2.8 直线与圆锥曲线的位置关系(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦直线与圆锥曲线的位置关系，涵盖判定方法、弦长及中点弦问题。通过激光武器击毁卫星情境导入，结合问题引导思考几何法适用性，新知初探以代数法和几何法为核心，自我诊断题巩固基础，构建从实际情境到知识探究的学习支架。 其特色在于情境导入培养数学眼光，典例研析一题多解发展数学思维，规律方法总结强化数学语言。如中点弦问题采用点差法与根与系数法，结合高考真题，提升学生直观想象与运算能力，教师可借助分层作业和系统总结提高教学效率。

2.8　直线与圆锥曲线的位置关系 第二章　平面解析几何 1 课标要求 1.直线与圆锥曲线的位置关系（直观想象）. 2.弦长、中点弦问题以及直线与圆锥曲线的位置问题（数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向武器.目前我国的高能激 光武器完全有能力击毁敌方飞机，导弹或间谍卫星，假如有一天我们要用 激光武器对付间谍卫星或敌方导弹就需要用到我们本节课要学习的直线与 圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光 击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【问题】　（1）我们知道，可以用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大 小关系判断直线与圆的位置关系，这种方法称为几何法，能否用几何法判 断直线与椭圆的位置关系？ （2）用什么方法判断直线与圆锥曲线的位置关系？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点　直线与圆锥曲线的位置关系 1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定 （1）代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于 x的方程ax2＋bx＋c＝0. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 方程ax2＋bx＋c＝0的解 l与C1的交点 a＝0 b＝0 无解（含l是双曲线的渐近线） ⁠⁠ b≠0 有一解（含l与抛物线的对称轴平行 （重合）或与双曲线的渐近线平行） ⁠ a≠0 Δ＞0 两个 ⁠的解 ⁠ Δ＝0 两个相等的解 ⁠⁠ Δ＜0 无实数解 ⁠ ⁠ 无交 点　 一个交 点　 不相等　 两个交 点　 一个交 点　 无交 点　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性 质可判定直线与圆锥曲线的位置关系. 提醒：研究直线与圆锥曲线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 直线与圆锥曲线的相交弦长问题 设斜率为k（k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A（x1， y1），B（x2，y2），则 ｜AB｜＝ ｜x1－x2｜ ＝ ＝ ｜y1－y2｜ ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 　直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？ 提示：不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行 时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物 线相交. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）平面上到定点A（1，0）和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的 点的轨迹为抛物线. （　√　） （2）一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2个. （　√　） （3）抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件. （　×　） √ √ × 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 〔一题多解〕直线y＝x＋1与椭圆 ＋ ＝1的位置关系是（　　） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法判断 解析：　法一　直线过点（0，1），而0＋ ＜1，即点（0，1）在椭圆内 部，所以可推断直线与椭圆相交. √ 法二　联立直线与椭圆的方程 消去y得9x2＋10x－15＝0， Δ＝100－4×9×（－15）＝640＞0，所以直线与椭圆相交. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 过点（2，4）的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有 （　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解析：　因为点（2，4）在抛物线y2＝8x上，所以过该点与抛物线相切 的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点.故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 过双曲线 － ＝1的焦点且与x轴垂直的弦的长度为 　 　. 解析：设弦的两端点A（c，y0），B（c，－y0），y0＞0，a2＝3.b2＝ 4，∴c2＝7，c＝ ，由 － ＝1，∴y0＝ ，｜AB｜＝2y0＝ . 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 16 题型一　直线与圆锥曲线的位置关系 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k（x－1），直线l与双曲线有两 个不同的交点，确定满足条件的实数k的取值范围. 解：联立 消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0. 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝（2k2）2－4（1－k2）·（－k2－4）＝4 （4－3k2）.由 得－ ＜k＜ 且k≠±1， 故直线l与双曲线有两个不同的交点时，实数k的取值范围为{k｜ ＜k ＜ ，且k≠±1}. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【母题探究】 （变设问）在本例条件不变的情况下，若直线l与双曲线有且只有一个公 共点，确定满足条件的实数k的取值范围. 解：联立 消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0.（*） 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝（2k2）2－4（1－k2）·（－k2－4）＝ 4（4－3k2）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 由 得k＝± ，此时方程（*）有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*）化 为2x＝5， 故方程（*）只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个 公共点. 故当k＝± 或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 1. 解决直线与双曲线的交点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系 数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. 2. 双曲线与直线只有一个交点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线 相切或直线与双曲线的渐近线平行. 3. 注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 若直线y＝kx＋b与椭圆 ＋ ＝1恒有两个公共点，则b的取值范围 为 ⁠. 解析：因为直线y＝kx＋b恒过定点（0，b），且直线y＝kx＋b与椭圆 ＋ ＝1恒有两个公共点，所以点（0，b）在椭圆 ＋ ＝1内部，所 以－2＜b＜2. （－2，2）　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知直线y＝k（x－3）与双曲线 － ＝1有且仅有一个公共点，则 实数k的取值为 ⁠. 解析：因为双曲线的方程为 － ＝1，所以渐近线方程为y＝±x.由 消去y整理得（1－k2）x2＋6k2x－9k2－4＝0.当1－k2＝0 即k＝±1时，此时直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线相交于 一点，符合题意；当1－k2≠0即k≠±1时，Δ＝36k4＋4（9k2＋4）（1－ k2）＝0无实数解，综上所述：符合题意的k的取值为±1. ±1　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　弦长及中点弦问题 〔一题多解〕（链接教科书第168页例1）已知点P（4，2）是直线l 被椭圆 ＋ ＝1所截得的线段的中点，求直线l的方程. 解：法一（根与系数关系法）　由题意可设直线l的方程为y－2＝k（x－ 4）， 而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有（4k2＋1）x2－8k（4k－2）x＋4（4k－2）2 －36＝0.所以x1＋x2＝ ＝8，解得k＝－ . 所以直线l的方程为y－2＝－ （x－4），即x＋2y－8＝0. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二（点差法）　设直线l与椭圆的交点为A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以 两式相减，有（x1＋x2）（x1－x2）＋4（y1＋y2）（y1－y2）＝0. 又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以 ＝－ ， 即k＝－ .所以直线l的方程为x＋2y－8＝0. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【母题探究】 （变设问）〔一题多解〕在本例条件下，求直线l被椭圆截得的弦长. 解：由本例解可知直线l的方程为x＋2y－8＝0，联立椭圆方程得x2－8x ＋14＝0. 法一　解方程得 所以直线l被椭圆截得的弦长为 ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　因为x1＋x2＝8，x1x2＝14. 所以直线l被椭圆截得的弦长为 × ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 解决椭圆中点弦问题的两种方法 （1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个 未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入 椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A （x1，y1），B（x2，y2）是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上的两个不同的 点，M（x0，y0）是线段AB的中点， 则 由①－②，得 （ － ）＋ （ － ）＝0，变形得 ＝－ · ＝－ · ，即kAB＝－ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 〔一题多解〕已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C： － ＝1（a＞ 0，b＞0）交于A，B两点，点P（1，4）是弦AB的中点，则双曲线C的 渐近线方程是（　　） A. y＝± x B. y＝±2x C. y＝± x D. y＝±4x 解析：　设A（x1，y1），B（x2，y2），可得 － ＝1， － ＝ 1，两式相减可得 ＝ . √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法一　由点P（1，4）是弦AB的中点，且直线l：x－y＋3＝0，可得x1＋ x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2，即有b2＝4a2，即b＝2a，所以双曲 线的渐近线方程为y＝±2x. 法二　由题意知kAB＝1，kOP＝4（O为坐标原点），则 ＝ · ＝kAB·kOP＝4，所以b2＝4a2，b＝2a，故双曲线C的渐近线方程为y＝ ±2x. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：法一　设A（x1，y1），B（x2，y2），则有 ＝8x1， ＝8x2， 两式相减，得（y1－y2）（y1＋y2）＝8（x1－x2）.因为P是AB的中点， 所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝2，则k＝ ＝ ＝4， 所以所求直线AB的方程为y－1＝4（x－4），即4x－y－15＝0. 