第6章 3.2 离散型随机变量的方差（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差，通过机床加工次品数问题导入，联系初中方差知识，引出均值相等时需用方差刻画数据波动，构建前后知识学习支架。 其亮点是以实际问题驱动，培养数学眼光（发现波动规律）、数学思维（推导方差性质）、数学语言（建立应用模型）。从骰子点数计算到投资项目选择，例题层次递进，课堂小结梳理方法与误区，助力学生巩固知识，教师教学更高效。

离散型随机变量的方差 第六章　§3　离散型随机变量的均值与方差 <<< 3.2 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差的概念. 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题. 学习目标 均值是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值，在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.本节我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度——方差进行研究. 导 语 一、离散型随机变量的方差 二、方差的性质 课时对点练 三、方差的应用 随堂演练 内容索引 离散型随机变量的方差 一 A，B两台机床同时加工某一产品，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如表： 问题1 A机床 次品数X1 0 1 2 3 P 0.7 0.2 0.06 0.04 B机床 次品数X2 0 1 2 3 P 0.8 0.06 0.04 0.1 试想利用什么指标可以比较A，B两台机床的加工质量？ 提示　EX1＝0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04＝0.44. EX2＝0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.1＝0.44. 它们的均值相等，只根据均值无法区分这两台机床的加工水平.可以利用样本方差，它可以刻画样本数据的稳定性. 若离散型随机变量X的分布列如表： 则(xi－EX)2描述了xi(i＝1，2，…，n)相对于均值EX的 ，而DX＝E(X－EX)2＝(xi－EX)2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机 变量X与其均值EX的平均偏离程度，我们称DX为随机变量X的 ，其算术平方根为随机变量X的 ，记作 . 偏离程度 方差 标准差 σX X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 知识梳理 方差(标准差)越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小； 反之，方差(标准差)越大，则随机变量的取值越分散. 注 意 点 <<< 9 　(课本例5)　随机抛掷一枚均匀的骰子，求掷出的点数X的方差和标准差(结果精确到0.01). 例 1 10 掷出点数X的分布列如表： 解 EX=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5； DX=(1-3.5)2×+(2-3.5)2×+(3-3.5)2×+(4-3.5)2×+(5-3.5)2×+ (6-3.5)2×=≈2.92； σX=≈1.71. X 1 2 3 4 5 6 P 11 　(1)已知随机变量X的分布列如表： 例 1 X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 则DX＝　　　. 1.2 12 由随机变量X的分布列可得 EX＝0×0.1+1×0.2+2×0.4+3×0.2+4×0.1＝2， 所以DX＝(0－2)2×0.1+(1－2)2×0.2+(2－2)2×0.4+(3－2)2×0.2+(4－2)2 ×0.1＝1.2. 解析 13 (2)有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽出3张，设这3张卡片上的数字和为X，则DX＝　　　　. 3.36 14 由题意得，随机变量X的所有可能取值为6，9，12. P(X＝6)＝，P(X＝9)＝， P(X＝12)＝， 则EX＝6×+9×+12×＝7.8， DX＝×(6－7.8)2+×(9－7.8)2+×(12－7.8)2＝3.36. 解析 15 求离散型随机变量的方差的方法 (1)根据题目条件先求分布列. (2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，当分布列中的概率值是待定常数时，应先由分布列的性质求出待定常数再求方差. 反 思 感 悟 16 　(1)已知随机变量X的分布列如下表，则X的标准差为 跟踪训练 1 易知0.4+0.1+x＝1，解得x＝0.5， ∴EX＝1×0.4+3×0.1+5×0.5＝3.2， ∴DX＝(1－3.2)2×0.4+(3－3.2)2×0.1+(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴X的标准差为. 解析 X 1 3 5 P 0.4 0.1 x A.3.56 B. C.3.2 D. √ 17 (2)编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的3个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生人数是X，则X的方差为 A. B. C. D.1 √ 18 由题意得X的可能取值为0，1，3， P(X＝0)＝，P(X＝1)＝， P(X＝3)＝， ∴EX＝0×+1×+3×＝1， ∴DX＝(0－1)2×+(1－1)2×+(3－1)2×＝1. 解析 19 二 方差的性质 若随机变量X的方差为DX，Y＝aX+b(a，b为常数)，你能推导出DX与DY的关系吗？ 问题2 提示　EY＝aEX+b，∴DY＝D(aX+b)＝(ax1+b－aEX－b)2p1+(ax2+b－aEX－b)2p2+…+(axn+b－aEX－b)2pn＝(ax1－aEX)2p1+(ax2－aEX)2p2+…+(axn－aEX)2pn＝a2DX. 离散型随机变量的方差的性质 (1)设a，b为常数，则D(aX+b)＝ . (2)Dc＝ (其中c为常数). a2DX 0 知识梳理 　已知随机变量X的分布列如下： 例 2 由分布列的性质知++a＝1，故a＝.从而X2的分布列为 解 (1)求X2的分布列； X －1 0 1 P a X2 0 1 P 23 (2)计算X的方差； 由(1)知a＝， 所以X的均值 EX＝(－1)×+0×+1×＝－. 故DX＝×+×+×. 解 24 (3)若Y＝4X+3，求Y的均值和方差. 因为随机变量Y＝4X+3， 所以EY＝4EX+3＝2，DY＝42DX＝11. 解 25 求随机变量Y＝aX+b方差的方法 求随机变量Y＝aX+b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均值，最后求方差；另一种方法是应用公式D(aX+b)＝a2DX求解. 反 思 感 悟 26 　 (1)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，则E(3X+1)和D(3X+1)的值分别是 A.3和4 B.3和2 C.2和4 D.2和2 跟踪训练 2 √ 27 ∵随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝， ∴P(X＝1)＝，∴EX＝0×+1×， ∴DX＝×+×， E(3X+1)＝3EX+1＝3×+1＝2， ∴D(3X+1)＝32DX＝9×＝2. 解析 28 (2)(多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，5，a∈R)，Eξ，Dξ分别为随机变量ξ的均值与方差，则下列结论正确的是 A.P(0<ξ<3.5)＝ B.E(3ξ+1)＝7 C.Dξ＝2 D.D(3ξ+1)＝6 √ √ √ 29 因为随机变量ξ的分布列为 P(ξ＝k)＝(k＝1，2，5，a∈R)， 由分布列的性质知 P(ξ＝1)+P(ξ＝2)+P(ξ＝5)＝++＝1，解得a＝1， 所以P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)+P(ξ＝2)＝，A选项正确； Eξ＝1×+2×+5×＝2， 则E(3ξ+1)＝3Eξ+1＝3×2+1＝7，B选项正确； Dξ＝×(1－2)2+×(2－2)2+×(5－2)2＝2，C选项正确； D(3ξ+1)＝9Dξ＝18，D选项不正确. 解析 30 方差的应用 三 　(课本例6)　甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，设ξ，η分别表示甲、乙两人所加工出的次品件数，且ξ和η的分布列分别如表(1)、表(2)： 例 3 表(1) ξ 0 1 2 P 表(2) η 0 1 2 P 试比较这两名工人谁的技术水平更高. 32 因为Eξ=0×+1×+2×=0.7， Eη=0×+1×+2×=0.7， 即Eξ=Eη，说明甲、乙两名工人所加工出的平均次品件数相同，可以认为他们的技术水平相当. 又因为Dξ=(0-0.7)2×+(1-0.7)2×+(2-0.7)2×=0.81， Dη=(0-0.7)2×+(1-0.7)2×+(2-0.7)2×=0.61. 所以Dξ>Dη，说明工人乙的技术比较稳定. 解 33 　甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为 例 3 ξ 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 η 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定两个保护区的管理水平. 34 甲保护区的违规次数ξ的均值和方差分别为 Eξ＝0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2＝1.3， Dξ＝(0－1.3)2×0.3+(1－1.3)2×0.3+(2－1.3)2×0.2+(3－1.3)2×0.2＝1.21. 乙保护区的违规次数η的均值和方差分别为 Eη＝0×0.1+1×0.5+2×0.4＝1.3， Dη＝(0－1.3)2×0.1+(1－1.3)2×0.5+(2－1.3)2×0.4＝0.41. 因为Eξ＝Eη，Dξ>Dη，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定. 解 35 均值仅体现了随机变量取值的平均水平，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的方差，方差大说明随机变量取值较分散，方差小，说明取值比较集中.因此，在利用均值和方差的意义去分析解决问题时，两者都要分析. 反 思 感 悟 36 某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c. 经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等. (1)求a，b，c的值； 跟踪训练 3 37 依题意得，++a＝1， 解得a＝. 