2.2.2 第1课时 直线的点斜式方程与斜截式方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教B版）

该高中数学课件聚焦直线的点斜式与斜截式方程，通过斜拉桥情境提问，引导学生从确定直线的几何要素过渡到代数方程，衔接倾斜角与斜率知识，搭建从几何直观到数学抽象的学习支架。 其亮点是以情境问题驱动，结合数学抽象与直观想象，通过“想一想”“自我诊断”辨析截距与距离等概念，典例融入方向向量、三角形周长等问题，培养数学思维与应用意识。分层训练助学生巩固提升，为教师提供系统资源，提高教学效率。

2.2.2　直线的方程 第二章　平面解析几何 1 课标要求 　根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式 （点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系（数学 抽象、直观想象）. 第一课时　直线的点斜式方程与斜截式方程 3 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 5 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线. 【问题】　（1）已知某一斜拉索过桥塔上一点B，那么该斜拉索位置 确定吗？ （2）若某条斜拉索过点B（0，b），斜率为k，则该斜拉索所在直线上的 点P（x，y）满足什么条件？ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点一　直线的方程与方程的直线 　如果直线l上点的 都是方程F（x，y）＝0的解，而且以方程F （x，y）＝0的 为坐标的点都在直线l上，则称F（x，y）＝0为直 线l的方程，而直线l称为方程F（x，y）＝0的直线，“直线l”也可说成 “直线F（x，y）＝0”，记作l：F（x，y）＝0. 坐标　 解　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 知识点二　直线方程的点斜式、斜截式 名称 条件 方程 图形 点斜 式 直线l过定点P（x0，y0），斜率为k ⁠ ⁠ 斜截 式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为 （0，b）（直线l与y轴的交点（0， b）的纵坐标b叫作直线l在y轴上的 截距） ⁠ ⁠ y－y0＝k （x－x0）　 y＝kx＋ b　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 提醒：（1）经过点P0（x0，y0）的直线有无数条，可以分为两类：①斜率 存在的直线，方程为y－y0＝k（x－x0）；②斜率不存在的直线，方程为 x－x0＝0，即x＝x0.（2）直线的斜截式y＝kx＋b是直线的点斜式y－y0 ＝k（x－x0）的特例.（3）截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐 标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 【想一想】 1. 若直线的倾斜角为0°，且经过点P0（x0，y0），能用点斜式表示吗？ 提示：能. 2. 直线与y轴的交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？ 提示：不是同一概念，距离非负，而截距可正，可负，可为0. 3. 直线的斜截式方程等同于一次函数的解析式吗？ 提示：不一定.当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，当k＝0时，y＝b不 是一次函数. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）任何一条直线的方程都可以写成点斜式y－y0＝k（x－x0）. （　×　） （2）x轴所在的直线方程为x＝0. （　×　） （3）直线在y轴上的截距不能等于0. （　×　） （4）直线的点斜式方程也可写成 ＝k. （　×　） × × × × 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则（　　） A. 直线经过点（－1，2），斜率为－1 B. 直线经过点（2，－1），斜率为－1 C. 直线经过点（－1，－2），斜率为－1 D. 直线经过点（－2，－1），斜率为1 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 直线2x＋y＋1＝0在y轴上的截距是（　　） A. 1 B. －1 C. － D. 解析：　在直线方程中令x＝0得y＝－1，故选B. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 经过点（－1，1），倾斜角为150°的直线方程为 ⁠ ⁠. y－1＝－ （x＋ 1）　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 典例研析 >> 目录 15 题型一　直线的点斜式方程 已知在第一象限的△ABC中，A（1，1），B（5，1），A＝60°， B＝45°，求： （1）AB边所在直线的方程； 解： 如图所示，因为A（1，1），B（5，1），所以 AB∥x轴， 所以AB边所在直线的方程为y＝1. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）AC边与BC边所在直线的点斜式方程. 解： 因为A＝60°，所以kAC＝tan 60°＝ ， 所以直线AC的点斜式方程为y－1＝ （x－1）. 因为B＝45°，所以kBC＝tan 135°＝－1， 所以直线BC的点斜式方程为y－1＝－（x－5）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 求直线的点斜式方程的思路 提醒：只有在斜率存在的情况下才可以使用点斜式方程. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 若直线l过点（－1，2）且斜率k＝－ ，则l的方程为（　　） A. 3x＋2y－1＝0 B. 2x＋3y－1＝0 C. 3x＋2y＋1＝0 D. 2x－3y－1＝0 解析：　由点斜式可得直线方程为y－2＝－ （x＋1），整理得3x＋2y －1＝0.故选A. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知直线l的一个方向向量d＝（3，4），且过点（－1，2），则直线l 的点斜式方程为 ⁠. 