由 消去x整理得y2－2y－30＝0，因为Δ＞0，所以y1＋y2＝2，y1y2＝－30. 由弦长公式得｜AB｜＝ ·｜y1－y2｜＝ · ＝ . 2. 〔一题多解〕过点P（4，1）作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点P平 分，求AB所在直线的方程及弦AB的长度. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 法二　由题意知AB所在直线的斜率存在且不为0. 设AB所在直线的方程为y＝k（x－4）＋1（k≠0）， 由 消去x整理得ky2－8y－32k＋8＝0，则Δ＞0. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝ ，因为P是AB的中点，所以 ＝1， 所以 ＝2，解得k＝4.所以所求直线AB的方程为4x－y－15＝0. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 由 消去x整理得y2－2y－30＝0，因为Δ＞0，所以y1＋ y2＝2，y1y2＝－30，由弦长公式得｜AB｜＝ ·｜y1－y2｜＝ · ＝ . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型三　直线与圆锥曲线的综合问题 已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交抛物线于A，B两 点，抛物线在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，直线l1与l2交于点 M. （1）设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2＝－2； 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：证明：由题意知，直线l的斜率存在， 设点A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为y＝kx ＋2， 由 得x2－4kx－8＝0，Δ＝16k2＋32＞0，x1 ＋x2＝4k，x1x2＝－8. 由y＝ x2，得切点A（x1， ），B（x2， ）， 则切线l1的方程为y－ ＝k1（x－x1），代入x2＝4y， 得x2－4k1x－（ －4k1x1）＝0， 所以Δ1＝16 －16k1x1＋4 ＝0，解得k1＝ x1， 同理，得切线l2的斜率k2＝ x2，所以k1k2＝ x1x2＝ ×（－8）＝－2. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）设线段AB的中点为N，求 的取值范围. 解： 由（1）可得y1＋y2＝k（x1＋x2）＋4＝4（k2＋1）， 故 ＝2（k2＋1），N（2k，2（k2＋1））. 由（1）得l1：y－ ＝ （x－x1）， 可化为y＝ x1x－ ，　① 同理得l2：y＝ x2x－ ，　② 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 由①②，得x＝ ＝2k，y＝ ＝－2，即M（2k，－2），则MN ＝2（k2＋1）＋2＝2（k2＋2）. AB＝ ·｜x1－x2｜＝ · ＝ · ＝4 ， 所以 ＝ ＝ . 由k2≥0，k2＋1≥1，得0＜ ≤1，故 ∈（ ， ］，即 的取值范 围为（ ， ］. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 解析几何中的“设而不求，整体代换”策略 　　“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求， 化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：（1）灵 活应用“点、线的几何性质”解题；（2）根据题意，整体消参或整体代 入等. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 　若椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）过抛物线x2＝4y的焦点，且与双曲 线x2－y2＝1有相同的焦点. （1）求椭圆E的方程； 解：抛物线x2＝4y的焦点为（0，1），双曲线x2－y2＝1的焦点为 （－ ，0）或（ ，0）， 依题意可得 又c2＝a2－b2，所以a2＝3，所以椭圆方程为 ＋y2 ＝1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）不过原点O的直线l：y＝x＋m与椭圆E交于A，B两点，求△OAB 面积的最大值以及此时直线l的方程. 解：根据题意，设点A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线方程与 椭圆方程可得， 消去y得，4x2＋6mx＋3m2－3＝0，得x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ， 则由相交弦长公式可得｜AB｜＝ × ＝ × ， 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 又由点到直线距离公式可得，点O到直线AB的距离即为d＝ ＝ ｜m｜， 所以S△OAB＝ ·d·｜AB｜＝ × ×｜m｜× × ＝ × ≤ ， 当且仅当m2＝2，即m＝± 时，△OAB面积取得最大值为 ，此时直 线l的方程为y＝x± . 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 直线y＝kx＋2与椭圆 ＋ ＝1有且只有一个交点，则k的值是 （　　） A. B. － 解析：　由 得，（2＋3k2）x2＋12kx＋6＝0，由题意知Δ ＝（12k）2－4×6×（2＋3k2）＝0，解得k＝± ，故选C. C. ± D. ± √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点在直线x＋y－1＝0上，又经 过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A，B两点，则｜ AB｜＝（　　） A. 18 B. 16 解析：　因为直线x＋y－1＝0与y轴的交点为（0，1），所以抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的焦点坐标为（0，1），设F（0，1），抛物线方 程为x2＝4y，所以过焦点且倾斜角为60°的直线方程为y＝ x＋1，设A （x1，y1），B（x2，y2），由 得y2－14y＋1＝0，所以y1 ＋y2＝14，所以｜AB｜＝y1＋y2＋p＝14＋2＝16，故选B. C. 14 D. 12 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点坐标是（　　） A. （1，2） B. （－2，－1） C. （－1，－2） D. （2，1） 解析：　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的 中点的横坐标为 ＝－1，纵坐标为－2.