2.2.2 直线的两点式方程(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦直线的两点式与截距式方程，以100米短跑比赛情境导入，衔接“两点确定一条直线”，通过问题链引导从点斜式推导两点式，再延伸至截距式，构建连贯的知识学习支架。 其亮点在于以问题驱动逻辑推理，通过分层例题（如三角形三边方程）和一题多解（面积最小值）强化数学运算，结合实际应用（行李票费用、小区开发）培养直观想象。小结系统梳理方程形式及适用范围，助力学生构建知识体系，为教师提供丰富教学案例与训练资源。

2.2.2　直线的两点式方程 第二章　直线和圆的方程 1 课标要求 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的两点式方程（逻辑推理、数学运算）. 2.能利用直线的两点式方程推导出直线的截距式方程（直观想象、数学运算）. 情境导入 　　当前，男子100米短跑世界纪录为9.58秒，女子 100米短跑世界纪录为10.49秒.在学校运动会上，如 果你参加100米短跑比赛，那么你就会从起点努力冲 刺直奔终点，可见，两点确定一条直线，本节课我 们就来研究一下直线的两点式方程. 目 录 CONTENTS 知识点一　直线的两点式方程 知识点二　直线的截距式方程 提能点　直线截距式方程的应用 小结与自测 课时作业 知识点一　直线的两点式方程 目录 5 问题　（1）我们知道两点确定一条直线，如图，给定直线l上两点P1 （x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，试用点斜式写出l的方程； 提示：y－y1＝ （x－x1）. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）给定直线l上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1≠x2，任选直线 上一点P（x，y），其中P不与P1，P2重合，那么 与 有什么关 系？ 提示： ＝ ，即 ＝ . （3）上面两个问题得到的结果所表示的直线一样吗？它们能表示所有直 线吗？ 提示：不一样，问题（2）中直线上的动点不能表示点P1（x1，y1）；不 能，两者都不能表示垂直于x轴的直线. 数学·选择性必修第一册 目录 1. 经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直线 方程为 ，我们把它叫做直线的两点式方程，简称 ⁠ ⁠. 2. 当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即 ⁠ ；当y1＝y2时，直线P1P2 y轴，直线方程为y－y1＝0，即y ＝y1. 提醒：（1）当经过两点（x1，y1），（x2，y2）的直线斜率不存在（x1＝ x2）或斜率为0（y1＝y2）时，不能用两点式方程表示；（2）两点式方程 与这两个点的顺序无关. ＝ 　 两点 式　 x＝ x1　 垂直于　 数学·选择性必修第一册 目录 【微思考】 方程 ＝ 和方程（y－y1）（x2－x1）＝（x－x1）（y2－y1）的 适用范围相同吗？ 提示：不同.前者为分式形式，要求x1≠x2，y1≠y2，后者为整式形式，适 用于过任何两点的直线方程. 数学·选择性必修第一册 目录 （链接教材P63例4）已知△ABC的三个顶点是A（1，3），B（－2， －1），C（1，－1）. （1）求这个三角形三边所在直线的方程； 解：直线AB过点A（1，3），B（－2，－1），其两点式 方程为 ＝ ，整理得4x－3y＋5＝0，这就是边AB 所在直线的方程. 直线AC垂直于x轴，故边AC所在直线的方程为x＝1. 直线BC平行于x轴， 故边BC所在直线的方程为y＝－1. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求边AB上的中线所在直线的方程. 解：设边AB的中点为M（a，b）， 则a＝ ＝－ ，b＝ ＝1， 即M（－ ，1）， 又边AB的中线过点C（1，－1）， 所以 ＝ ， 即4x＋3y－1＝0， 所以边AB上的中线所在直线的方程为4x＋3y－1＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 利用两点式求直线方程的策略 （1）首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两 点式求方程； （2）在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜 式写方程. 数学·选择性必修第一册 目录 训练1　已知直线经过点A（1，0），B（m，1），求这条直线的方程. 解：由直线经过点A（1，0），B（m，1），因此该直线斜率不可能为 零，但有可能不存在. ①当直线斜率不存在，即m＝1时，直线方程为x＝1； ②当直线斜率存在，即m≠1时，利用两点式，可得直线方程为 ＝ ， 即x－（m－1）y－1＝0. 综上可得，当m＝1时，直线方程为x＝1； 当m≠1时，直线方程为x－（m－1）y－1＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点二　直线的截距式方程 目录 14 问题　若直线l经过两点P1（a，0），P2（0，b）（a≠0，b≠0），如 何求直线的方程？ 提示：由直线的两点式方程得 ＝ ，即 ＋ ＝1. 数学·选择性必修第一册 目录 我们把直线与x轴的交点（a，0）的 叫做直线l在x轴上 的 ，此时直线l在y轴上的截距是b.方程 由直线l在 两个坐标轴上的截距a与b确定，所以把此方程叫做直线的截距式方程， 简称 ⁠. 提醒：与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. 横坐标a　 截距　 ＋ ＝1　 截距式　 数学·选择性必修第一册 目录 求过点A（3，4），且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方 程. 解：①当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的 方程为 ＋ ＝1. 又l过点A（3，4），所以 ＋ ＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为 ＋ ＝1，即x－y＋1＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 ②当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时， 设直线l的方程为y＝kx，因为l过点（3，4），所以4＝k·3，解得k＝ ，直线l的方程为y＝ x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 变式　若将本例中“截距互为相反数”改为“截距相等”呢？ 解：①当截距不为0时，设直线l的方程为 ＋ ＝1， 又l过点A（3，4），所以 ＋ ＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. ②当截距为0时，由例可得直线l的方程为4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 应用截距式方程的注意事项 （1）如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用 待定系数法确定其系数即可； （2）选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐 标轴垂直； （3）要注意截距式方程的逆向应用. 数学·选择性必修第一册 目录 训练2　根据下列条件，求直线的方程： （1）过点（0，3），且在两坐标轴上截距之差等于5； 解：设直线方程为 ＋ ＝1， 则 解得 或 则直线方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1， 即3x＋8y－24＝0或3x－2y＋6＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）过点（1，2），且在两坐标轴上截距之和为6. 解：显然直线不经过原点，设直线的截距式方程为 ＋ ＝1， 由直线经过点（1，2），得 ＋ ＝1. 依题意，得a＋b＝6，所以b＝6－a， 代入 ＋ ＝1，整理得a2－5a＋6＝0， 解得a＝2或a＝3. 当a＝2时，b＝4，直线方程为 ＋ ＝1，即2x＋y－4＝0； 当a＝3时，b＝3，直线方程为 ＋ ＝1，即x＋y－3＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 提能点　直线截距式方程的应用 目录 23 直线l过点P（ ，2），且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于 A，B两点，O为坐标原点. （1）当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； （2）当△AOB的面积为6时，求直线l的方程. 数学·选择性必修第一册 目录 【破题思维】 题目信息 信息转化 直线过点P（ ，2）且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点 联想直线l在x轴、y轴上的截距为 正数 △AOB的周长为12 联想｜OA｜＋｜OB｜＋｜AB｜＝12 △AOB的面积为6 联想S△AOB＝ ｜OA｜·｜OB｜＝6 数学·选择性必修第一册 目录 解：（1）设直线l的方程为 ＋ ＝1（a＞0，b＞0）， 由题意知，a＋b＋ ＝12.　① 因为直线l过点P（ ，2）， 所以 ＋ ＝1.　② 联立①②，解得 或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）设直线l的方程为 ＋ ＝1（a＞0，b＞0）， 由题意知， ab＝6，即ab＝12，　③ 联立②③，解得 或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 直线方程与三角形的面积、周长之间的关系 　　解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时，一般选择直线方 程的截距式，若设直线在x轴，y轴上的截距分别为a，b，则直线与坐标 轴所围成的三角形的面积S＝ ｜a｜｜b｜，周长C＝｜a｜＋｜b｜＋ . 数学·选择性必修第一册 目录 训练3　已知直线l过点P（2，1），且与x轴、y轴的正半轴分别交于A， B两点，O为坐标原点. （1）求△OAB的面积（用a，b表示）； 解：设直线l的截距式方程为 ＋ ＝1， 依题意，a＞0，b＞0， 又因为点P（2，1）在直线l上， 所以 ＋ ＝1，即2b＋a＝ab. 所以△AOB的面积S＝ ｜OA｜·｜OB｜＝ ab. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）〔一题多解〕求△OAB面积的最小值及其对应的直线方程. 解：法一　由2b＋a＝ab≥2 ＞0，得 ≥2 ，所以ab≥8. 从而S＝ ab≥4，当且仅当2b＝a，即a＝4，b＝2时，S取得最小值4， 此时直线的方程为 ＋ ＝1， 即x＋2y－4＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 法二　由S＝ ab＝ （2b＋a）＝ （2b＋a）·（ ＋ ）＝ （4＋ ＋ ）≥ （4＋2 ）＝4， 当且仅当2b＝a，即a＝4，b＝2时，S取得最小值4， 此时直线的方程为 ＋ ＝1， 即x＋2y－4＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 32 数学·选择性必修第一册 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示. （　√　） （2）能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示. （　√　） （3）直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0. （　√　） √ √ √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 过P1（2，0），P2（0，3）两点的直线方程是（　　） A. ＋ ＝0 B. ＋ ＝0 C. ＋ ＝1 D. － ＝1 解析：　由截距式，得所求直线的方程为 ＋ ＝1. √ 数学·选择性必修第一册 目录 3. 过点A（5，6），B（－1，2）的直线的两点式方程是（　　） A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝ 解析：由直线的两点式方程 ＝ （x1≠x2，y1≠y2），过点A（5，6）和点B（－1，2）的直线的两点式方程是 ＝ .故选C. √ 数学·选择性必修第一册 目录 4. 求过点A（3，－1）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程. 解：当截距都为零时满足题意要求，直线方程为y＝－ x，即x＋3y＝0. 当截距不为零时，设直线方程为 ＋ ＝1， ∴ ∴ 或 ∴直线方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，即x＋y－2＝0或x－y－4＝0， 故所求直线方程为x＋3y＝0或x＋y－2＝0或x－y－4＝0. 数学·选择性必修第一册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：107分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 38 1. 经过下列两点的直线可以用两点式方程表示的是（　　） A. （1，2），（－3，2） B. （3，2），（3，－4） C. （1，2），（－3，4） D. （3，5），（－3，5） 解析：当直线经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的坐标满足x1≠x2，y1≠y2时，直线可以用两点式方程 ＝ 表示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 直线3x－2y＝6在x轴，y轴上的截距分别为（　　） A. 3，－2 B. 2，3 C. －2，3 D. 2，－3 解析：　由直线3x－2y＝6得截距式方程为 ＋ ＝1，所以直线在x 轴，y轴上的截距分别为2，－3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 3. 已知直线l的两点式方程为 ＝ ，则l的斜率为（　　） A. － B. C. － D. 解析：　由两点式方程 ＝ ，知直线l过点（－5，0）， （3，－3），所以l的斜率为 ＝－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 4. （2026·湛江月考）已知△ABC的三个顶点分别为A（2，8），B（－ 4，0），C（6，0），则过点B将△ABC的面积平分的直线方程为（　　） A. 2x－y＋4＝0 B. x＋2y＋4＝0 C. 2x＋y－4＝0 D. x－2y＋4＝0 解析：由A（2，8），C（6，0），得AC的中点坐标为D（4，4），则过点B将△ABC的面积平分的直线过点D（4，4），则所求直线方程为 ＝ ，即x－2y＋4＝0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 5. （2026·滨州月考）两条直线l1： － ＝1和l2： － ＝1在同一直角 坐标系中的图象可以是（　　） 解析：　将两方程化为截距式l1： ＋ ＝1，l2： ＋ ＝1.假定l1的位 置，判断a，b的正负，从而确定l2的位置，知A项符合. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 6. 〔多选〕下列说法正确的是（　　） A. 不经过原点的直线都可以用方程 ＋ ＝1表示 B. 若直线l与两坐标轴的交点分别为A，B，且线段AB的中点为（4， 1），则直线l的方程为 ＋ ＝1 C. 在两坐标轴上截距相等的直线都可以用方程x＋y＝a（a∈R）表示 D. 直线3x－2y＝4的截距式方程为 ＋ ＝1 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错误；因为线段AB的中点为（4，1），所以直线l过点（8，0），（0，2），所以直线l的方程为 ＋ ＝1，故B正确；直线x－y＝0在两坐标轴上的截距相等，但不能用x＋y＝a（a∈R）表示，故C错误；方程3x－2y＝4可化为 ＋ ＝1，故D正确.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 7. 〔多选〕已知直线过点（2，1），且在x轴上的截距是在y轴上的截距 的2倍，则该直线的方程可以为（　　） A. 2x＋y－5＝0 B. x＋2y－4＝0 C. x－2y＝0 D. 2x－y＝0 解析：当截距为0时，设直线的方程为y＝kx，因为直线过点（2，1），所以1＝2k，即k＝ ，则直线的方程为y＝ x，即x－2y＝0；当截距不为0时，设直线的方程为 ＋ ＝1，因为直线过点（2，1），所以 ＋ ＝1，则a＝2，所以直线的方程为 ＋ ＝1，即x＋2y－4＝0.综上，直线的方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 8. 已知点P（x，2）在过M（－2，1）和N（3，－4）两点的直线上， 则x的值是 ⁠. 解析：过M，N两点的直线方程为 ＝ ，又P（x，2）在此 直线上，所以当y＝2时，x＝－3. －3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 9. 某地汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规 定，则需要购买行李票，行李票费用y（元）与行李重量x（kg）的关系如 图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为 kg. 解析：由题图知点A（60，6），B（80，10），由直线方程的两点式，得 直线AB的方程是 ＝ ，即y＝ x－6.依题意，令y＝0，得x＝ 30，即旅客最多可免费携带30 kg行李. 30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 10. （13分）在△ABC中，A（4，2），B，C两点分别在x轴与y轴上， 且直线AB在y轴上的截距为1，直线AC的倾斜角为45°.求： （1）直线AB，AC的方程； 解：因为直线AB在y轴上的截距为1， 所以其过点D（0，1）， 所以直线AB的方程为 ＝ ，化简得y＝ x＋1. 由已知得直线AC的斜率为k＝tan 45°＝1， 所以直线AC的方程为y－2＝x－4， 化简得y＝x－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）△ABC的面积S. 解：由（1）知，直线AB的方程为y＝ x＋1， 令y＝0，得x＝－4，故B（－4，0）. 直线AC的方程为y＝x－2， 令x＝0，得y＝－2，故C（0，－2）， 所以△ABC的面积S＝S△ACD＋S△BCD＝ ｜CD｜×4＋ ｜CD｜×4＝ 4｜CD｜＝12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 11. 〔多选〕光线自点（2，4）射入，经y轴反射后经过点（5，0），则下 列选项中反射光线所在的直线经过的点有（　　） A. （－9，8） B. （3，1） C. （7，－1） D. （12，－4） 解析：点（2，4）关于y轴的对称点为（－2，4），则反射光线所在的直线经过点（－2，4）和点（5，0），则反射光线所在直线的方程为 ＝ ，即4x＋7y－20＝0.将四个选项中的点的坐标分别代入直线方程进行验证可知A、D选项符合题意. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 12. 〔多选〕直线l经过点A（1，2），在x轴上的截距的取值范围是（－ 3，3），则其斜率的取值范围可以是（　　） A. （－1， ） B. （－∞，－1） C. （ ，＋∞） D. （ ，＋∞） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B（3，0）时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C（－3，0）时，直线l在x轴的截距为－3，此时k＝ ，满足条件的直线l的斜 率范围是（－∞，－1）∪（ ，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 13. 已知A（3，0），B（0，4），直线AB上一动点P（x，y），则xy的 最大值是 ⁠. 解析：直线AB的方程为 ＋ ＝1，P（x，y）在直线AB上，则x＝3－ y，∴xy＝3y－ y2＝ （－y2＋4y）＝ [－（y－2）2＋4]≤3.即当点P 的坐标为（ ，2）时，xy取得最大值3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 14. （15分）（2026·日照月考）求满足下列条件的直线方程： （1）在△ABC中，已知A（1，－4），B（6，6），C（－2，0），求 △ABC中平行于BC边的中位线所在直线的方程并化为截距式； 解：平行于BC边的中位线就是AB，AC中点的连线. 因为线段AB，AC的中点坐标分别为（ ，1），（－ ，－2），所以平行 于BC边的中位线所在直线的方程为 ＝ ，整理得6x－8y－13＝0， 化为截距式方程为 ＋ ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）经过点（2，1），且与两坐标轴围成等腰直角三角形的直线方程. 解：由题意设直线方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，把点（2，1）代入直线方程得 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，解得a＝3或a＝1，所以所求直线的方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1，即x＋y－3＝0或x－y－1＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 15. （15分）如图，某小区内有一块荒地ABCDE，已知BC＝210 m，CD ＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m，AE∥CD，BC∥DE，C＝90°，今 欲在该荒地上划出一块长方形地面（不改变方位）进行开发.问如何设计 才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解：以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立平面直 角坐标系（如图），由已知可得A（0，60），B（90， 0），所以AB所在直线的方程为 ＋ ＝1，即y＝60（1 － ）.所以y＝60－ x.从而可设P（x，60－ x），其 中0≤x≤90，所以所开发部分的面积为S＝（300－x）（240－y）. 故S＝（300－x）（240－60＋ x） ＝－ x2＋20x＋54 000（0≤x≤90）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 所以当x＝－ ＝15， 且y＝60－ ×15＝50时，S取最大值为（300－15）×（240－50）＝54 150（m2）. 因此点P距AE 15 m，距BC 50 m时所开发的面积最大，最大开发面积为54 150 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 $