1.4.1 第3课时 空间中直线、平面的垂直(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，通过旗杆与地面垂直的图片情境导入，衔接空间向量知识，搭建从向量语言表述到证明垂直关系的学习支架。 其亮点在于采用一题多解（如正方体中EF⊥平面B₁AC的坐标法、基向量法）和探索性问题（如四棱锥中PD上是否存在点M使AM⊥BD），培养数学抽象、逻辑推理与数学运算素养。学生通过规律方法总结提升解题能力，教师可借助分层训练优化教学效果。

第三课时　空间中直线、平面的垂直 第一章　空间向量与立体几何 1 课标要求 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系（数学抽象、逻辑推理）. 2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系（逻辑推理、数学运算）. 情境导入 　　观察图片，我们知道图中旗杆所在直线和地面垂直.那么如何用向量来表示二者的关系呢？ 目 录 CONTENTS 知识点一　直线与直线垂直 知识点二　直线与平面垂直 知识点三　平面与平面垂直 提能点　垂直关系中的探索性问题 小结与自测 课时作业 知识点一　直线与直线垂直 目录 5 问题　如图，直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，当直线l1，l2垂直时， u1，u2之间有什么关系？ 提示：垂直. 数学·选择性必修第一册 目录 线线垂直的向量表示：设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则 l1⊥l2⇔ ⇔ ⁠. 提醒：两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向 量相互垂直. u1⊥u2　 u1·u2＝0　 数学·选择性必修第一册 目录 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边 的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝ CC1.求证：AB1⊥MN. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：设AB的中点为O，作OO1∥AA1交A1B1于点O1， 连接OC. 以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC 所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的 空间直角坐标系Oxyz. 由已知得A（－ ，0，0），B（ ，0，0），C（0， ，0），N（0， ， ），B1（ ，0，1）， ∵M为BC的中点，∴M（ ， ，0）. 数学·选择性必修第一册 目录 ∴ ＝（－ ， ， ）， ＝（1，0，1）， ∴ · ＝－ ＋0＋ ＝0. ∴ ⊥ ， ∴AB1⊥MN. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 证明两直线垂直的方法及步骤 （1）坐标法：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量 →证明向量垂直→得到两直线垂直； （2）基向量法：确定基向量→表示直线的方向向量→证明向量垂直→得 到两直线垂直. 数学·选择性必修第一册 目录 训练1　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PB与底面所成的 角是30°，∠BAD＝90°，AB∥CD，AD＝CD＝a，AB＝2a.若 AE⊥PB于E，求证：DE⊥PB. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴， y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为PA⊥平面ABCD，所以∠PBA就是PB与底面ABCD 所成的角，所以∠PBA＝30°，所以PA＝ a. 所以A（0，0，0），B（2a，0，0），D（0，a，0），P（0，0， a）.所以 ＝（0，a，0）， ＝（2a，0，－ a）. 因为 · ＝（0，a，0）·（2a，0，－ a）＝0， 所以PB⊥AD. 又PB⊥AE，且AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，所 以PB⊥平面ADE，所以PB⊥DE. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点二　直线与平面垂直 目录 14 问题　如图，设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，当直线l垂直 于平面α时，u，n之间有什么关系？ 提示：平行（共线）. 线面垂直的向量表示：设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则 l⊥α⇔ ⇔∃λ∈R，使得 ⁠. u∥n　 u＝λn　 数学·选择性必修第一册 目录 【微思考】 若直线的方向向量与平面内的两直线的方向向量的数量积为零，则直线与 平面垂直，对吗？ 提示：不对.需要证明直线的方向向量与平面内两相交直线的方向向量的 数量积均为零，才可得出直线与平面垂直. 数学·选择性必修第一册 目录 〔一题多解〕如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别 是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：法一　设 ＝a， ＝c， ＝b， 则 ＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ ）＝ （ ＋ － ）＝ （－a＋b＋c）. 