6.1.1 条件概率的概念(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦“随机事件的条件概率”，通过100件产品合格问题情境导入，引导学生从古典概型出发，理解条件概率的定义、计算公式及性质，构建从具体到抽象的学习支架，衔接典例研析与分层练习。 其亮点在于以数学抽象和数学运算为核心，通过母题探究（如抽取节目问题）和通性通法总结（定义法、缩小样本空间法）培养数学思维，随堂检测与课时作业提升应用能力，为教师提供系统教学资源，助力学生深化概念理解与解题能力。

§1　随机事件的条件概率 1.1　条件概率的概念 第六章　概率 1 课标 要求 1.结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率（数学抽象、数学运算）. 2.结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系（数学抽象、数学运算）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 100件产品中有93件产品的长度合格，90件产品的 质量合格，85件产品的长度和质量都合格.令事件A表 示“产品的长度合格”，事件B表示“产品的质量合 格”，事件AB表示“产品的长度、质量都合格”. 【问题】　任取一件产品，已知其质量合格（即B发生），如何求它的长 度（即A发生）也合格（记为A｜B）的概率. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点　条件概率 条件 设A，B是两个事件，且P（A）＞0 定义 称P（B｜A）＝为在事件A发生的条件下事件B发生的 条件概率 记作 P（B｜A） 读作 A发生的条件下B发生的概率 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 计算 公式 （1）事件个数法：P（B｜A）＝ ⁠； （2）定义法：P（B｜A）＝ ⁠ 性质 （1）0≤P（B｜A）≤1； （2）若B和C是两个互斥事件，则P[（B∪C）｜A]＝P（B｜ A）＋P（C｜A） 　 　 提醒：P（B｜A）与P（AB），P（A）三者互不相同，P（B｜A）是在事 件A已经发生的条件下，事件B发生的概率，P（AB）表示事件A与B同时发 生的概率，P（A）是事件A发生的概率，P（B｜A）与P（B）不一定相等. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 P（B｜A）与P（A｜B）相同吗？ 提示：不相同，P（B｜A）表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概 率；P（A｜B）表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）在“A已发生”的条件下，B发生的概率可记作P（A｜B）. （　×　） （2）若P（B｜A）＝P（B），则事件A，B相互独立. （　√　） （3）P（B｜A）相当于事件A发生的条件下，事件AB发生的概率. （　√　） × √ √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 已知P（AB）＝，P（A）＝，则P（B｜A）＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　P（B｜A）＝＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 掷一个质地均匀的骰子，记事件A为“掷得点数大于2”，事件B为“掷 得点数为奇数”，则P（B｜A）＝（　　） A. B. √ C. D. 解析： 　掷一个质地均匀的骰子，点数有1，2，3，4，5，6，共6种结 果，事件A包含点数3，4，5，6，共4种结果，所以P（A）＝＝；事件AB 包含点数3，5，共2种结果，所以P（AB）＝＝，所以P（B｜A）＝ ＝.故选D. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 已知某种动物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是 0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是 ⁠. 解析：记事件A为活到60岁，事件B为活到65岁，则P（A）＝0.8，P （AB）＝0.6，所以P（B｜A）＝＝＝0.75. 0.75　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 典例研析>> 目录 13 题型一　利用定义求条件概率 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如 果不放回地依次抽取2个节目，求： （1）第1次抽到舞蹈节目的概率； （1）从6个节目中不放回地依次抽取2个，样本空间包含的样本点个数n （Ω）＝＝30. 根据分步乘法计数原理，有n（A）＝·＝20， 所以P（A）＝＝＝. 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1 次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； 解：因为n（AB）＝＝12，所以P（AB）＝＝＝. （3）在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率. 解：由（1）（2），得在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈 节目的概率P（B｜A）＝＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【母题探究】 　（变设问）本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次 抽到语言类节目的概率. 解：设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到语言类节目”为事 件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件AC. 易知P（A）＝，P（AC）＝＝＝， ∴P（C｜A）＝＝. 故在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率为. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 计算条件概率的方法 　　在原样本空间Ω中，先计算P（AB），P（A），再按公式P（B｜A） ＝计算求得P（B｜A）.求解的关键是正确求出P（A），P（AB） 的值. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 现从3名男医生和4名女医生中任选两人加入医疗队，用事件A表示“选中 的两名医生性别相同”，事件B表示“选中的两名医生都是女医生”，则P （B｜A）＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　根据古典概型的概率公式P（A）＝＝，P（AB）＝＝ ，所以P（B｜A）＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　缩小样本空间范围求条件概率 集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数.若甲 先取（不放回），乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽 到的数大的概率. 解：将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作（a，b），甲抽到奇数的情形有 （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1）， （3，2），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2）， （5，3），（5，4），（5，6），共15个，在这15个情形中，乙抽到的数 比甲抽到的数大的情形有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5）， （1，6），（3，4），（3，5），（3，6），（5，6），共9个，所以所 求概率为＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【母题探究】 1. （变设问）本例条件不变，求乙抽到偶数的概率. 解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有（1，2），（1，4）， （1，6），（3，2），（3，4），（3，6），（5，2），（5，4）， （5，6），共9个，所以所求概率为＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. （变条件，变设问）若甲先取（放回），乙后取，若事件A表示“甲抽 到的数大于4”；事件B表示“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P（B｜ A）. 解：甲抽到的数大于4的情形有（5，1），（5，2），（5，3），（5， 4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6， 4），（6，5），（6，6），共12个，其中甲、 乙抽到的两数之和等于7的 情形有（5，2），（6，1），共2个.所以P（B｜A）＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 利用缩小样本空间范围计算条件概率的方法 　　将原来的样本空间Ω缩小为已知事件A的样本空间ΩA，原来的事件B缩 小为AB. 而ΩA中仅包含有限个样本点，每个样本点发生的概率相等，从而 可以在缩小的样本空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P（B｜A） ＝，这里n（A）和n（AB）的计数是基于缩小的样本空间范围的. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的 题不再放回，求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （1）“第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB. 从5道试题中 不放回地依次随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点， 即n（Ω）＝＝5×4＝20.因为n（AB）＝·＝3×2＝6，所以P （AB）＝＝＝. 解：设事件A表示“第1次抽到代数题”，事件B表示“第2次抽到几何题”. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 解：“在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题”的概率就是事 件A发生的条件下，事件B发生的概率，显然P（A）＝.利用条件概率公 式，得P（B｜A）＝＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型三　利用条件概率的性质求概率 在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对 其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考 生能答对20道题中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获 得优秀的概率. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解：设事件A表示“该考生6道题全答对”，事件B表示“该考生答对了其 中5道题，另一道答错”，事件C表示“该考生答对了其中4道题，而另2道 题答错”，事件D表示“该考生在这次考试中通过”，事件E表示“该考生 在考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B， 由古典概型的概率计算公式及概率的加法公式可知 P（D）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝＋＋ ＝， 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 P（AD）＝P（A），P（BD）＝P（　B　）， P（E｜D）＝P[（A∪B）｜D]＝P（A｜D）＋P（B｜D）＝＋ ＝＋＝. 故所求的概率为. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 利用条件概率性质解题的策略 （1）分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择 公式P[（B∪C）｜A]＝P（B｜A）＋P（C｜A）； （2）分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分 解成两个（或若干个）互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件 的概率，再利用概率的加法公式即得所求复杂事件的概率. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 〔一题多解〕在一个袋子中装有10个除颜色外完全相同的小球，设有1个 红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是 红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 解：法一　设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄 球”为事件B，“摸出第二个球为黑球”为事件C，则P（A）＝，P （AB）＝＝，P（AC）＝＝. ∴P（B｜A）＝＝＝，P（C｜A）＝＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 ∴P[（B∪C）｜A]＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝＋＝. ∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为. 法二　∵n（A）＝1×＝9， n[（B∪C）｜A]＝＋＝5， ∴P[（B∪C）｜A]＝＝. ∴在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率为. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1.4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取.若已知第一 名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是（　　） A. B. C. D. 1 √ 解析： 　因为第一名同学没有抽到中奖券已知，所以问题条件变为3张奖 券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率显然是. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝“两次的点数均为奇数”，B＝ “两次的点数之和为4”，则P（B｜A）＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　由题意知，事件A包含的样本点是（1，1），（1，3），（1， 5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5， 5），共9个，在A发生的条件下，事件B包含的样本点是（1，3），（3， 1），共2个，所以P（B｜A）＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 〔多选〕某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛， 某支部在5道党史题中（有3道选择题和2道填空题），不放回地依次随机 抽取2道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到 选择题”，则下列结论中正确的是（　　） A. P（A）＝ B. P（AB）＝ C. P（B｜A）＝ D. P（B｜）＝ √ √ √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　P（A）＝＝，故A正确；P（AB）＝＝，故B正确； P（B｜A）＝＝＝，故C正确；P（）＝＝，P（B）＝ ＝，P（B｜）＝＝＝，故D错误.故选A、B、C. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的爵位等级从高到低分为公、 侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的甲、乙两人进行封爵，则 在甲的爵位等级比乙高的条件下，甲、乙两人爵位等级相邻的概率 为 ⁠. 　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析：记“甲的爵位等级比乙高”为事件A，“甲、乙两人爵位等级相 邻”为事件B，事件A包含10个基本事件：（公，侯），（公，伯）， （公，子），（公，男），（侯，伯），（侯，子），（侯，男）， （伯，子），（伯，男），（子，男），事件AB包含4个基本事件： （公，侯），（侯，伯），（伯，子），（子，男），则P（B｜A）＝ ＝＝. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 某人一周内需有两个晚上安排值班，安排方法用抽签方式，在已知他周 日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为 ⁠. 解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P（A）＝， P（AB）＝，故P（B｜A）＝＝. 　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 38 1. 已知P（AB）＝，P（A）＝，则P（B｜A）＝（　　） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　因为P（AB）＝，P（A）＝，则P（B｜A）＝＝＝ .故选C. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 抛掷一枚质地均匀的骰子的基本事件构成集合 S＝{1，2，3，4，5， 6}，令事件A＝{1，3，5}，B＝{1，2，4，5，6}，则P（A｜B）的值为 （　　） A. B. C. D. √ 解析： 　因为A＝{1，3，5}，B＝{1，2，4，5，6}，所以AB＝{1，5}， 所以n（B）＝5，n（AB）＝2，故P（A｜B）＝＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.9，超过2年的概率为 0.72，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2 年的概率为（　　） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.52 D. 0.48 √ 解析： 记事件A表示该元件使用寿命超过1年，事件B表示该元件使用寿 命超过2年，则P（A）＝0.9，P（AB）＝0.72，因此，若一个这种元件使 用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P（B｜A）＝ ＝＝0.8，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A表示“两个点数互不相 同”，B表示“出现一个5点”，则P（B｜A）＝（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　出现点数互不相同的共有6×5＝30（种），出现一个5点共有 5×2＝10（种），所以P（B｜A）＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次.在第 一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为 （　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　记事件A表示第一次取到的是合格高尔夫球，事件B表示第二次 取到的是不合格高尔夫球，则“第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二 次取到不合格高尔夫球”为事件AB. 