设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润， 则X1和X2的分布列分别为 解 X1 0.4x －0.2x 0 P X2 0.3x －0.1x P b c 38 所以EX1＝0.4x×+(－0.2x)×+0×＝0.2x， EX2＝0.3bx－0.1cx， 因为EX1＝EX2， 所以0.3bx－0.1cx＝0.2x， 即0.3b－0.1c＝0.2. 　　　　① 又b+c＝1， 　　　　② 由①②，解得b＝，c＝， 所以a＝，b＝，c＝. 解 39 (2)若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 40 选择项目B.理由如下： 当投入100万元资金时，由(1)知x＝100， 所以EX1＝EX2＝20， DX1＝(40－20)2×+(－20－20)2×+(0－20)2×＝600， DX2＝(30－20)2×+(－10－20)2×＝300. 因为EX1＝EX2，DX1>DX2，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B. 解 41 1.知识清单： (1)离散型随机变量的方差. (2)方差的性质. (3)方差的应用. 2.方法归纳：公式法、数学建模. 3.常见误区：方差公式的应用与计算易出现错误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝3，6，9，则DX等于 A.6 B.9 C.3 D.4 因为EX＝3×+6×+9×＝6. 所以DX＝×[(3－6)2+(6－6)2+(9－6)2]＝6. 解析 √ 1 2 3 4 2.从装有3个白球和7个红球的口袋中任取1个球，用X表示是否取到白球，即X＝则X的方差DX等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 由题意，得P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，故X的分布列为 解析 所以EX＝，DX＝×+×. X 0 1 P 1 2 3 4 3.已知离散型随机变量X的分布列为 由分布列的性质知0.5+m+0.2＝1， 解得m＝0.3， 所以EX＝1×0.5+3×0.3+5×0.2＝2.4， 所以DX＝(1－2.4)2×0.5+(3－2.4)2×0.3+(5－2.4)2×0.2＝2.44. 解析 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差DX等于 A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 √ 1 2 3 4 4.已知随机变量X的分布列为 1.56 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1 则DX＝　　　　，D(2X－1)＝　　　　. 6.24 EX＝0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2+4×0.1＝1.8，所以DX＝(0－1.8)2× 0.2+(1－1.8)2×0.2+(2－1.8)2×0.3+(3－1.8)2×0.2+(4－1.8)2×0.1＝1.56，由方差的性质，得D(2X－1)＝4DX＝4×1.56＝6.24. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C C C D C ABC 0.5　0.76 题号 8 11 12 13 14 15 答案 C BCD BC 3 1　1 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6＝1，∴a＝0.3. 同理0.3+b+0.3＝1，∴b＝0.4. (2)Eξ＝1×0.3+2×0.1+3×0.6＝2.3， Eη＝1×0.3+2×0.4+3×0.3＝2， Dξ＝(1－2.3)2×0.3+(2－2.3)2×0.1+(3－2.3)2×0.6＝0.81， Dη＝(1－2)2×0.3+(2－2)2×0.4+(3－2)2×0.3＝0.6. 由于Eξ>Eη，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但Dξ>Dη，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)记“第二次取球后才停止取球”为事件A. 易知第一次取到偶数球的概率为，第二次取球时袋中有三个奇数， 所以第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，所以P(A)＝×. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球； 若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球， 所以X的可能取值为3，5，6，7. 所以P(X＝3)＝×， P(X＝5)＝×+×， P(X＝6)＝×+×， P(X＝7)＝×， 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以X的分布列为 X 3 5 6 7 P 均值EX＝3×+5×+6×+7×， 方差DX＝×+×+×+×. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意可知甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌曲的歌名分两种情况：猜对A，B；猜对A，B，C，这两种情况不会同时发生. 设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌曲的歌名”为事件E， 由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得 P(E)＝P(AB+ABC)＝0.8×0.5×(1－0.5)+0.8×0.5×0.5＝0.4. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)甲决定按“A，B，C”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为X， 则X的所有可能取值为0，1 000，3 000，6 000， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝1 000)＝0.8×(1－0.5)＝0.4， P(X＝3 000)＝0.8×0.5×(1－0.5)＝0.2， P(X＝6 000)＝0.8×0.5×0.5＝0.2， 所以EX＝0×0.2+1 000×0.4+3 000×0.2+6 000×0.2＝2 200. 甲决定按“C，B，A”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为Y， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则Y的所有可能取值为0，3 000，5 000，6 000， P(Y＝0)＝1－0.5＝0.5， P(Y＝3 000)＝0.5×(1－0.5)＝0.25， P(Y＝5 000)＝0.5×0.5×(1－0.8)＝0.05， P(Y＝6 000)＝0.5×0.5×0.8＝0.2， 所以EY＝0×0.5+3 000×0.25+5 000×0.05+6 000×0.2＝2 200. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　DX＝(0－2 200)2×0.2+(1 000－2 200)2×0.4+(3 000－2 200)2× 0.2+(6 000－2 200)2×0.2＝4 560 000， DY＝(0－2 200)2×0.5+(3 000－2 200)2×0.25+(5 000－2 200)2×0.05+(6 000 －2 200)2×0.2＝5 860 000， 由于EX＝EY，DY>DX，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名. 方法二　甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名. 基础巩固 1.随机变量X的方差，反映其取值的 A.平均水平 B.分布规律 C.波动大小 D.最大值和最小值 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2.已知随机变量X的分布列为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若EX＝，则DX的值是 A. B. C. D. √ X －1 0 1 P a b 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由分布列的性质可知，a+b+＝1， 所以a+b＝.又EX＝－a+， 解得a＝，b＝， 所以DX＝×+×+×. 解析 3.在某次运动会选拔赛上，甲、乙、丙、丁四人参加10 m气步枪项目的角逐，如果四人的平均成绩和方差如表所示： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 那么从这四个人中选择一人参加运动会10 m气步枪项目比赛，最佳人选是 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 √   甲 乙 丙 丁 平均环数 8.6 8.9 8.9 8.2 方差s2 3.5 3.5 2.1 5.6 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 均值反映成绩的平均水平，均值越大，平均水平越高，方差则是反映数据的稳定性程度，方差越小，数据越稳定，所以最佳人选应该是均值大、方差小的人，即选丙. 解析 4.设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)＝m，令随机变量X＝ 则X的方差DX等于 A.m B.2m(1－m) C.m(m－1) D.m(1－m) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得X服从两点分布，P(X＝1)＝m，P(X＝0)＝1－m，所以DX＝m(1－m). 解析 √ 5.在一袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1，2，3，4)，现从袋中任取一球，X表示所取球的标号，则DX的值为 A. B.3 C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 X的取值为0，1，2，3，4，其分布列为 解析 ∴EX＝0×+1×+2×+3×+4×， DX＝×+×+×+×+ ×. X 0 1 2 3 4 P 6.(多选)若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，EX，DX分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是 A.P(X＝1)＝EX B.E(2X+1)＝ C.D(2X+1)＝ D.DX＝ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵随机变量X服从两点分布，P(X＝0)＝， ∴P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝1－， EX＝0×+1×，故A正确； E(2X+1)＝2EX+1＝2×+1＝，故B正确； DX＝×+×，D(2X+1)＝22×，故C正确，D错误. 解析 7.已知随机变量X的分布列如表所示： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则a＝　　　，DX＝　　　　. X 1 2 3 P 0.3 0.2 a 0.5 0.76 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据随机变量分布列的性质， 知0.3+0.2+a＝1，所以a＝0.5， EX＝0.3×1+0.2×2+0.5×3＝2.2， DX＝(1－2.2)2×0.3+(2－2.2)2×0.2+(3－2.2)2×0.5＝0.76. 解析 8.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数ξ的方差Dξ ＝　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得ξ的所有可能取值为0，1，2，则 P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝， P(ξ＝2)＝， 所以Eξ＝0×+1×+2×， 所以Dξ＝×+×+×. 解析 9.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列分别为 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ξ 1 2 3 P a 0.1 0.6 η 1 2 3 P 0.3 b 0.3 (1)求a，b的值； 由离散型随机变量的分布列的性质可知a+0.1+0.6＝1，∴a＝0.3. 同理0.3+b+0.3＝1，∴b＝0.4. 解 (2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Eξ＝1×0.3+2×0.1+3×0.6＝2.3， Eη＝1×0.3+2×0.4+3×0.3＝2， Dξ＝(1－2.3)2×0.3+(2－2.3)2×0.1+(3－2.3)2×0.6＝0.81， Dη＝(1－2)2×0.3+(2－2)2×0.4+(3－2)2×0.3＝0.6. 由于Eξ>Eη，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但Dξ>Dη，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优劣. 解 10.袋中有大小相同的四个球，编号分别为1，2，3，4，每次从袋中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数，则停止取球. (1)求“第二次取球后才停止取球”的概率； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“第二次取球后才停止取球”为事件A. 易知第一次取到偶数球的概率为，第二次取球时袋中有三个奇数， 所以第二次取到奇数球的概率为，而这两次取球相互独立，所以P(A)＝×. 解 (2)若第一次取到偶数，记第二次和第一次取球的编号之和为X，求X的分布列和方差. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若第一次取到2，则第二次取球时袋中有编号为1，3，3，4的四个球； 若第一次取到4，则第二次取球时袋中有编号为1，2，3，3的四个球， 所以X的可能取值为3，5，6，7. 所以P(X＝3)＝×， P(X＝5)＝×+×， P(X＝6)＝×+×， P(X＝7)＝×， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以X的分布列为 解 均值EX＝3×+5×+6×+7×， 方差DX＝×+×+×+×. X 3 5 6 7 P 11.设a>0，已知随机变量ξ的分布列为 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则下列方差值中最大的是 A.Dξ B.D|ξ| C.D(2ξ－1) D.D(2|ξ|+1) √ ξ －1 0 2 P a 2a 3a 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，a+2a+3a＝1，解得a＝， 则Eξ＝－1×+0×+2×， E|ξ|＝1×+0×+2×， 所以Dξ＝×+×+×， D|ξ|＝×+×+×. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以D(2ξ－1)＝4×， D(2|ξ|+1)＝4×. 所以D(2ξ－1)>D(2|ξ|+1)>Dξ>D|ξ|. 解析 12.(多选)已知集合A＝B＝{1，2，3}，分别从集合A，B中随机取一个数，用X表示两数之和，X的均值和方差分别为EX，DX，则 A.P(X＝4)＝2P(X＝2) B.P(3≤X≤5)＝ C.EX＝4 D.DX＝ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，X的可能取值为2，3，4，5，6，分别从集合A，B中任取一个数，共有9种情况， 所以P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，P(X＝4)＝，P(X＝5)＝，P(X＝6)＝. 对于A，P(X＝4)＝3P(X＝2)，故A不正确； 对于B，P(3≤X≤5)＝++，故B正确； 对于C，EX＝2×+3×+4×+5×+6×＝4，故C正确； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，DX＝(2－4)2×+(3－4)2×+(4－4)2×+(5－4)2×+(6－4)2×，故D正确. 解析 13.(多选)已知随机变量ξ的分布列是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ξ －1 0 1 P 随机变量η的分布列是 η 1 2 3 P 则当p在(0，1)内增大时，下列选项中正确的是 A.Eξ＝Eη B.Dξ＝Dη C.Eξ增大 D.Dη先增大后减小 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，∵η＝ξ+2，∴Eη＝Eξ+2，故A错误； 对于B，∵η＝ξ+2，∴Dξ＝Dη，故B正确； 对于C，∵Eξ＝－+p，∴当p在(0，1)内增大时，Eξ增大，故C正确； 对于D，∵Eη＝1×+2×+3×+， ∴Dη＝×+×+×＝－(p－2)2+， ∴当p在(0，1)内增大时，Dη增大，故D错误. 解析 14.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝，P(X＝x2)＝，且x1<x2，又已知EX＝，DX＝，则x1+x2的值为　　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得 即 解得 又x1<x2，所以所以x1+x2＝3. 解析 15.编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则Eξ＝　　，Dξ＝　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ξ的所有可能取值为0，1，3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1，2，3的座位上分别坐了编号为2，3，1或3，1，2的学生， 则P(ξ＝0)＝； ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了， 则P(ξ＝1)＝； ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座， 则P(ξ＝3)＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以ξ的分布列为 解析 Eξ＝0×+1×+3×＝1. Dξ＝×(0－1)2+×(1－1)2+×(3－1)2＝1. ξ 0 1 3 P 16.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲歌名的概率及猜对时获得相应的奖励基金如表： 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.5 0.5 获得的奖励基金金额/元 1 000 2 000 3 000 (1)若甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，求至少猜对两首歌曲歌名的概率； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知甲按“A，B，C”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌曲的歌名分两种情况：猜对A，B；猜对A，B，C，这两种情况不会同时发生. 设“甲按‘A，B，C’的顺序猜歌名至少猜对两首歌曲的歌名”为事件E， 由甲猜对每首歌曲的歌名相互独立可得 P(E)＝P(AB+ABC)＝0.8×0.5×(1－0.5)+0.8×0.5×0.5＝0.4. 解 (2)甲决定按“A，B，C”或者“C，B，A”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 甲决定按“A，B，C”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为X， 则X的所有可能取值为0，1 000，3 000，6 000， P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝1 000)＝0.8×(1－0.5)＝0.4， P(X＝3 000)＝0.8×0.5×(1－0.5)＝0.2， P(X＝6 000)＝0.8×0.5×0.5＝0.2， 所以EX＝0×0.2+1 000×0.4+3 000×0.2+6 000×0.2＝2 200. 甲决定按“C，B，A”顺序猜歌名，获得的奖励基金金额记为Y， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则Y的所有可能取值为0，3 000，5 000，6 000， P(Y＝0)＝1－0.5＝0.5， P(Y＝3 000)＝0.5×(1－0.5)＝0.25， P(Y＝5 000)＝0.5×0.5×(1－0.8)＝0.05， P(Y＝6 000)＝0.5×0.5×0.8＝0.2， 所以EY＝0×0.5+3 000×0.25+5 000×0.05+6 000×0.2＝2 200. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　DX＝(0－2 200)2×0.2+(1 000－2 200)2×0.4+(3 000－2 200)2× 0.2+(6 000－2 200)2×0.2＝4 560 000， DY＝(0－2 200)2×0.5+(3 000－2 200)2×0.25+(5 000－2 200)2×0.05+ (6 000－2 200)2×0.2＝5 860 000， 由于EX＝EY，DY>DX，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名. 方法二　甲按“C，B，A”的顺序猜歌名时，获得0元的概率为0.5，大于按照“A，B，C”的顺序猜歌名时获得0元的概率0.2，所以应该按照“A，B，C”的顺序猜歌名. 解 第六章　§3　离散型随机变量的均值与方差 <<< $