解析：因为直线l的一个方向向量d＝（3，4），所以直线l的斜率为 ， 所以直线方程为y－2＝ （x＋1）. y－2＝ （x＋1） 　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 题型二　直线的斜截式方程 （链接教科书第89页练习A4题）根据条件写出下列直线的斜截式方 程： （1）斜率为2，在y轴上的截距是5； 解： 由直线的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5. （2）倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2； 解： 由于直线的倾斜角为150°，所以斜率k＝tan 150°＝－ ，由 斜截式可得方程为y＝－ x－2. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （3）倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3. 解： 由于直线的倾斜角为60°，所以斜率k＝tan 60°＝ .由于直 线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，所以直线在y轴上的截距b＝3或b ＝－3，故所求直线方程为y＝ x＋3或y＝ x－3. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 规律方法 直线的斜截式方程的求解策略 （1）用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特 别注意截距和距离的区别； （2）直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直 线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象 就一目了然.因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解 析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （1）写出直线斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线的斜截式方程； 解： 易知k＝－1，b＝－2，故直线的斜截式方程为y＝－x－2. （2）求过点A（6，－4），斜率为－ 的直线的斜截式方程； 解： 由于直线的斜率k＝－ ，且过点A（6，－4），根据直线的点 斜式方程得直线方程为y＋4＝－ （x－6），化成斜截式为y＝－ x＋4. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （3）已知直线l的方程为2x＋y－1＝0，求直线的斜率，在y轴上的截距 以及与y轴交点的坐标. 解： 直线方程2x＋y－1＝0可化为y＝－2x＋1，由直线的斜截式方 程知，直线的斜率k＝－2，在y轴上的截距b＝1，直线与y轴交点的坐标 为（0，1）. 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 1. 已知直线l过点（4，5），且一个方向向量为（－1，2），则直线l的方 程为（　　） A. y－5＝－ （x－4） B. y－5＝ （x－4） C. y－5＝－2（x－4） D. y－5＝2（x－4） 解析：　由题可得kl＝ ＝－2.又直线l过点（4，5），代入点斜式方程 得y－5＝－2（x－4）. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 已知直线l的方程是y－2＝3（1－x），则直线l的斜率是（　　） A. 2 B. －1 C. 3 D. －3 解析：　将直线的方程化为点斜式方程为y－2＝－3（x－1），所以直 线的斜率为－3. √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 直线y＝6－3x的斜率为 ，在坐标轴上的截距之和等于 ⁠. 解析：由直线的斜截式方程y＝6－3x＝－3x＋6，直线的斜率为－3，在 坐标轴上的截距之和为6＋2＝8. 4. 在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4斜率相等的直线的斜截式方 程为 ⁠. －3　 8　 y＝－3x＋2　 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 课时作业 >> 目录 29 1. 已知直线的点斜式方程为y－4＝2（x＋5），则该直线的一个方向向量 为（　　） A. （2，－1） B. （－1，2） C. （1，2） D. （2，1） 解析：　直线方程为y＝2x＋14，斜率为2，选项A中 ＝－ ，选项B 中 ＝－2，选项D中 ，选项C中斜率为 ＝ ＝2.所以该直线的一个方向 向量为（1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 2. 经过点（－1，1），斜率是直线y＝ x－2的斜率的2倍的直线方程是 （　　） A. x＝－1 B. y＝1 C. y－1＝ （x＋1） D. y－1＝2 （x＋1） 解析：　由方程知，已知直线的斜率为 ，所以所求直线的斜率是 . 由直线的点斜式方程可得方程为y－1＝ （x＋1）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 3. 已知点A（1，m）在直线x－y＋1＝0上，则实数m的值为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：　因为点A（1，m）在直线x－y＋1＝0上，故1－m＋1＝0⇒m ＝2.故选A. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 4. 直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则有（　　） A. k＞0，b＞0 B. k＞0，b＜0 C. k＜0，b＞0 D. k＜0，b＜0 解析：　直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则有k＜0，b＞0.故 选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 5. 〔多选〕函数y＝ax＋ 的图象可能是（　　） 解析： ∵a≠0，∴C错；当a＞0时， ＞0，即直线的倾斜角为锐 角，且在y轴上的截距大于0，故A可能；当a＜0时， ＜0，即直线的倾斜 角为钝角，且在y轴上的截距小于0，故B可能，D不可能. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 6. 已知直线l的方程为9x－4y＝36，则l在y轴上的截距为 ⁠. 解析：把直线方程9x－4y＝36化为y＝ ＝ x－9的形式，便可知道直 线l在y轴上的截距.令x＝0，则y＝－9. －9　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 7. 已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P（3， 3），则直线l的方程为 ⁠. 解析：直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角 是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在. 又直线过定点P（3，3），所以直线l的方程为x＝3. x＝3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 8. 如图，直线l过点P（－1，2），分别与x，y轴交于A，B两点，若P 为线段AB的中点，则直线l的方程为 ⁠. y＝2x＋4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析：设A（a，0），B（0，b）.由P（－1，2）为AB的中点， ∴ ∴ ∴kAB＝2，直线在y轴上的截距为4，∴直 线方程为y＝2x＋4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 9. 已知直线l的斜率为 ，且与坐标轴所围成的三角形的周长是30，则直 线l的方程为 ⁠. 解析：由直线l的斜率为 ，可设直线l的方程为y＝ x＋b.令x＝0，得 y＝b；令y＝0，得x＝－ b.由题意得｜b｜＋｜－ b｜＋ ＝30.∴｜b｜＋ ｜b｜＋ ｜b｜＝30，∴b＝ ±5.∴所求直线l的方程为y＝ x±5. y＝ x±5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 10. 直线l1过点P（－1，2），斜率为－ ，把l1绕点P按顺时针方向旋转 30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程. 解：直线l1的方程是y－2＝－ （x＋1）.∵k1＝－ ＝tan α1， ∴α1＝150°.如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，得 到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，∴k2＝ tan 120°＝－ ，∴l2的方程为y－2＝－ （x＋1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 11. 直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a（ab≠0，a≠b）在同一平 面直角坐标系内的图象只可能是（　　） 解析：　对B，l2斜率为正，在y轴上的截距也为正，故不可能有l1斜率 为负的情况.故B错误.当a，b＞0时，l1和l2斜率均为正，且截距均为正. 仅D选项满足.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 12. 〔多选〕下列说法正确的有（　　） A. 若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则点（k，b）在第二象限 B. 直线y＝ax－3a＋2过定点（3，2） C. 过点（2，－1）且斜率为－ 的直线的点斜式方程为y＋1＝－ （x －2） D. 斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 解析： 　对于A，由直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，知直线的 斜率k＜0，截距b＞0，故点（k，b）在第二象限，故A正确；对于B，直 线方程y＝ax－3a＋2，整理得y－2＝a（x－3），可得此直线过定点 （3，2），故B正确；对于C，由点斜式方程，知过点（2，－1）且斜率为 － 的直线的点斜式方程为y＋1＝－ （x－2），故C正确；由直线的 斜截式方程，得斜率为－2，在y轴上的截距为3的直线方程为y＝－2x＋ 3，故D错误.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 13. 直线l过点P（1，4），分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于点A，B 两点，O为坐标原点，当｜OA｜＋｜OB｜最小时，l的点斜式方程为 ⁠ ⁠. 解析：经检验直线l的斜率存在，且斜率为负，设直线l的斜率为k（k＜ 0），则直线l的方程为y－4＝k（x－1），令y＝0得A ，令x ＝0得B（0，4－k），则｜OA｜＋｜OB｜＝ ＋（4－k）＝5－ ＝5＋ ≥5＋4＝9，当且仅当－k＝ ，即k＝－2时，｜ OA｜＋｜OB｜取得最小值.此时l的方程为y－4＝－2（x－1）. y －4＝－2（x－1）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 14. 已知直线l过点P（3，2）. （1）若直线l过Q（1，4），求直线l的方程； 解： 直线l的斜率k＝ ＝－1，此时直线l的方程为y－2＝－（x－ 3），即x＋y－5＝0，所以直线l的方程为x＋y－5＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 （2）若直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点， 当△ABO的面积最小时，求直线l的方程. 解：设直线l的方程为y＝k（x－3）＋2，由题意可得k＜0，令x＝ 0，则y＝－3k＋2； 令y＝0，则x＝3－ ，即A（3－ ，0），B（0，－3k＋2），｜OA｜＝ 3－ ，｜OB｜＝2－3k，从而S△AOB＝ ×（2－3k）·（3－ ）＝ × （12－9k－ ）≥6＋ ＝12，当且仅当－9k＝－ ，即k＝－ 时取到最小值12，所以直线方程为y＝－ （x－3）＋2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册（B 版） 目录 $