由题意可得，事件AB发生所包含的样 本点数n（AB）＝4×2＝8，事件A发生所包含的样本点数n（A）＝4×5＝ 20，所以P（B｜A）＝＝＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 〔多选〕某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽 签法决定演讲顺序，记A：学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个 出场.B：学生丙第一个出场，则下列结论中正确的是（　　） A. 事件A中包括80种情况 B. P（A）＝ C. P（AB）＝ D. P（B｜A）＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　事件A中共包括＋＝78（种）情况，故A错误；P （A）＝＝＝，故B正确；P（AB）＝＝＝，故C正 确；又P（B｜A）＝＝，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 7. 同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子，观察向上的点数，记“红骰子向上 的点数小于4”为事件A，“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B，则P （B｜A）＝ ⁠. 解析：由题意得，n（A）＝3×6＝18，n（AB）＝3，则P（B｜A）＝ ＝＝. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 8. 甲、乙等4人参加4×100米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑 第二棒的概率是 ⁠. 解析：由题意得，甲不跑第一棒的总的样本点数为＝18，甲不跑第一 棒，乙跑第二棒的样本点数为＝4，所以甲不跑第一棒，乙不跑第二 棒的样本点数为18－4＝14，所以在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二 棒的概率P＝＝. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 9. 从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取2张，将其中的1张放在验钞 机上检验时发现是假钞，则2张都是假钞的概率是 ⁠. 解析：设事件A表示“抽到的2张中至少有1张是假钞”，事件B表示“抽到 的2张都是假钞”，则P（A）＝，P（AB）＝，所以P（B｜ A）＝＝＝.故所求概率是. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 10. 一袋中共有10个大小相同的黑球和白球.若从袋中任意摸出2个球，至 少有1个白球的概率为. （1）求白球的个数； 解： 设白球的个数为a，则黑球的个数为10－a， ∵从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为. ∴P＝1－＝，解得a＝5（a＝14舍）， ∴白球的个数为5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）现从中不放回地取球，每次取1球，取两次，已知第二次取得白球， 求第一次取得黑球的概率. 解： 记“第二次取到白球”为事件A，“第一次取到黑球”为事 件B， 则P（A）＝×＋×＝，P（AB）＝×＝， ∴第二次取得白球时第一次取得黑球的概率为 P（B｜A）＝＝＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 11. 近年来，受冷空气影响，气温变化异常，时有降雨及大风天气.某气象 台统计，某地区每年四月份降雨的概率为，出现四级以上大风天气的概 率为，在出现四级以上大风天气的条件下，降雨的概率为.则在已知降 雨的条件下，出现四级以上大风天气的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　记事件A表示“降雨”，B表示“出现四级以上大风天气”，则 P（A）＝，P（B）＝，而P（A｜B）＝，根据条件概率公式知P （B｜A）＝，P（A｜B）＝，所以P（B｜A）＝ ＝.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 12. 〔多选〕下列说法中正确的是（　　） A. P（B｜A）≥P（　AB　） B. P（B｜A）＝是可能的 C. 0＜P（B｜A）＜1 D. P（A｜A）＝0 AB √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　因为P（B｜A）＝，0＜P（A）≤1，所以P（B｜A） ≥P（AB），故A正确；当P（A）＝1时，P（AB）＝P（B），所以P （B｜A）＝＝，故B正确；0≤P（B｜A）≤1，故C错误；P （A｜A）＝1，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 13. 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任 取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率 为 ⁠. 解析：设事件A为“其中一瓶是蓝色”，事件B为“另一瓶是红色”，事件 C为“另一瓶是黑色”，事件D为“另一瓶是红色或黑色”，则D＝B∪C且 B与C互斥.又P（A）＝＝，P（AB）＝＝，P（AC）＝ ＝，故P（D｜A）＝P[（B∪C）｜A]＝P（B｜A）＋P（C｜A）＝ ＋＝. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 14. 某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务 劳动. （1）求男生甲或女生乙被选中的概率； 解： 从6名班干部中选3人参加学校义务劳动， 总的选法有＝20（种），男生甲或女生乙被选中的选法有＋＝ 12＋4＝16（种）， 所以男生甲或女生乙被选中的概率为＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）设“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，求P （A）和P（B｜A）. 解： 男生甲被选中的概率为P（A）＝＝， 男生甲、女生乙都被选中的概率为P（AB）＝＝， 所以在男生甲被选中的情况下，女生乙被选中的概率为P（B｜A）＝ ＝. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $