第3章 4.1 第1课时 直线的方向向量与直线的向量表示（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件聚焦直线的方向向量及向量表示，通过“空间点的向量表示”过渡到“直线的确定条件”，衔接空间向量基础，搭建从点到直线的向量表示学习支架，为后续平面向量知识铺垫。 其亮点在于问题驱动与逻辑推理结合，以三棱锥、正方体等实例，用向量语言表述直线关系，培养数学眼光和思维。反思感悟总结方法，课堂小结梳理知识，助力学生构建体系，教师可利用丰富例题提升教学效果。

第1课时 直线的方向向量与直线的向量表示 第三章　4.1　直线的方向向量与平面的法向量 <<< 1.能用向量语言表述直线. 2.理解直线的方向向量，并会求直线的方向向量. 学习目标 我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面.本节我们就来研究如何用空间向量表示空间中的一条直线. 导 语 一、直线的方向向量 二、直线方向向量的简单应用 课时对点练 三、点在直线上的充要条件 随堂演练 内容索引 直线的方向向量 一 提示　在空间中，我们取一定点O，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量来表示，向量就是点P的位置向量. 在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ 问题1 提示　两点可以确定一条直线；由直线上的一点及这条直线的方向也可以确定一条直线. 在空间中，怎样可以确定一条直线？ 问题2 1.设点A，B是直线l上不重合的任意两点，称为直线l的 方向向量. 2.已知点M是直线l上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线l上的任意一点P，一定存在实数t，使得＝ .反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线l上，因此，我们把这个式子称为直线l的向量表示. ta 知识梳理 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合. (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 注 意 点 <<< 9 　在三棱锥P－ABC中，E，O，G分别为PA，AC，OC的中点.过点G求作直线EO的一个方向向量. 例 1 如图所示，取PE的中点H，连接HG， 则即是所求作的一个方向向量， ∵E，O，G，H分别是PA，AC，OC，PE的中点， ∴HG∥OE， ∴是直线EO的一个方向向量. (答案不唯一) 解 10 直线的方向向量的求法 求直线AB的方向向量，就是找与平行的任意非零向量，因此可以在直线AB上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的方向向量，也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点，分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的方向向量. 反 思 感 悟 11 　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，O是AC与BD的交点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：是直线GH的一个方向向量. 跟踪训练 1 12 连接MO(图略)， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O为AC的中点， 又M是PC的中点， ∴MO∥PA. ∵MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM， ∴PA∥平面BDM. ∵PA⊂平面PAG，平面PAG∩平面BDM＝GH， ∴PA∥GH，∴是直线GH的一个方向向量. 证明 13 二 直线方向向量的简单应用 　(课本例2)　在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，0)，B(2，3，3)，C(0，1，2)，点D为直线AB上的一点，且CD⊥AB，求. 例 2 15 依题意知＝(1，2，3)，＝(1，0，－2). 因为点D是直线AB上的一点，所以存在实数λ，使得＝λ，则 ++λ ＝(1+λ，2λ，－2+3λ). 由CD⊥AB，得·＝0，即 (1+λ)+2(2λ)+3(－2+3λ)＝0. 解得λ＝. 所以. 解 16 　已知在空间直角坐标系O－xyz中，点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点，且3||＝||，则点C的坐标是 A. B. C. D. √ 例 2 17 由题意得＝(－2，－6，－2). ∵C为线段AB上一点，且3||＝||， ∴， ∴＝(4，1，3)＋(－2，－6，－2)＝. 解析 18 利用方向向量求坐标的方法：将直线的向量表示＝ta转化为坐标，利用向量的坐标运算可求得. 反 思 感 悟 19 已知空间三点O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)，在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为 A. B. C.(－2，2，0) D.(2，－2，0) 跟踪训练 2 √ 20 由O(0，0，0)，A(－1，1，0)，B(0，1，1)， 得＝(－1，1，0)， 且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)， 则＝(－λ，λ－1，－1). 又BH⊥OA， ∴·＝0， 即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0， 即λ＋λ－1＝0，解得λ＝， ∴H. 解析 21 点在直线上的充要条件 三 提示　＝λ. 在空间中，如何证明A，B，P三点共线？ 问题3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线. 例 3 24 连接AO，AC1，A1C1(图略)， 则 ＝)＝. ∵＝2， －2， ∴－2)＋ ＝. 又＝1，故C1，O，M三点共线. 证明 25 P，A，B三点共线的两种充要条件 (1)存在实数t，使得＝t∥. (2)存在有序实数对(x，y)，使得＝x＋y(其中x＋y＝1). 反 思 感 悟 26 (1)在四面体OABC中，点M，N分别为OA，BC的中点，若＋x＋y，且G，M，N三点共线，则x＋y等于 A.－ B. C. D.－ 跟踪训练 3 √ 27 若G，M，N三点共线，则存在实数λ使得 ＝λ＋(1－λ) ＝成立， 所以，解得λ＝， 所以x＝y＝，所以x＋y＝. 解析 28 (2)已知点A(2，1，3)，B(－1，3，1)，直线AB与yOz平面的交点C的坐标 为　　　　 . 设C(0，a，b)，则∥， ＝(－2，a－1，b－3)，＝(－3，2，－2)， ∴，解得a＝，b＝， ∴C. 解析 29 1.知识清单： (1)直线的方向向量及其应用. (2)直线的向量表示. (3)点在直线上的充要条件. 