故选C. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 若点（3，1）是抛物线y2＝2px（p＞0）的一条弦的中点，且这条弦所 在直线的斜率为2，则p的值是 ⁠. 解析：设过点（3，1）的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于A，B两点， A（x1，y1），B（x2，y2），则 由①－②得 － ＝ 2p（x1－x2），即 ＝ ，由题意知kAB＝2，且y1＋y2＝2，故kAB ＝ ＝2，所以p＝y1＋y2＝2. 2　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 46 1. 不论k为何值，直线y＝kx＋1与椭圆 ＋ ＝1总有公共点，则实数m 的取值范围是（　　） A. （0，1] B. [1，＋∞） C. [1，6）∪（6，＋∞） D. （－∞，0）∪[1，＋∞） 解析：　直线y＝kx＋1过定点P（0，1），则由题意 ≤1，又m＞0， 所以m≥1，方程表示椭圆，m≠6.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 过点Q（1，4）且斜率为1的直线交抛物线y2＝2px（p＞0）于A，B两 点，若｜AB｜＝2 ，则p的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 解析：　由题意得直线方程为y＝x＋3，设A（x1，y1），B（x2， y2），联立 得y2－2py＋6p＝0，令Δ＞0，则p＞6，所以y1＋ y2＝2p，y1·y2＝6p，由｜AB｜＝ · ，则 2 ＝ × ，解得p＝7.故D正确. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 过双曲线C： －y2＝1左、右焦点F1，F2分别作倾斜角为45°的直线 与双曲线C相交于x轴上方P1，P2两点，则｜P1F1｜＋｜P2F2｜＝ （　　） A. B. 2 解析：　F1（－2，0），则P1F1的方程为y＝x＋2，联立方程 解得y＝ －1（舍去负值），故｜P1F1｜＝ ＝ ＝ y＝ － ；同理可得｜P2F2｜＝ ＋ ，故｜P1F1｜＋｜P2F2｜＝2 .故选C. C. 2 D. 4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. （2023·新高考Ⅱ卷5题）已知椭圆C： ＋y2＝1的左、右焦点分别为 F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面 积的2倍，则m＝（　　） A. B. － C. － D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　由题意，F1（－ ，0），F2（ ，0），△F1AB面积是 △F2AB面积的2倍，所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的 2倍，即 ＝2× ，解得m＝－ 或m＝－3 （舍 去），故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 椭圆E： ＋ ＝1内有一点P（2，1），则经过P并且以P为中点的 弦所在直线方程为（　　） A. x＋y－3＝0 B. x－4y＋2＝0 C. x＋4y－6＝0 D. x－y－1＝0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　设过P（2，1）点的直线与椭圆相交于A（x1，y1），B（x2， y2）两点，则 且 两式相减，整理得 ＋ ＝0，所以 ＝－1，即直线l的斜 率为－1.故所求直线方程为y－1＝－（x－2），即x＋y－3＝0.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 〔多选〕下列直线过点A（0，1）且与双曲线x2－ ＝1只有一个公共 点的是（　　） A. 2x－y＋1＝0 B. 3x－y＋1＝0 C. x－y＋1＝0 D. 4x－y＋1＝0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　由直线过点A（0，1），可设直线方程为y＝kx＋1，代入双 曲线方程可得（9－k2）x2－2kx－10＝0，当k＝2时，Δ＝36（10－k2）＞ 0，此时直线与双曲线有两个交点，A错误；当k＝3时，9－k2＝0，此时直 线与双曲线只有一个交点，B正确；当k＝ 时，Δ＝0，此时直线与双 曲线相切，此时直线与双曲线只有一个交点，C正确；当k＝4时，Δ＜0， 此时直线与双曲线没有交点，D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为 ⁠ ⁠. 解析：由 得k2x2＋（4k－8）x＋4＝0.若k＝0，则y＝2，x ＝ ，符合题意.若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1，所以直线 y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点时，k＝0或1. 0或 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜 角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心 率e的取值范围是 ⁠. 解析：由题意，知 ≥ ，则 ≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所 以e2＝ ≥4，所以e≥2. [2，＋∞）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 已知双曲线C： －y2＝1的右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两 点，若 · ＝3，则直线AB的斜率为 ⁠. ± 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：易知F（2，0），当直线AB的斜率为零时，得 · ＝（2－ ）×（2＋ ）＝1，不合题意；当直线AB的斜率不为零时，设直线 AB的方程为x＝my＋2，联立 得（m2－3）y2＋4my＋1＝ 0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由 · ＝3得（x1－2）（x2－2） ＋y1y2＝（1＋m2）y1y2＝3， 而y1y2＝ ，即 ＝3， m＝± ，即k＝± . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 已知椭圆方程E： ＋ ＝1（a＞b＞0），b＝ ，离心率为 . （1）求E的方程； 解： 由题意可知，椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞ 0），且b＝ . 又因为离心率为 ，可得e＝ ＝ ＝ ＝ ， 解得a2＝4，所以椭圆E的方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解：由椭圆E： ＋ ＝1，可得c＝ ＝1，则右焦点为F（1，0），由题意知，直线l的斜率不为零（否则不能构成△OAB），设l的方程为x＝my＋1，联立方程组 整理得到（3m2＋4）y2＋6my－9＝0，可得Δ＝（6m）2－4（3m2＋4）×（－9）＝144（1＋m2）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ ，所以｜AB｜＝ ＝ ＝ ， （2）过E的右焦点F的直线l交E于A，B两点，若△OAB（O为坐标原点）的面积为 ，求l的方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 又由点O到直线l的距离d＝ ＝ ， 故△OAB的面积S△OAB＝ ｜AB｜d＝ × × ＝ ＝ ， 得 ＝ ，75m2＋75＝4（3m2＋4）2，36m4＋21m2－11＝0， 解得m2＝ 或m2＝－ （舍），所以m＝± ， 所以l的方程为x＝ y＋1或x＝－ y＋1， 即直线l的方程为 x－y－ ＝0或 x＋y－ ＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 设双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，A，B是双 曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直 线MA的斜率k1＝2，则MB的斜率k2＝（　　） A. －24 B. － C. 24 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　由题意可得e＝ ＝ ，即有b＝ ＝ ＝ a，设M（s，t），A（m，n），则B（－m，－n），则 － ＝1， － ＝1，两式相减可得 ＝ ，即有 ＝ ＝ ，从而可 得k1k2＝ · ＝ ＝ ，因为k1＝2，所以k2＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 已知椭圆 ＋ ＝1上存在关于直线y＝2x＋m对称的点，则实数m的 取值范围为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：　设椭圆上关于直线y＝2x＋m对称的两点分别为C（x1， y1），D（x2，y2），CD的中点为G（x0，y0），直线CD的方程为y＝ － x＋n，联立直线CD与椭圆的方程，得 消元可得x2－ nx＋n2－3＝0，∴Δ＝n2－4（n2－3）＝12－3n2＞0，x1＋x2＝n，∴n2＜ 4，x0＝ ，∴y0＝－ x0＋n＝ n，∴G ，又∵点G在直线y＝ 2x＋m上，∴ n＝2× ＋m，∴n＝－4m，∴（－4m）2＜4，解得－ ＜m＜ ，∴实数m的取值范围为 .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 〔多选〕已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，过点F的直线与抛物线 相交于A，B两点，点 在抛物线上.则（　　） A. p＝1 B. 当AB⊥y轴时，｜AB｜＝4 C. ＋ 为定值1 D. 若 ＝2 ，则直线AB的斜率为± √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　对于选项A，将点 代入抛物线方程，可得p＝2，故 错误；对于选项B，焦点F（0，1），点（2，1）在抛物线上，可得｜ AB｜＝4，故正确；对于选项C，设点A，B的坐标分别为（x1，y1）， （x2，y2），直线AB的方程为y＝kx＋1，联立方程 消去y 后整理为x2－4kx－4＝0，可得x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1＋y2＝k（x1＋ x2）＋2＝4k2＋2，y1y2＝ ＝1，｜AF｜＝y1＋1，｜BF｜＝y2＋1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 有 ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝1，故正确； 对于选项D，有（－x1，1－y1）＝2（x2，y2－1），可得2x2＝－x1，由 有 解得k＝± ，故正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 已知圆O：x2＋y2＝2，椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞ ）的离心率 为 ，P是C上的一点，A是圆O上的一点，｜PA｜的最大值为 ＋ . （1）求椭圆C的方程； 解：｜PA｜≤｜PO｜＋｜OA｜≤a＋ ＝ ＋ ，所以a＝ ， 设C的焦距是2c，则 ＝ ，解得c＝ ，则b2＝a2－c2＝3， 所以C的方程是 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）点M是C上异于P的一点，PM与圆O相切于点N，证明：｜PO｜2 ＝｜PM｜·｜PN｜. 解：证明：①当直线PM斜率不存在时，PM的方程为x＝ 或x＝ － . 当x＝ 时，P（ ， ），M（ ，－ ），此时 · ＝0， 即OP⊥OM； 当x＝－ 时，同理可得OP⊥OM. ②当直线PM斜率存在时，设直线PM的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m ＝0. 因为直线与圆相切，所以 ＝ ，即m2＝2k2＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 联立 得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－6＝0. 设P（x1，y1），M（x2，y2），则x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ， 所以 · ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋m）·（kx2＋m）＝（1＋ k2）x1x2＋km（x1＋x2）＋m2＝（1＋k2）× ＋km× ＋m2 ＝ ，代入m2＝2k2＋2整理可得 · ＝0，即OP⊥OM. 综上，OP⊥OM，又PM与圆O相切于点N，所以ON⊥PM，易得 △PON∽△PMO， 所以 ＝ ，即｜PO｜2＝｜PM｜·｜PN｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $