 由关于轴的对称点为，显然当满足方程时，也满足方程， 则双纽线关于轴对称，故A正确； 对于B，由方程， 整理可得关于的方程， 由，解得， 由，则其最大值为，故B错误； 对于C，当点不在原点，则构成，则，故C错误； 对于D，将代入方程， 整理可得，解得或，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 12．（本题5分）曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的双曲线的标准方程的特征得到不等式组，即可得解. 【详解】方程，表示焦点在轴上的双曲线， ， ． 故答案为： 13．（本题5分）已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则__________. 【答案】3 【分析】根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解, 由抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由题知，设，其中，则 由于点是抛物线上到点距离最近的点，， 故答案为：3. 14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 【答案】或2 【分析】首先利用坐标表示，再坐标表示平行四边形的向量关系，利用点在椭圆上，结合离心率，即可求解. 【详解】设，， 因为，所以，设， 因为，所以所以，即， 因为，且，所以， 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）； 当，即时，表示焦点在轴上的椭圆， 此时，，，，此时由得或（舍去）． 综上所述，或． 故答案为：或2 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 【答案】(1) (2) 【分析】(1)利用待定系数法来求抛物线方程； (2)利用双曲线的来求双曲线方程. 【详解】（1）可设对称轴是轴，且顶点在原点的抛物线方程为：， 由经过点可得，， 所以抛物线方程为； （2）由椭圆的短轴两个顶点为， 可知双曲线的焦点为，即， 由离心率为2，则， 所以， 根据焦点在轴上可得双曲线方程为：. 16．（本题15分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）由已知得出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线焦半径公式求解. 【详解】（1）由抛物线的性质知，，故抛物线； （2）由直线l的倾斜角为，则斜率为，直线方程为， 设， 联立，整理得，         则，，故    17．（本题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，然后根据经过的点坐标求出的值，进而求得双曲线的方程. （2）设，将其代入双曲线方程中进行化简即可求得直线的斜率，进而得到直线的方程. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为， 即，又双曲线的渐近线方程为，所以，即. 而双曲线经过点，所以有，解得. 所以双曲线的方程为. （2）设，将其代入双曲线方程中得 ，两式相减得 因为线段的中点坐标为，所以. 所以，设直线的斜率为，则. 所以直线的方程为，即. 18．（本题17分）已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)若直线，求两点坐标； (2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)或. (2)是，定值为 【分析】（1）通过联立直线方程与椭圆方程，求解即可； （2）先设直线的方程为，与椭圆的方程联立，根据韦达定理及斜率公式计算即可. 【详解】（1）由题知，， 解得，或， 所以或. （2）设直线的方程为，，， 联立，得， 方程的判别式， 所以， 所以 故直线、的斜率之和是定值，为0. 19．（本题17分）已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点. 【答案】(1) (2) 证明：由（1）知 依题意直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，，， 由，得， ，由，得， 所以，. 则 ， 整理得， 即， 解得或， 当时，直线l的方程为， 直线l过定点； 当时，直线l的方程为， 直线l过定点，不合题意，舍去. 综上所述，直线l过定点. 【分析】（1）画出图形，结合题意由双曲线的定义得到点的轨迹是以，为焦点的双曲线，求出即可； （2）设直线l的方程为，，，直曲联立，表示出韦达定理，然后得出斜率间关系，进而解出或，然后再求直线过定点即可. 【详解】（1）连接OM， 由题意可得，且M为的中点，又O为的中点， 所以，且|. 因为线段的中垂线与直线相交于点T， 所以， 所以， 由双曲线的定义知动点T的轨迹是以，为焦点的双曲线. 设其方程为（，），则，，， 故曲线C的方程为. （2）略 【点睛】方法点睛：直线过定点问题可把直线方程中的看成已知，把参数看成未知量，（类似于主元变换的性质）求出所过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 圆锥曲线（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（本题5分）已知双曲线的渐近线方程为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（本题5分）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 5．（本题5分）若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（    ） A．或 B． C． D． 6．（本题5分）在中国古代桥梁的建筑中，有不少是世界桥梁史上的创举．如图所示，某抛物线形拱桥的桥拱跨度为10m，拱高为4m．以桥拱最高点为原点，桥拱的对称轴为轴，建立平面直角坐标系，则桥拱所在的抛物线的标准方程为（   ）    A． B． C． D． 7．（本题5分）双曲线，过点作的两条渐近线的平行线，分别与渐近线相交于A，B两点，则平行四边形OAPB的面积是（   ） A． B．1 C． D．2 8．（本题5分）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（本题6分）关于双曲线的以下论述中，正确的是（   ） A．焦点在y轴上 B．虚轴长为16 C．渐近线方程为 D．离心率为 10．（本题6分）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为4，，则（    ） A．的斜率为1 B．在轴上的截距为 C．弦中点的纵坐标为 D． 11．（本题6分）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（    ） A．双纽线是轴对称图形 B．的面积的最大值为 C． D．直线与双纽线有三个交点 三、填空题 12．（本题5分）曲线是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为________. 13．（本题5分）已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则__________. 14．（本题5分）已知为坐标原点，椭圆的方程为，其离心率为，设，分别是两条直线和（且）上的动点，且线段的长度为，若上存在点，使得四边形是平行四边形，则_____． 四、解答题 15．（本题13分）根据下列条件，求曲线方程. (1)对称轴是轴，且顶点在原点，经过，求抛物线方程； (2)以椭圆的短轴的两个顶点为焦点，且离心率为2的双曲线方程； 16．（本题15分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 17．（本题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线相交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程. 18．（本题17分）已知椭圆的右焦点为，不垂直轴且不过点的直线与椭圆相交于两点. (1)若直线，求两点坐标； (2)若直线经过点，则直线、的斜率之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 19．（本题17分）已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $