第5章 4.1 二项式定理的推导（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件围绕二项式定理展开，涵盖定理推导、展开式通项、二项式系数与项的系数区分及特定项求解。通过牛顿发现定理的历史导入，从(a+b)²展开问题出发，用分步乘法计数原理搭建支架，引导学生从具体到抽象推导定理，衔接多项式乘法与计数原理的知识脉络。 其亮点是以问题链驱动探究，结合正反例（如正用展开(2+1/x)⁴，逆用化简1+2Cₙ¹+…+2ⁿCₙⁿ=3ⁿ）培养数学思维，通过“反思感悟”和“课堂小结”帮助学生用数学语言表达规律。既提升学生推理与应用能力，又为教师提供结构化教学资源，助力高效教学。

二项式定理的推导 第五章　§4　二项式定理 <<< 4.1 1.能根据多项式运算法则和计数原理推导出二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 学习目标 艾萨克·牛顿(Isaac Newton，1643－1727)被誉为人类历史上最伟大的科学家之一.他不仅是一位物理学家、天文学家，还是一位伟大的数学家.1664年冬，由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥回到乡下，研读沃利斯博士的《无穷算术》，牛顿开始了对二项式定理的研究，并最终建立二项式定理，牛顿是如何思考的呢？ 导 语 一、二项式定理 二、二项式系数与项的系数 课时对点练 三、二项展开式中的特定项 随堂演练 内容索引 二项式定理 一 提示　从上述过程可以看到，(a+b)2是2个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个(a+b)在相乘时有两种选择，选a或选b，而且每个(a+b)中的a或b都选定后，才能得到展开式的一项.于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，(a+b)2的展开式共有2×2＝22项，而且每一项都是a2－k×bk (k＝0，1，2)的形式.而且a2－kbk相当于从2个(a+b)中取k个b的组合数. 在初中，我们用多项式乘法法则得到了(a+b)2的展开式：(a+b)2＝(a+b)(a+b)＝a×a+a×b+b×a+b×b＝a2+2ab+b2.如何利用分步乘法计数原理解释上述展开过程？ 问题1 提示　(a+b)3＝b3. 你能根据问题1的分析，写出(a+b)3的展开式吗？ 问题2 二项式定理 (a+b)n＝______________________________________________ an－kbk. (1)这个公式称为二项式定理. (2)展开式：等号右边的式子称为(a+b)n的二项展开式，展开式中共有_____项. (3)二项式系数：各项的系数(k＝0，1，2，…，n)称为二项式系数. (4)二项式通项：(a+b)n展开式的第 项称为二项式通项，记作Tk+1＝___________. an－2b2+…+an－kbk+…+ n+1 k+1 an－kbk 知识梳理 8 (1)每一项中a与b的指数和为n； (2)各项中a的指数从n起依次减小1，到0为止，各项中b的指数从0起依次增加1，到n为止； (3)a与b的位置若交换，展开式形式变化； (4)an－kbk表示的是第(k+1)项； (5)二项式定理中只有a，b两项.若有多项，可合并化为两项后再解决问题. 注 意 点 <<< 9 　 (课本例3)　求的展开式. 例 1 =24+23+22+21·+20 =16++++. 解 10 (1)求的展开式. 例 1 方法一　(3)4+·(3)3·(3)2(3)·. 方法二　(1+3x)4＝·[1+(3x)2 +(3x)3+·(3x)4]＝(1+12x+54x2+108x3+81x4)＝+54+108x +81x2. 解 11 (2)化简：1+2+…+2n. 原式＝·1n－2·22+…+·2n＝(1+2)n＝3n. 解 12 若将式子变为“1－2+…+(－2)n”，求化简结果. 延伸探究 1 逆用二项式定理，将1看成公式中的a，－2看成公式中的b，可得原式＝ (1－2)n＝(－1)n. 解 13 (1)求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如(a－b)n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开. (2)逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 注意：逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是(a－b)n的形式. 反 思 感 悟 14 (1)求的展开式. 跟踪训练 1 方法一　(2x)5+(2x)4·(2x)3(2x)2(2x) ＝32x5－120x2+. 方法二　 ＝(4x3)5+(4x3)4(－3)+(4x3)3·(－3)2+(4x3)2(－3)3+(4x3)(－3)4 +·(－3)5]＝32x5－120x2+. 解 15 (2)化简：(2x+1)5－5(2x+1)4+10(2x+1)3－10(2x+1)2+5(2x+1)－1. 原式＝(2x+1)5－(2x+1)4+(2x+1)3－(2x+1)2+(2x+1)－(2x+1)0＝[(2x+1)－1]5＝(2x)5＝32x5. 解 16 二 二项式系数与项的系数 　(课本例4)　求(x-2y)7展开式中x4y3的系数. 例 2 因为x4y3中“x”的指数为4，所以由二项式通项，得 x4(-2y)3=-280x4y3. 因此，x4y3的系数是-280. 解 18 (1)求展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； 由已知得二项式通项为 Tk+1＝(2)6－k· ＝26－k·(－1)k·， ∴T6＝26－5·(－1)5·. ∴第6项的二项式系数为＝6， 第6项的系数为－12. 解 例 2 19 (2)求展开式中x3的系数. 设展开式中的第k+1项为含x3的项，则 Tk+1＝＝(－1)k··x9－2k， 令9－2k＝3，得k＝3， 即展开式中第4项含x3， 其系数为(－1)3·＝－84. 解 20 　 若将题目改为“展开式中x3的系数是－84”，则a＝　 . 延伸探究 2 的展开式的通项为 Tk+1＝x9－k(－a)k ＝(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N). 当9－2k＝3时，解得k＝3， 代入得x3的系数为(－a)3＝－84， 解得a＝1. 解析 1 21 正确区分二项式系数与项的系数 二项式系数与项的系数是两个不同的概念.二项式系数是指，只与项数有关，与a，b的值无关，二项式系数的值恒为正；项的系数是指该项中除变量外的常数部分，不仅与项数有关，还与a，b的值有关，系数的值可正可负. 反 思 感 悟 22 已知二项式. (1)求展开式的第4项的二项式系数； 跟踪训练 2 的展开式的通项 Tk+1＝(3)10－k ＝(k＝0，1，2，…，10). 展开式的第4项(k＝3)的二项式系数为＝120. 解 23 (2)求展开式的第4项的系数. 展开式的第4项的系数为＝－77 760. 解 24 二项展开式中的特定项 三 在二项式的展开式中，求： (1)第4项； 例 3 的展开式的通项为Tk+1＝＝(－1)k. 令k＝3，则T4＝(－1)3＝－220x8. 解 26 (2)常数项； 令12－k＝0，解得k＝9， 所以常数项为(－1)9＝－220. 解 27 (3)有理项； 当k＝0，3，6，9，12时，Tk+1是有理项，分别为T1＝x12，T4＝－x8＝－220x8，T7＝x4＝924x4， T10＝－＝－220，T13＝. 解 28 (4)中间项. 因为n＝12，所以展开项共有13项，所以中间项为第7项. 令k＝6，得T7＝(－1)6＝924x4. 解 29 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k项，Tk＝an－k+1bk－1(k∈N+，k≤n+1)；②求含xk的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项. (2)求二项展开式的特定项的解题思路 ①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)； ②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解. 反 思 感 悟 30 　已知在的展开式中，第6项为常数项. (1)求n； 跟踪训练 3 的展开式的通项为 Tk+1＝(－3)k(－3)k. ∵第6项为常数项，∴当k＝5时，有＝0，即n＝10. 解 31 (2)求含x2项的系数； 令＝2，得k＝2， ∴所求项的系数为(－3)2＝405. 解 32 (3)求展开式中所有的有理项. 由题意得 令＝t(t∈Z)，则10－2k＝3t， 即k＝5－t.∵k∈N，∴t应为偶数. 令t＝2，0，－2，则k＝2，5，8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236，295 245x－2. 解 33 1.知识清单： (1)二项式定理的正用与逆用. (2)二项式系数与项的系数. (3)二项展开式中的特定项. 2.方法归纳：转化化归. 3.常见误区：二项式系数与系数的区别，an－kbk是展开式的第(k+1)项. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.二项式(a+b)2n展开式的项数是 A.2n B.2n+1 C.2n－1 D.2(n+1) √ 展开式的项数比二项式的指数大1，故选B. 解析 1 2 3 4 2.展开式中的第4项是 A.56x3 B.84x3 C.56x4 D.84x4 √ T4＝＝84x3. 解析 1 2 3 4 3.在二项式的项是　　　　. Tk+1＝(2x)7－k·27－k·x7－2k， 令7－2k＝－1， ∴2k＝8，k＝4， ∴含. 解析 1 2 3 4 4.代数式(x+1)4－4(x+1)3+6(x+1)2－4(x+1)+1可化简为　　　. x4 (x+1)4－4(x+1)3+6(x+1)2－4(x+1)+1＝(x+1)4+(x+1)3(－1)1+(x+1)2· (－1)2+(x+1)(－1)3+(－1)4＝[(x+1)－1]4＝x4. 解析 课时对点练 五 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A A ABC A BD 8 (1)10　(2)6 题号 11 12 13 14 15 答案 D B ACD B 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵展开式的通项为Tk+1＝(－a)k， 令6－＝3，则k＝2，得A＝·a2＝15a2； 令6－＝0，则k＝4，得B＝·a4＝15a4. 由B＝4A可得a2＝4，又a>0，所以a＝2. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)()n(其中n<15)展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别是. 依题意得＝2·， 化简得90+(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 即n2－37n+322＝0， 解得n＝14或n＝23， 因为n<15，所以n＝14. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)展开式的通项为Tk+1＝＝， 展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数， 又0≤k≤14，k∈N， 所以展开式中的有理项共3项，分别是 k＝0，T1＝x7＝x7； k＝6，T7＝x6＝3 003x6； k＝12，T13＝x5＝91x5. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)由题意知T4＝T8，即，∴n＝10. 展开式的通项为Tk+1＝ (k＝0,1,2,…,10) ， 由5－∈Z得k＝0或k＝6， 所以有理项为T1＝(－1)0x5＝x5， T7＝x4＝210x4. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)由， 由(1)知n＝10， ∴x2的系数为+…+＝()+()+…+()＝＝164. 基础巩固 1.(x+2)n的展开式共有12项，则n等于 A.9 B.10 C.11 D.8 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵(a+b)n的展开式共有n+1项，而(x+2)n的展开式共有12项， ∴n＝11. 解析 2.展开式中的常数项为 A.60 B.－60 C.250 D.－250 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 展开式中的常数项为 )4＝60. 解析 3.(x－y)10展开式中x6y4的系数是 A.840 B.－840 C.210 D.－210 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知Tk+1＝(－y)kx10－k，令k＝4，得(x－y)10展开式中x6y4项的系数为×(－)4＝840. 解析 4.(多选)在二项式的展开式中，有 A.含x的项 B.含的项 C.含x4的项 D.含的项 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 二项式的展开式的通项为Tk+1＝·35－k·(－2)k·x10－3k，k＝0，1，2，3，4，5.当10－3k＝1时，k＝3，A正确； 当10－3k＝－2时，k＝4，B正确； 当10－3k＝4时，k＝2，C正确； 当10－3k＝－4时，k＝，D错误. 解析 5.若实数a＝2－a8－…+210等于 A.32 B.－32 C.1 024 D.512 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a10－2a8－…+210＝(a－2)10， 当a＝2－时，(a－2)10＝32. 解析 6.(多选)若的展开式中含x2项，则n的值可能是 A.6 B.9 C.12 D.14 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 的二项式通项为 Tk+1＝)n－k(k∈N)， 令＝2，可得n＝5k+4(k∈N)， 当k＝0时，n＝4；当k＝1时，n＝9； 当k＝2时，n＝14；当k>2时，n>14.故选项中符合题意的是BD选项. 解析 7.若二项式(1+2x)n展开式中x3的系数等于x2的系数的4倍，则n＝　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 (1+2x)n展开式的通项为Tk+1＝(2x)k＝2kxk， 又x3的系数等于x2的系数的4倍，所以22，所以n＝8. 解析 8.已知在的展开式中，第9项为常数项，则： (1)n的值为　　　；  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 二项展开式的通项为Tk+1＝＝(－1)k. 因为第9项为常数项，所以当k＝8时，2n－k＝0，解得n＝10. 解析 (2)含x的整数次幂的项有　　　个. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 要使20－k为整数，需k为偶数， 由于k＝0，1，2，3，…，9，10， 故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项. 解析 9.若二项式(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，且B＝4A，求a的值. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵展开式的通项为Tk+1＝(－a)k， 令6－＝3，则k＝2，得A＝·a2＝15a2； 令6－＝0，则k＝4，得B＝·a4＝15a4. 由B＝4A可得a2＝4，又a>0，所以a＝2. 解 10.已知()n(其中n<15)展开式中第9项与第11项的二项式系数和是第10项的二项式系数的2倍. (1)求n的值； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ()n(其中n<15)展开式中第9项、第10项、第11项的二项式系数分别是. 依题意得＝2·， 化简得90+(n－9)(n－8)＝20(n－8)， 即n2－37n+322＝0， 解得n＝14或n＝23， 因为n<15，所以n＝14. 解 (2)写出它展开式中的所有有理项. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 展开式的通项为Tk+1＝＝， 展开式中的有理项当且仅当k是6的倍数， 又0≤k≤14，k∈N， 所以展开式中的有理项共3项，分别是 k＝0，T1＝x7＝x7； k＝6，T7＝x6＝3 003x6； k＝12，T13＝x5＝91x5. 解 11.在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是 A.－5 B.5 C.－10 D.10 √ 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1－x)5中x3的系数为－＝－10，－(1－x)6中x3的系数为－·(－1)3＝20，故(1－x)5－(1－x)6展开式中x3的系数为10. 解析 12.在的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为 A.4 B.5 C.6 D.7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Tk+1＝(3x2)n－kx2n－5k， 令2n－5k＝0，∴n＝k. 又0≤k≤n，k∈N，n∈N+， ∴正整数n的最小值为5. 解析 √ 13.(多选)已知(n≥3，n∈N+)的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，则 A.n＝7 B.展开式中有理项有且仅有1项 C.第4项为－ D.第3项的二项式系数为21 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的3倍，故有＝3n，化简整理得n2－7n＝0，解得n＝7或n＝0(舍去)，故A正确； 展开式的通项为Tk+1＝)7－k， 当k＝2或k＝6时，为整数，故当k＝2或k＝6时展开式为有理项，故B错误； T4＝，故C正确； 第3项的二项式系数为＝21，故D正确. 解析 14.对任意实数x，有x3＝a0+a1(x－2)+a2(x－2)2+a3(x－2)3，则a2的值为 A.3 B.6 C.9 D.21 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵x3＝(x－2+2)3＝(x－2)3+(x－2)2·2+(x－2)·22+·23＝8+12(x－2) +6(x－2)2+(x－2)3，∴a2＝6. 解析 15.(a+b+c)n(n∈N+)展开式中的项数为　　　　　. 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (a+b+c)n＝(a+b)n+(a+b)n－1c+…+cn，所以其展开式中的项数为(n+1)+n+(n－1)+…+2+1＝. 解析 16.在的展开式中，若第4项的二项式系数与第8项的二项式系数相等. (1)求展开式的所有有理项(指数为整数)； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知T4＝T8，即，∴n＝10. 展开式的通项为Tk+1＝ (k＝0,1,2,…,10)， 由5－∈Z得k＝0或k＝6， 所以有理项为T1＝(－1)0x5＝x5， T7＝x4＝210x4. 解 (2)求(1－x)3+(1－x)4+…+(1－x)n的展开式中x2的系数. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由， 由(1)知n＝10， ∴x2的系数为+…+＝()+()+…+()＝＝164. 解 第五章　§4　二项式定理 <<< $