第2章 2.1 双曲线及其标准方程（课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

该高中数学课件围绕双曲线的定义、标准方程及应用展开，通过《悲伤的双曲线》歌曲导入，结合拉链实验操作，对比椭圆“距离之和”引出“距离之差”，构建从椭圆到双曲线的知识学习支架。 其亮点在于以情境导入激发兴趣，实验探究培养数学眼光，实际应用案例（如广州塔结构、炮弹爆炸定位）体现数学语言。通过例题解析和课堂小结（知识清单、方法归纳）强化数学思维，助力学生理解概念，教师可借助丰富素材提升教学效率。

2.1 双曲线及其标准方程 第二章　§2　双曲线 <<< 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线解决一些简单的实际问题. 学习目标 同学们，有没有听过《悲伤的双曲线》这首歌，这首歌是王渊超于1995年读高中时创作的.创作灵感来源于一堂解析几何课，当时老师正在论证讲解“双曲线与渐近线只能无限接近不能相交”，而正是这点给王渊超带来了创作动机，并在笔记本上把歌词一挥而就.课后，他在家中，拨动着吉他，旋律顺着六弦琴的和弦转换畅然而出，《悲伤的双曲线》就此诞生. 导 语 一、双曲线的定义 二、求双曲线的标准方程 课时对点练 三、双曲线定义的应用 随堂演练 内容索引 四、双曲线在生活中的应用 双曲线的定义 一 提示　准备实验(可以找三名同学在教师指导下操作)，适当选取两定点F1，F2，将拉锁拉开一段，其中一边的端点固定在F1处，在另一边上截取一段(小于|F1F2|)，作为动点P到两定点F1和F2距离之差，而后把它固定在F2处，这时将铅笔(粉笔)置于P处，于是随着拉链逐渐打开，铅笔就画出一条曲线，同理可画出另一支.(如图)显然所画的曲线不是椭圆，而是两条相同的曲线，只是位置不同，其原因都是应用了“到两 定点的距离之差|PF1|－|PF2|或|PF2|－|PF1|是同一个常数”这 个条件. 把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹会怎么样？ 问题1 提示　不是，是以F1，F2为端点的两条射线. 在上述过程中，我们在其中的一段拉链上截取一段小于|F1F2|，如果截取的长度等于|F1F2|，其轨迹还是上述图形吗？ 问题2 平面内到两个定点F1，F2的距离之　　　　　　等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作　　　　.这两个定点F1，F2叫作双曲线的 　　　，两个焦点间的距离|F1F2|叫作双曲线的　　　. 差的绝对值 双曲线 焦点 焦距 知识梳理 (1)常数要小于两个定点的距离. (2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支. (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点). (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在. (5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线. 注 意 点 <<< 9 　已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为 A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线 C.双曲线的一支或一条直线 D.双曲线的一支或一条射线 √ 例 1 当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线. 解析 10 判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件. 反 思 感 悟 11 　在平面直角坐标系中，F1(－2，0)，F2(2，0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是 A.(0，4) B.(0，4] C.(4，＋∞) D.(0，4)∪(4，＋∞) 跟踪训练 1 √ 由题意知||PF1|－|PF2||＝a，又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，可得 ||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4， 所以0<a<4. 解析 12 二 求双曲线的标准方程 提示　以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0). 设P(x，y)是双曲线上任意一点， 则根据双曲线的定义可得， ||PF1|－|PF2||＝2a， 即|PF1|－|PF2|＝±2a， 给定双曲线，它的焦点为F1，F2，焦距|F1F2|＝2c(c>0)，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a(0<a<c)，类似推导椭圆标准方程的方法，请建立恰当的平面直角坐标系来推导双曲线的标准方程. 问题3 因为|PF1|＝， |PF2|＝， 所以＝±2a， 化简、整理可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)， 根据双曲线的定义可知，2c>2a>0， 所以c2－a2>0，设c2－a2＝b2(b>0)，代入上式， 得b2x2－a2y2＝a2b2， 即＝1(a>0，b>0). ① 这说明双曲线上任意一点的坐标都满足方程①，还可以类比本章第1节中椭圆的方法来证明：该方程的每一组解对应的点都在双曲线上(具体证明略)，方程①称为双曲线的标准方程. 如果双曲线的焦点在y轴上(如图)，其焦点分别为F1(0， －c)，F2(0，c)，利用同样的方法可以得到双曲线的标 准方程为＝1(a>0，b>0)，其中c2＝a2＋b2. 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形     标准方程 _____________________ _____________________ ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0) 知识梳理 焦点 ____________________ ____________________ a，b，c 的关系 b2＝________ F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) c2－a2 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上. 记忆口决：“焦点跟着正项走”. (2)a与b没有大小关系. (3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2. 注 意 点 <<< 19 　(课本例1)　已知双曲线的两个焦点分别是F1(－5，0)，F2(5，0)，该双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是6，求该双曲线的标准方程. 例 2 因为双曲线的焦点在x轴上，所以可设它的标准方程为 ＝1(a>0，b>0). 又c＝5，a＝3，故b2＝52－32＝16. 因此，所求双曲线的标准方程为 ＝1. 解 20 　求分别满足下列条件的双曲线的标准方程. (1)已知双曲线的焦点为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上一点P满足|PF1|－|PF2|＝2； 例 2 由题意知c＝4，a＝1，故b2＝15，所以双曲线的标准方程为x2－＝1(x≥0). 解 21 (2)以椭圆＝1的长轴的端点为焦点，且经过点(3，)； 由题意得，双曲线的焦点在x轴上， 且c＝2. 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 则有a2＋b2＝c2＝8，＝1， 解得a2＝3，b2＝5. 故所求双曲线的标准方程为＝1. 解 22 (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上. 设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0. 因为点P，Q在双曲线上， 则 故双曲线的标准方程为＝1. 解 23 求双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解. (2)当mn<0时，方程mx2＋ny2＝1表示双曲线.设此种形式求双曲线方程可避免讨论焦点位置. 反 思 感 悟 24 (1)焦点分别为(－2，0)，(2，0)且经过点(2，3)的双曲线的标 准方程为　　　　　 . 跟踪训练 2 x2－＝1 由题意得c2＝4，可设双曲线的标准方程为＝1，将点(2，3)代入方程可得＝1， 解得a2＝1或a2＝16(舍)， 从而b2＝4－a2＝3， 所以双曲线的标准方程为x2－＝1. 解析 25 (2)焦点在x轴上，且经过点P(4，－2)和点Q(2，2)的双曲线的标准 方程为　　　　　　 . ＝1 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，将点(4，－2)和(2， 2)代入方程得 解得a2＝8，b2＝4， 所以双曲线的标准方程为＝1. 解析 26 双曲线定义的应用 三 (1)已知双曲线＝1的左、右焦点分别是F1，F2.若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 例 3 由＝1得，a＝3，b＝4，c＝5. 由双曲线的定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， 所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， 所以|PF1|·|PF2|＝64， 所以|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2＝×64×＝16. 解 28 (2)已知A(－4，0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为 A.9 B.2＋6 C.10 D.12 √ 29 设圆(x－1)2＋(y－4)2＝1的圆心为点C(1，4)，半径r＝1，点B在圆上，则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1， 由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点， 设A'为双曲线右焦点， 所以由双曲线定义知|PA|＝|PA'|＋2a＝ |PA'|＋6， 所以|PA|＋|PB|＝|PA'|＋|PB|＋6≥|PA'|＋|PC|＋6－1≥|A'C|＋5＝5＋5＝10. 解析 30 双曲线中的焦点三角形 双曲线中与焦点三角形有关的问题可以根据定义结合余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用. 反 思 感 悟 31 设F1，F2分别是双曲线＝1的上、下焦点，P是该双曲线上的一点，且3|PF1|＝5|PF2|，则△PF1F2的面积等于 A.12 B.24 C.12 D.24 跟踪训练 3 √ 32 由双曲线＝1， 得a＝2，b＝2，c＝4， 又3|PF1|＝5|PF2|，且|PF1|－|PF2|＝2a＝4， 所以|PF1|＝10，|PF2|＝6， 所以|PF1|2－|PF2|2＝64＝(2c)2＝|F1F2|2， 即△PF1F2为直角三角形， 所以|PF2||F1F2|＝×6×8＝24. 解析 33 双曲线在生活中的应用 四 (课本例2)　相距2 km的两个哨所A，B听到远处传来的炮弹爆炸声，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所迟4 s.已知当时的声速为340 m/s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程. 例 4 35 设爆炸点为P，由已知，得|PA|－|PB|＝340×4＝1 360(m). 因为|AB|＝2 km＝2 000m>1 360 m，|PA|>|PB|， 所以点P在以点A，B为焦点的双曲线并靠近点B的那一支上. 以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平 面直角坐标系(如图). 由2a＝1 360，2c＝2 000，得a＝680，c＝1 000， b2＝c2－a2＝537 600. 因此，点P所在曲线是双曲线的右支，它的方程是＝1(x>0). 解 36 单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整.如图1，俗称小蛮腰的广州塔位于中国广州市，它的外形就是单叶双曲面.某市计划建造类似于广州塔的地标建筑，此地标建筑的平面图形是双曲线，如图2，最细处的直径为100 m，楼底的直径为50 m，楼顶直径为50 m，最细处距楼底300 m，则该地标建筑的高为 A.350 m B.375 m C.400 m D.450 m √ 例 4 37 建立平面直角坐标系如图所示. 由题意可得A(50，0)， C(25，－300)， 设B(25，y0)(y0>0)， 双曲线的方程是＝1(a>0，b>0)， 则 解析 38 所以双曲线的方程是＝1， 将点B(25，y0)代入， 得＝1， 解得y0＝100， 所以该地标建筑的高为300＋100＝400(m). 解析 39 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系. (2)求出双曲线的标准方程. (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 反 思 感 悟 40 如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离 远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是　　　　　　　　；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是　　　　km. 跟踪训练 4 x2－＝1(x≥1) 2－2 41 如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系. 则|DA|－|DB|＝2， 根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支. 故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3， 故轨迹方程为x2－＝1(x≥1). 根据题意知C(3，)，A(－2，0)，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2－2. 当A，M，C三点共线时等号成立. 解析 42 1.知识清单： (1)双曲线定义. (2)双曲线方程的求法. (3)双曲线在实际生活中的应用. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：双曲线在实际生活中的应用中，建模容易出错. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.相距4k千米的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2秒，若声速每秒k千米，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是 A.双曲线的一支 B.双曲线 C.椭圆 D.圆 √ 由已知可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|， 根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上，则炮弹爆炸点P的轨迹可能是双曲线. 解析 1 2 3 4 2.方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是 A.－2<m<2 B.m>0 C.m≥0 D.|m|≥2 √ ∵已知方程表示双曲线， ∴(2＋m)(2－m)>0. ∴－2<m<2. 解析 1 2 3 4 3.以椭圆＝1的焦点为焦点，且过点的双曲线的方程 为　　　　　　. ＝1 1 2 3 4 由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上. 设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0). 根据题意得 解得(舍去)， 所以双曲线的方程为＝1. 解析 1 2 3 4 4.已知F1，F2分别为双曲线C：＝1的左、右焦点，点P在C上， |PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝　　　　. 1 2 3 4 由题意可得， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2， 因为|F1F2|＝2＝4， 所以cos∠F1PF2 ＝ ＝. 解析 课时对点练 六 对一对 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C C AB A 2 题号 11 12 13 14 15 答案 C B A B BC 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)∵a＝2，且双曲线的焦点在x轴上， ∴可设双曲线的标准方程为＝1(b>0)， 将点A代入双曲线的方程得 ＝1， 解得b2＝16， ∴双曲线的标准方程为＝1. 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)∵双曲线焦点在y轴上， ∴设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 由其焦距为10，得2c＝10，c＝5， 又该双曲线过点(0，4)，则a＝4， ∴b2＝c2－a2＝25－16＝9， ∴双曲线的标准方程为＝1. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)F1，F2是双曲线＝1的两个焦点， 则a＝3，b＝4，c＝5， 设点M到另一个焦点的距离为m， 由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6， 解得m＝10或m＝22， 即点M到另一个焦点的距离为10或22. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)因为P是双曲线左支上的点， |PF2|－|PF1|＝2a＝6， 则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|+|PF1|2＝36， 代入|PF1|·|PF2|＝32， 可得|PF1|2+|PF2|2＝36+2×32＝100，即|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝100，所以△F1PF2为直角三角形， 所以|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设顶点A的坐标为(x，y)， 则kAB＝，kAC＝. 由题意，得·＝m， 即＝1(y≠0). 当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)； 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)， 其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上； 当m<－1时，椭圆焦点在y轴上； 当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点). 基础巩固 1.已知动点P(x，y)满足＝2，则动点P的轨迹是 A.椭圆 B.双曲线 C.双曲线的左支 D.双曲线的右支 √ ＝2表示动点P(x，y)到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之差等于2，而|F1F2|＝4>2，由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线的右支. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双曲线的标准方程为 A.＝1 B.＝1 C.＝1 D.＝1 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 2a＝||＝4，所以a＝2，又c＝6， 所以b2＝c2－a2＝36－20＝16. 所以双曲线的标准方程为＝1. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.双曲线2x2－y2＝8的焦距是 A.2 B.2 C.4 D.4 √ 因为双曲线方程可化为＝1， 所以c2＝4＋8＝12，得c＝2，所以2c＝4. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知双曲线＝1(a>0，b>0)，F1，F2为其两个焦点，若过焦点F1的直线与双曲线的同一支相交，且所得弦长|AB|＝m，则△ABF2的周长为 A.4a B.4a－m C.4a＋2m D.4a－2m √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不妨设|AF2|>|AF1|， 由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a， 所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a， 于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知曲线C：mx2－ny2＝1，下列说法正确的是 A.若mn>0，则C为双曲线 B.若m>0且m＋n<0，则C为焦点在x轴上的椭圆 C.若m>0，n<0，则C不可能表示圆 D.若m>0，n>0，则C为两条直线 √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若mn>0，则C为双曲线，所以A正确； 若m>0且m＋n<0，则n<0，|n|>m>0，所以C为焦点在x轴上的椭圆，所以B正确； 若m>0，n<0，当m＝1，n＝－1时，C是单位圆，所以C不正确； 若m>0，n>0，则C为双曲线，所以D不正确. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失.在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点.在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10 km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6 km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为 A.8 km B.6 km C.4 km D.2 km √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设震中为P，依题意有|PB|－|PA|＝6<|AB|＝10， 所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线靠近A的一支， 因为|PA|＋|PB|≥|AB|＝10，当且仅当A，P，B三点共线时取等号， 所以|PB|－6＋|PB|≥10，所以|PB|≥8， 所以震中到地震台B站的距离至少为8 km. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.双曲线＝1的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离为　　　　. 由双曲线的性质知c2＝a2＋b2＝4＋5＝9，则c＝3，双曲线右焦点的坐 标为(3，0)，所以双曲线的右焦点到直线x＋2y－8＝0的距离d＝ . 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设F1，F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点.若P在双曲线上，且·＝0，则||的值为　　　 . 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(－，0)，F2(，0). 设点P(x，y)， 则＝(－－x，－y)，＝(－x，－y). ∵·＝0， ∴x2＋y2－10＝0，即x2＋y2＝10. ∴||＝ ＝＝2. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(－5，2)； ∵a＝2，且双曲线的焦点在x轴上， ∴可设双曲线的标准方程为＝1(b>0)， 将点A代入双曲线的方程得＝1， 解得b2＝16， ∴双曲线的标准方程为＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)焦点在y轴上，焦距为10，且经过点(0，4). ∵双曲线焦点在y轴上， ∴设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)， 由其焦距为10，得2c＝10，c＝5， 又该双曲线过点(0，4)，则a＝4， ∴b2＝c2－a2＝25－16＝9， ∴双曲线的标准方程为＝1. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.如图，若F1，F2是双曲线＝1的两个焦点. (1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 F1，F2是双曲线＝1的两个焦点， 则a＝3，b＝4，c＝5， 设点M到另一个焦点的距离为m， 由双曲线定义可知|m－16|＝2a＝6， 解得m＝10或m＝22， 即点M到另一个焦点的距离为10或22. 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积. 因为P是双曲线左支上的点，|PF2|－|PF1|＝2a＝6， 则|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＋|PF1|2＝36， 代入|PF1|·|PF2|＝32， 可得|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2×32＝100， 即|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝100， 所以△F1PF2为直角三角形， 所以|PF1|·|PF2|＝×32＝16. 