2.方法归纳：转化与化归. 3.常见误区：对直线的方向向量表示理解不到位而致误. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知向量a＝(2，－1，3)和b＝(－4，2x2，6x)都是直线l的方向向量，则x的值是 A.－1 B.1或－1 C.－3 D.1 √ 由题意得a∥b，所以 解得x＝－1. 解析 1 2 3 4 2.(多选)由下列各式，可以判定点P在直线AB上的是 A.＋k B.＋k C.＋k D.＋k √ √ 由点P在直线上的充要条件可得选A，B. 解析 1 2 3 4 3.已知A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)，且＝2a，则点B的坐标为 A.(－7，10，24) B.(7，－10，－24) C.(－6，8，24) D.(－5，6，24) √ 设B(x，y，z)，由＝2a， ＝(x－1，y＋2，z－0)＝2(－3，4，12)， 得 即B(－5，6，24). 解析 1 2 3 4 4.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD－A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为　　　　　，直线BC1的一个方向向量为　　　 . (0，0，1) (0，1，1)(答案不唯一) 1 2 3 4 因为DD1∥AA1，＝(0，0，1)， 故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； 因为BC1∥AD1，＝(0，1，1)， 故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1). 解析 课时对点练 五 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 AB A D A B A 题号 8 11 12 13 答案 4 D AB (－4，0，7)　 题号 14 15 答案 b+c　a+b+c 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设点B(x，y，z)， ∵向量与a同向，且||＝2， ∴ 解得x＝－1，y＝2，z＝6， ∴点B的坐标为(－1，2，6). 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AC， ＝) ＝) ＝ ＝a＋b＋c， 故直线AE的一个方向向量是a＋b＋c(答案不唯一). 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接EH，GF，EG，HF(图略). 因为E，G分别为AB，AC的中点， 所以EG綊BC，同理HF綊BC， 所以EG綊HF. 所以四边形EGFH为平行四边形，其对角线EF，GH相交于一点O，且O为它们的中点. 连接OP，OQ，GP，HQ. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 只要能证明向量＝－，就可以说明P，O，Q三点共线，且O为PQ的中点. 因为， 又因为O为GH的中点， 所以＝0. 又GP綊CD，QH綊CD， 所以， 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则 ＝0＋＝0. 所以＝－. 所以PQ经过点O，且O为PQ的中点. 综上所述，EF，GH，PQ相交于一点O，且O为它们的中点. 基础巩固 1.(多选)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直线l上，则直线l的方向向量是 A.(2，2，6) B.(1，1，3) C.(3，1，1) D.(－3，0，1) √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵M，N在直线l上， 且＝(1，1，3)， ∴向量(1，1，3)，(2，2，6)都是直线l的方向向量. 解析 2.已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于 A.0 B.1 C. D.3 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵A(0，y，3)和B(－1，2，z)， ∴＝(－1，2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)， 故设＝km. ∴ ∴y－z＝0. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为 A.(1，1，0) B.(1，0，1) C.(0，0，1) D.(1，1，1) √ 由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以＝(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是 A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D √ ∵＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b， ∴＝－2， ∴A，B，D三点共线. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知空间中两条不同的直线m，n，其方向向量分别为a，b，则“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由∀λ∈R，a≠λb可知，a与b不共线， 所以两条不同的直线m，n不平行，可能相交，也可能异面， 所以“∀λ∈R，a≠λb”不是“直线m，n相交”的充分条件； 由两条不同的直线m，n相交可知，a与b不共线， 所以∀λ∈R，a≠λb， 所以“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要条件， 综上所述，“∀λ∈R，a≠λb”是“直线m，n相交”的必要不充分条件. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.从点A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为 A.(18，17，－17) B.(－14，－19，17) C. D. √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设B点坐标为(x，y，z)， 则＝λa(λ>0)， 即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)， 因为||＝34， 即＝34，解得λ＝2， 所以 x＝18，y＝17，z＝－17. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知点A(3，3，－5)，B(2，－3，1)，C为线段AB上一点，且， 则点C的坐标为　　　　　　　 . 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知向量a＝(1，2，3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，则x＋y的值为　　　　. 4 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知a∥b， 所以， 即 把①代入②得x2＋x－2＝0， 即(x＋2)(x－1)＝0， 解得x＝－2或x＝1. 当x＝－2时，y＝－6； 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当x＝1时，y＝3. 当时，b＝(－2，－4，－6)＝－2a， 向量a，b反向，不符合题意，所以舍去. 当时，b＝(1，2，3)＝a， a与b同向，所以 此时x＋y＝4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知点A(1，－2，0)和向量a＝(－1，2，3)，求点B的坐标，使向量与a同向，且||＝2. 设点B(x，y，z)， ∵向量与a同向，且||＝2， ∴ 解得x＝－1，y＝2，z＝6， ∴点B的坐标为(－1，2，6). 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，E在PC上，且CE＝3EP，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间向量的一组基，求直线AE的一个方向向量. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AC， ＝) ＝) ＝ ＝a＋b＋c， 故直线AE的一个方向向量是a＋b＋c(答案不唯一). 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知直线l1的方向向量a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值是 A.±1 B.－1或3 C.±3 D.1或－3 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为|a|＝＝6， 所以x＝±4. 因为a⊥b，所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝0， 即y＝－x－1， 所以当x＝4时，y＝－3； 当x＝－4时，y＝1. 所以x＋y＝1或x＋y＝－3. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知M(1，2，3)，N(2，3，4)，P(－1，2，－3)，若||＝3||且∥，则点Q的坐标为 A.(－4，－1，－6) B.(2，5，0) C.(3，4，1) D.(－3，－2，－5) √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵∥，∴＝3＝－3， 设Q(x，y，z)， 则(x＋1，y－2，z＋3)＝3(1，1，1)或(x＋1，y－2，z＋3)＝－3(1，1，1)， 即 解得 ∴Q(2，5，0)或Q(－4，－1，－6). 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知空间三点A(0，2，3)，B(2，5，2)，C(－2，3，6)，则以AB，AD为邻边的平行四边形的顶点D的坐标为　　 　　，过B点作AC的垂 线，垂足为M，则点M的坐标为　　　　 . (－4，0，7) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，， 设D(x，y，z)， 则(2，3，－1)＝(－2－x，3－y，6－z)， 即 ∴D(－4，0，7)， 由题意得∥， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设＝λ，设空间一点O(0，0，0)， 则＋λ＝(0，2，3)＋λ(－2，1，3) ＝(－2λ，2＋λ，3＋3λ)， 由⊥·＝0， 即(－2λ－2，2＋λ－5，3＋3λ－2)·(－2，1，3)＝0， 即－2(－2λ－2)＋λ－3＋3(1＋3λ)＝0， 解得λ＝－，∴M. 解析 14.如图所示，在三棱台ABC－A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设＝a，＝b，＝c，以{a，b，c}为空间向量的一组基， 则直线AE，AD的一个方向向量分别为　　　 ，　　　　　.(答案不唯一) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 b＋c a＋b＋c 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ＝ ＝b＋c， 所以直线AE的一个方向向量为b＋c. ＝ ＝ ＝＝a＋b＋c， 所以直线AD的一个方向向量是a＋b＋c. 解析 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.如图所示，在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，点M为PA的中点，＝λ.若MN⊥AD，则实数λ＝　　. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接AC，交BD于点O，连接OP，由题意得OA，OB，OP两两垂直，以O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设PA＝AB＝2，则A(，0，0)，D(0，－，0)， M，B(0，，0)，＝(0，－2，0)， ＝(－，－，0)，设N(0，b，0)， 则＝(0，b－，0)， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵＝λ， ∴b－＝－2λ， ∴b＝－2λ， ∴N(0，－2λ，0)， ∴， ∵MN⊥AD，∴·＝0， 即－×(－)＋(－2λ)×(－)＋×0＝0，解得λ＝. 解析 16.如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G，H，P，Q分别是所在棱的中点.求证：EF，GH，PQ相交于一点O，且O为它们的中点. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 连接EH，GF，EG，HF(图略). 因为E，G分别为AB，AC的中点， 所以EG綊BC，同理HF綊BC， 所以EG綊HF. 所以四边形EGFH为平行四边形，其对角线EF，GH相交于一点O，且O为它们的中点. 连接OP，OQ，GP，HQ. 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 只要能证明向量＝－，就可以说明P，O，Q三点共线，且O为PQ的中点. 因为， 又因为O为GH的中点， 所以＝0. 又GP綊CD，QH綊CD， 所以， 证明 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则 ＝0＋＝0. 所以＝－. 所以PQ经过点O，且O为PQ的中点. 综上所述，EF，GH，PQ相交于一点O，且O为它们的中点. 证明 第三章　4.1　直线的方向向量与平面的法向量 <<< $