因为 ＝ ＋ ＝a＋b，所以 · ＝ （－a＋b＋c）·（a＋b）＝ （b2－a2＋c·a＋c·b）＝ （｜b｜2－｜a｜2＋0＋0）＝0. 所以 ⊥ ，即EF⊥AB1. 同理，EF⊥B1C. 又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 数学·选择性必修第一册 目录 法二　设正方体的棱长为2，以D为原点，DA，DC， DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间 直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），B1 （2，2，2），E（2，2，1），F（1，1，2）. 所以 ＝（－1，－1，1）， ＝（0，2，2）， ＝（－2，2，0）. 所以 · ＝（－1，－1，1）·（0，2，2）＝（－1）×0＋（－1） ×2＋1×2＝0， · ＝（－1，－1，1）·（－2，2，0）＝2－2＋0＝0， 所以 ⊥ ， ⊥ ， 数学·选择性必修第一册 目录 所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 法三　由法二得 ＝（0，2，2）， ＝（－2，2，0）， ＝（－ 1，－1，1）. 设平面B1AC的法向量为n＝（x，y，z），则 ·n＝0， ·n＝0， 即取x＝1，则y＝1，z＝－1， 所以n＝（1，1，－1），所以 ＝－n， 所以 ∥n，所以EF⊥平面B1AC. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 用向量法证明直线与平面垂直的方法和步骤 基向量法 把直线的方向向量和平面内两个不共线向量用同一个基底表示，分别证明它们垂直 坐标法 利用线 线垂直 （1）建系后，将直线的方向向量用坐标表示； （2）找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量； （3）分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0 利用平面的法向量 （1）建系后，将直线的方向向量用坐标表示； （2）求出平面的法向量； （3）判断直线的方向向量与平面的法向量平行 数学·选择性必修第一册 目录 训练2　如图，已知PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AD＝ AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点.求证：MN⊥平面PCD. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：如图，因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，故PA，AB， AD两两垂直，以A为原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方 向建立空间直角坐标系. 又PA＝AD＝AB＝2，M，N分别为AB，PC的中点， 则P（0，0，2），C（2，2，0），D（0，2，0）， M（1，0，0），N（1，1，1）， 所以 ＝（0，1，1）， ＝（0，－2，2）， ＝（2，0，0），设 平面PCD的法向量为n＝（x，y，z）， 数学·选择性必修第一册 目录 则有 得x＝0，y＝z，令y＝1，则z＝1，所以n＝（0，1，1），则 ∥n， 所以MN⊥平面PCD. 数学·选择性必修第一册 目录 知识点三　平面与平面垂直 目录 25 问题　设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，当平面α垂直于平面β时， n1，n2之间有什么关系？ 提示：垂直. 面面垂直的向量表示：设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则 α⊥β⇔ ⇔ ⁠. n1⊥n2　 n1·n2＝0　 数学·选择性必修第一册 目录 〔一题多解〕在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面 ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD. 证明：设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），E（ ， ， ）. 数学·选择性必修第一册 目录 法一　连接AC，交BD于点O，连接OE，则点O的坐标为（ ， ，0）. 易知 ＝（0，0，1）， ＝（0，0， ）， ∴ ＝ ，∴OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD. 法二　设平面BDE的法向量为n1＝（x，y，z）. 易知 ＝（－1，1，0）， ＝（－ ， ， ）， 数学·选择性必修第一册 目录 ∴ 即 取x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝（1，1，0）.∵AS⊥平面 ABCD， ∴平面ABCD的一个法向量为n2＝ ＝（0，0，1）. ∵n1·n2＝0，∴平面BDE⊥平面ABCD. 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 向量法证明面面垂直的两种思路 （1）证明两个平面的法向量互相垂直； （2）根据面面垂直的判定定理，证明一个平面内的向量垂直于另一个 平面. 数学·选择性必修第一册 目录 训练3　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝CC1＝1，E 是CD的中点，F是BC的中点.求证：平面EAD1⊥平面EFD1. 数学·选择性必修第一册 目录 证明：如图，建立空间直角坐标系，则E（0，1，0），A（1，0，0）， D1（0，0，1），F（ ，2，0）， ＝（－1，1，0）， ＝（0，－ 1，1）， ＝（ ，1，0），设平面EAD1的法向量 为n＝（x，y，z）， 则 即 令x＝1，则y＝z＝ 1，所以n＝（1，1，1）. 设平面EFD1的法向量为m＝（x'，y'，z'）， 数学·选择性必修第一册 目录 则 即 令x'＝2，则y'＝z'＝－1， 所以m＝（2，－1，－1）. 因为n·m＝2×1＋1×（－1）＋1×（－1）＝0，所以n⊥m，所以平面 EAD1⊥平面EFD1. 数学·选择性必修第一册 目录 提能点　垂直关系中的探索性问题 目录 34 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面 ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝ ，在棱PD上是否存在点M，使 得AM⊥BD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 数学·选择性必修第一册 目录 【破题思维】 题目信息 信息转化 平面PCD⊥平 面ABCD，PC ＝PD＝ 联想到△PDC为等腰三角形，可取底边DC的中点O， 以O为坐标原点建系 在棱PD上是否 存在点M，使 得AM⊥BD 联想到设出点M的坐标，但直接设点M坐标有3个未知 量，考虑到点D，P坐标易求，点M在PD上，可设 ＝λ，进而得到点M的坐标，再利用 · ＝0求解 数学·选择性必修第一册 目录 解：连接AC，交BD于点F，因为底面ABCD为矩形，所以F为BD的中点， 假设在棱PD上存在点M，使得AM⊥BD. 取CD的中点为O，连接PO，FO， 因为底面ABCD为矩形，故BC⊥CD， 而F为BD的中点，故OF∥BC，所以OF⊥DC. 因为PC＝PD＝ ，故PO⊥CD，又平面PCD⊥平面ABCD，PO⊂平 面PCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，故PO⊥平面ABCD， 故以O为坐标原点，OF，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间 直角坐标系， 数学·选择性必修第一册 目录 则A（1，－1，0），D（0，－1，0），B（1，1，0），P（0，0，1）， 设 ＝λ（λ∈[0，1]），M（x，y，z），则 ＝λ ， 即（x，y，z－1）＝λ（0，－1，－1），则 可得M（0，－ λ，1－λ）， 故 ＝（－1，1－λ，1－λ）， ＝（－1，－2，0）， 因为AM⊥BD，故 · ＝0，即1－2（1－λ）＝0，解得λ＝ ，即在 棱PD上存在点M，使得AM⊥BD，此时 ＝ . 数学·选择性必修第一册 目录 规律方法 　　有关是否存在一点，使得直线、平面之间满足垂直关系的探索性问 题，解答时，一般先假设存在这样的点，再建立空间直角坐标系，设出该 点的坐标，将直线、平面的垂直关系转化为直线的方向向量、平面的法向 量之间关系，利用向量坐标运算建立关于所求点坐标的方程（组）.若方 程（组）有解，则点存在；否则，点不存在. 数学·选择性必修第一册 目录 训练4　如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为BC的中 点. （1）在平面AA1B1B上是否存在一点N，使D1N⊥平面B1AE？ 数学·选择性必修第一册 目录 解：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y 轴，z轴建立空间直角坐标系， 则A（1，0，0），E（ ，1，0），B1（1，1，1）， D1（0，0，1）， ＝（0，－1，－1）， ＝（－ ，0，－1）. 假设在平面AA1B1B上存在点N，使D1N⊥平面B1AE，设N（1，b， c）， 则 因为 ＝（1，b，c－1）， 数学·选择性必修第一册 目录 所以 解得 故平面AA1B1B上存在点N（1， ， ），使D1N⊥平面B1AE. 数学·选择性必修第一册 目录 （2）在B1D1上是否存在一点P，使平面PAE⊥平面ABCD？ 解：假设在B1D1上存在点P，使平面PAE⊥平面ABCD，故可设P（λ， λ，1）， 则 ＝（λ－1，λ，1）， ＝（λ－ ，λ－1，1）， 设平面AEP的法向量为n＝（x，y，z）， 则 数学·选择性必修第一册 目录 即 令x＝1，则n＝（1， ，1－ λ）， 又平面ABCD的法向量为 ＝（0，0，1）， 由平面PAE⊥平面ABCD，得n· ＝0， 即1－ λ＝0，解得λ＝ ， 故在B1D1上存在点P（ ， ，1），使平面PAE⊥平面ABCD. 数学·选择性必修第一册 目录 小结与自测>> 目录 45 数学·选择性必修第一册 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）两条直线的方向向量垂直，则这两条直线垂直. （　√　） （2）直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面 垂直. （　√　） （3）两个平面的法向量垂直，则这两个平面垂直. （　√　） （4）若直线l的方向向量与平面α内两条相交直线的方向向量垂直，则 l⊥α. （　√　） √ √ √ √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 已知直线l的方向向量为a＝（4，k－1，－k），平面α的法向量为b＝ （k， ，k＋1），若直线l⊥平面α，则k的值为（　　） A. －2 B. 3 C. －2或3 D. 或－2 解析：　因为直线l⊥平面α，所以a∥b，易知k＝0或k＝－1时不满足题 意，则 ＝ ＝ ，解得k＝－2.故选A. √ 数学·选择性必修第一册 目录 3. 〔多选〕已知e为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量 （α，β不重合），那么下列说法中正确的有（　　） A. e⊥n1⇔l∥α B. n1⊥n2⇔α⊥β C. n1∥n2⇔α∥β D. e⊥n1⇔l⊥α 解析：因为e为直线l的方向向量，n1，n2分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），所以e⊥n1⇒l∥α或l⊂α，A、D错误；n1⊥n2⇔α⊥β，B正确；n1∥n2⇔α∥β，C正确. √ √ 数学·选择性必修第一册 目录 4. 在三棱锥S-ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝ ，SB＝ . 证明：直线SC与BC垂直. 证明：如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴， AC，AS所在直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系， 则由AC＝2，BC＝ ，SB＝ ，得B（－ ，2， 0），S（0，0，2 ），C（0，2，0）， ＝（0，2， －2 ）， ＝（－ ，0，0）.因为 · ＝0，所 以SC⊥BC. 数学·选择性必修第一册 目录 课时作业>>（时间：60分钟　满分：102分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目录 51 1. 若平面α，β的法向量分别为a＝（2，－1，0），b＝（－1，－2， 0），则α与β的位置关系是（　　） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 解析：　∵a·b＝－2＋2＋0＝0，∴a⊥b，∴α⊥β. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目录 2. 已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，则下列选项 中正确的是（　　） A. v∥n⇔l∥α B. v∥n⇔l⊥α C. v⊥n⇔l∥α D. v⊥n⇔l⊥α 解析：　已知v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量，由于 v∥n，所以l⊥α，故A错误，B正确；由于v⊥n，所以l∥α或l⊂α，故C、D错误.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 3. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点E 是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上一点，且 CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（　　） A. y－z＝0 B. 2y－z－1＝0 C. 2y－z－2＝0 D. z－1＝0 解析：　由题意知E（1，0，0），B1（2，0，2）， C（2，2，0），所以 ＝（－1，0，－2）， ＝（－2，y－2，z），因为CF⊥B1E，所以 · ＝0，即2－2z＝0，即z＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 4. 已知点A（0，1，0），B（－1，0，－1），C（2，1，1），P（x， 0，z），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为（　　） A. （1，0，－2） B. （1，0，2） C. （－1，0，2） D. （2，0，－1） 解析：　由题意知 ＝（－1，－1，－1）， ＝（2，0，1）， ＝ （x，－1，z），又PA⊥平面ABC，所以有 · ＝（－1，－1，－ 1）·（x，－1，z）＝0，得－x＋1－z＝0　①. · ＝（2，0， 1）·（x，－1，z）＝0，得2x＋z＝0　②，联立①②得x＝－1，z＝ 2，故点P的坐标为（－1，0，2）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 5. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E为CD的中点，F 是AD上一点，当BF⊥PE时， ＝（　　） A. B. 1 C. 2 D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B（1，0，0），E（ ，1，0），P（0，0，a）.设F（0，y，0），则 ＝（－1，y，0）， ＝（ ，1，－a）.因为BF⊥PE， 即 · ＝（－1）× ＋y＝0，解得y＝ ，即F（0， ，0）是AD的中点，故 ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 6. 在空间直角坐标系中，已知Rt△ABC的三个顶点为A（－3，－2， 1），B（－1，－1，－1），C（－5，x，0），则x的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 0或9 D. 1或9 解析： 　∵A（－3，－2，1），B（－1，－1，－1），C（－5，x， 0），∴ ＝（2，1，－2）， ＝（－4，x＋1，1）， ＝（－2，x ＋2，－1），分三种情况：①A为直角， · ＝0，∴－4＋x＋2＋2 ＝0，∴x＝0；②B为直角， · ＝0，∴－8＋x＋1－2＝0，∴x＝ 9；③C为直角， · ＝0，∴8＋（x＋1）（x＋2）－1＝0，即x2＋ 3x＋9＝0，此方程无解，综上，x的值为0或9. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 7. 〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中 心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM（　　） A. 和AC垂直 B. 和AA1垂直 C. 和MN垂直 D. 与AC，MN都不垂直 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（图略）.设正方体的棱长为2a，则M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），O（a，a，0），N（0，a，2a）.∴ ＝（－a，－a，a）， ＝（0，a，a）， ＝（－2a，2a，0）.∴ · ＝0， · ＝0，∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1显然不垂直. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 8. 已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝（1，－3，z），向 量v＝（3，－2，1）与平面α平行，则z＝ ⁠. 解析：由题意得u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9. －9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 9. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角 形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥ 平面B1DE，则AE＝ ⁠. a或2a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则B1（0，0， 3a），C（0， a，0），D（ ， ，3a）.设E （ a，0，z）（0≤z≤3a），则 ＝（ a，－ a，z）， ＝（ a，0，z－3a）， ＝ （ ， ，0）.又 · ＝a2－a2＋0＝0， · ＝2a2＋z2－3az＝0，解得z＝a或2a.故AE＝a或2a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 10. （10分）如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝ 120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝ 3AQ，证明：PQ⊥OA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 证明：如图，连接OP，OQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x 轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz（如图所示）. 则A（1，0，0），C（0，0，1），B . ∵P为AC的中点，∴P . ∴ ＝ ，由已知，可得 ＝ ＝ . 又 ＝ ＋ ＝ ，∴ ＝ － ＝ . ∵ · ＝0，∴ ⊥ ，即PQ⊥OA. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 11. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在棱DD1上，直线AC1⊥平面 A1BM，则点M的位置是（　　） A. 点D B. 点D1 C. DD1的中点 D. 不存在 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：　如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC， DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设 正方体的棱长为1，M（0，0，t），0≤t≤1，则A （1，0，0），C1（0，1，1），B（1，1，0），A1 （1，0，1），∴ ＝（－1，1，1）， ＝（－1， －1，t）.∵直线AC1⊥平面A1BM，BM⊂平面A1BM，∴AC1⊥BM，∴ · ＝0，即－1×（－1）＋1×（－1）＋1×t＝0，解得t＝0，此时点M与点D重合.又 ＝（0，1，－1）， · ＝0，∴AC1⊥A1B，又BM∩A1B＝B，BM，A1B⊂平面A1BM，∴AC1⊥平面A1BM，符合题意.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 12. 〔多选〕如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把 △ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下结论，其中 正确的是（　　） A. · ＝0 B. AB⊥DC C. BD⊥AC D. 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系（图略），设等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，则B（1，0，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A（0，0，1），所以 ＝（1，0，－1）， ＝（0，1，－1）， ＝（0，1，0）， ＝（－1，0，0），从而有 · ＝0＋0＋1＝1，故A错误； · ＝0，故B正确； · ＝0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为 ＝（－1，0，0），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由 ·n＝x－z＝0， ·n＝y－z＝0，取z＝1，则x＝1，y＝1，故n＝（1，1，1）， ·n＝－1，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 13. 如图，在正三棱锥D-ABC中，AB＝ ，DA＝2，O为底面ABC的中 心，点P在线段DO上，且 ＝λ ，若PA⊥平面PBC，则实数λ ＝ ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 解析：由题设知△ABC为边长为 的等边三角形，且DA ＝DB＝DC＝2，等边△ABC的高为 ＝ ，在正三 棱锥中，以O为原点，平行 为x轴，垂直 为y轴， 为z轴建系，如图所示，则A（0，－1，0），B（ ， ，0），C（－ ， ，0），D（0，0， ），且P（0，0， λ），所以 ＝（0，1， λ）， ＝（ ， ，－ λ）， ＝（ ，0，0），设m＝（x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 y，z）为平面PBC的法向量，则 即 令z＝1，得m＝（0，2 λ，1），又PA⊥平面PBC，则 ＝km且k为实数， 故λ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 14. （15分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直， AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点.请用空间 向量知识解决下列问题. （1）求证：BM⊥DC； 证明：因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面 ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥CD，CD⊂平面 ABCD， 所以CD⊥平面ADEF， 又DE⊂平面ADEF，所以CD⊥DE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 因为在正方形ADEF中，AD⊥DE， 所以DA，DC，DE两两垂直. 以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），E（0，0，2）. 因为M为EC的中点，所以M（0，2，1）， 故 ＝（－2，0，1）， ＝（0，4，0）， 所以 · ＝0，故 ⊥ ，即BM⊥DC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）求证：BC⊥平面BDE. 证明：由（1）得 ＝（－2，2，0）， ＝（2，2，0）， ＝（0，0，2）， 所以 · ＝－4＋4＝0，则 ⊥ ，即BC⊥DB. 因为 · ＝0，故 ⊥ ，即BC⊥DE. 因为DE∩DB＝D，DE，DB⊂平面BDE， 所以BC⊥平面BDE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 15. （15分）如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相 垂直，已知BC＝4，AB＝AD＝2. （1）求证：AC⊥BF； 解：证明：∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩ 平面ABCD＝AD，AF⊥AD，AF⊂平面ADEF， ∴AF⊥平面ABCD. ∵AC⊂平面ABCD， ∴AF⊥AC. 过A作AH⊥BC于H（图略），则BH＝1，AH＝ ，CH＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 ∴AC＝2 ， ∴AB2＋AC2＝BC2，∴AC⊥AB. ∵AB∩AF＝A，AB，AF⊂平面FAB， ∴AC⊥平面FAB. ∵BF⊂平面FAB，∴AC⊥BF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 （2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存 在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 解：存在.理由如下： 由（1）知，AF，AB，AC两两垂直.以A为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2 ，0）， E（－1， ，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 假设在线段BE上存在一点P满足题意， 则易知点P不与点B，E重合， 设 ＝λ，λ＞0，则 ＝λ ， 设P（a，b，c），则（a－2，b，c）＝λ（－1－a， －b，2－c），得P（ ， ， ）. 设平面PAC的法向量为m＝（x，y，z）. 由 ＝（ ， ， ）， ＝（0，2 ，0）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 得 即 令x＝1，则z＝ ， ∴m＝（1，0， ）为平面PAC的一个法向量. 同理，可求得n＝（1， ，1）为平面BCEF的一个法向量. 当m·n＝0，即λ＝ 时，平面PAC⊥平面BCEF， 故存在满足题意的点P，此时 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目录 $