解 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知点P在曲线C1：＝1的右支上，点Q在曲线C2：(x＋5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x－5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是 A.6 B.8 C.10 D.12 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 双曲线＝1的两个焦点分别是F1(－5，0)与F2(5，0)，且|PF1|－ |PF2|＝8， 而这两个焦点恰好是两圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝1的圆心， 且两圆的半径分别是r2＝1，r3＝1， 所以|PQ|max＝|PF1|＋1，|PR|min＝|PF2|－1， 所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PF1|＋1)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋2＝8＋2＝10. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.设双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若·＝0，||＝||，则b等于 A.1 B. C. D.2 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 结合题意可知， 设|MF2|＝m，则|NF2|＝m，|MN|＝m， 结合双曲线的定义可得|MF2|－|MF1|＝2，则|MF1|＝m －2， 又由双曲线的定义可得|NF1|－|NF2|＝2，则m＋m－ 2－m＝2，解得m＝2， 所以|NF1|＝|MN|＋|MF1|＝2＋2，|NF2|＝2，∠F1NF2＝45°， 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在△F1NF2中，由余弦定理得|F1F2|＝ ＝＝2， 所以c＝，则b2＝c2－a2＝3－1＝2，即b＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.动圆与圆x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是 A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设动圆的圆心为M，半径为r，圆x2＋y2＝1与x2＋y2－8x＋12＝0的圆心分别为O1和O2，半径分别为1和2，由两圆外切的充要条件， 得|MO1|＝r＋1，|MO2|＝r＋2. ∴|MO2|－|MO1|＝1， 又|O1O2|＝4， ∴动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1). 解析 14.双曲线定位是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位.通过船(待定点)接收到三个发射台的电磁波的时间差计算出距离差，两个距离差即可形成两条位置双曲线，两者相交便可确定船位.如图所示，已知三个发射台分别为A，B，C且刚好三点共线，已知|AB|＝34海里，|AC|＝20海里，现以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系(单位长度为1海里).现根据船P接收到 C与A发出的电磁波的时间差计算出距离差，得知船P在双曲线＝1的左支 上，根据船P接收到A与B发出的电磁波的时间差，计算出船P到B发射台的距离比到A发射台的距离多30海里，则点P的坐标为 A. B. C. D.(45，±16) 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设由船P到B和到A的距离差确定的双曲线方程为 ＝1(a>0，b>0，x≥a)， 由于船P到B和到A的距离差为30海里，因此a＝15. 又|AB|＝34海里，故c＝17，故b2＝c2－a2＝64. 故由船P到B和到A的距离差所确定的双曲线为＝1(x≥15)， 联立 可得P. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(多选)已知点P在双曲线C：＝1上，F1，F2是双曲线C的左、右焦点，若△PF1F2的面积为20，则下列说法正确的有 A.点P到x轴的距离为 B.|PF1|＋|PF2|＝ C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2＝ √ √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为双曲线C：＝1， 所以c＝＝5. 又因为·2c|yP|＝×10×|yP|＝20， 所以|yP|＝4，所以选项A错误； 将|yP|＝4代入C：＝1得＝1，即|xP|＝. 由对称性，不妨取P的坐标为， 可知|PF2|＝. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由双曲线定义可知|PF1|＝|PF2|＋2a＝＋8＝，所以|PF1|＋|PF2|＝， 所以选项B正确； 由对称性，对于点P，在△PF1F2中，|PF1|＝>2c＝10>|PF2|＝. 且cos∠PF2F1＝＝－<0，则∠PF2F1为钝角， 所以△PF1F2为钝角三角形，所以选项C正确； 由余弦定理得cos∠F1PF2＝≠，∠F1PF2≠， 所以选项D错误. 解析 16.△ABC的一边的两个顶点B(－a，0)，C(a，0)(a>0)，另两边的斜率之积等于m(m≠0).求顶点A的轨迹方程，并且根据m的取值情况讨论轨迹的图形. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设顶点A的坐标为(x，y)， 则kAB＝，kAC＝. 由题意，得·＝m， 即＝1(y≠0). 当m>0时，轨迹是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的两个交点)； 当m<0且m≠－1时，轨迹是中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆(除去与x轴的两个交点)， 解 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 其中当－1<m<0时，椭圆焦点在x轴上； 当m<－1时，椭圆焦点在y轴上； 当m＝－1时，轨迹是圆心在原点，半径为a的圆(除去与x轴的两个交点). 解 第二章　§2　双曲线 <<< $